Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 10

Доказательство первой формулы ~2.3~. Вторая записывается по аналогии. 1 Обозначим событие Х=х, через А,, а событие Г=у~ через В~. Тогда и и и А; = А/ = А; ~~~~ Вх = ~ А;Вх . Отсюда Р(А;) = ~Р(А;Вх ), так как все события А =1 з((=! 1=1 А,В~ (~ = 1,..., т, Й = 1,..., и ) — попарно несовместны. Полученное равенство и и записывается в виде Р(Х = х ) = ~ Р(Х = х;, )' = у ), иди р;, = ~ рт . 4 1=1 й=! Функция распределения дискретной двумерной случайной величины по аналогии с одномерным случаем может быть записана в виде Рхт(х,у) = К Кр,х . Х, <ХУ„<У Здесь суммирование распространяется на те значения ~ и й, для которых х, <х, у~ <у.

Пример. Задана таблица распределения дис- Х~ !' кретной двумерной случайной величины. Требуется найти одномерные законы распределения ") 12 б 3 12 компонент. 1 1 1 5 3' Применим формулы согласованности (2.3). ' б 6 12 12 Согласно этим формулам суммы вероятностей Р) р;б по строкам таблицы дают р;„а по столбцам (2.4) 1 1 1 5 р2 = — + — + — = —; 6 6 12 12' 1 1 1 1 5 — — р,з — — + — = —. 4 6 3' ' 3 12 12 1 1 1 7 р~ = —.+ —.+ — = —; 12 6 3 12' 1 1 1 1 Р'=12'6=4' Р'=6' $3, Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности Определение 3.1. Двумерная случайная величина иазивается непрерывной, если существует ёеотрицателькая функция ~~(х,у), пазываемая двумерной плотпостью вероятности„такая, что вероятность попадания случайной величины (Х,У) в область В равна двойному интегралу от плотности по области В: '(< ') )=И~ ~'у)"" (3.1) В Из приведенной формулы (3.1) следует выражение для функции распределения двумерной непрерывной случайной величины; х У ЕАу(ху) = Р( — со < Х < х, -оэ < Г < у) = ~ ~ Гд» (х,у) сЕсЫу.

~32) У Это есть вероятность попадания случайной точ(~г у) ки (Х,у') в кюго-западный» квадрант с вершиной в точке (х,у) (рис. 3.1). Из формулы (3.2) следует, что ЕАу(х,у) непрерывна на всей плоскости хОу. О Свойства двумерной плотности вероятности. 1. Определена на всей плоскости хОу. д Е~г(х,у) 2. ~ '~ = ~А~ (х,у) в каждой точке Рис. 3. 1, «Юго-западный» дхду квадрант с вершиной в точке непрерывности плотности, что следует из (х,у) свойств интеграла с переменным верхним пределом. ~~п(х,у)Ну=~А(х); ~~п(ху)сй<=~~(у). (3.3) Формулы (3.3) носят название «формулы согласованности для плотностей».

— р.~ . Эти суммы записаны в дополнительном столбце справа и в дополнитель- ной строке внизу. $4. Примеры двумерных непрерывных распределений 1 . Двумерное равномерное распределение в области О определяется плот- ностью /1/5'да (хэу) е О О, (Хэу) М.0. (4.1) Здесь Ь'о — площадь области О. Равномерное распределение применяется в так называемом методе статистических испытаний (Монте-Карло) для приближенного вычисления интегралов и других математических величин. 2'.

Двумерное нормальное распределение определяется плотностью Хуу(х,у) = 1 х 2гга1а2 1 — р х ехр 1 (х — т1) (х т1) (у т2) (у т2) 2Р + 2(1 — р ) а1 а1а2 Она содержит 5 параметров т1, т2, а1, а2, р. Точка (т1,т2) называется центром оормальиого раепределеггия.

Параметр р называется коэффициентом корреляции. Двумерное нормальное распределение применяется для описания: 1) абсциссы и ординаты точки попадания (Х,У) при стрельбе; 2) двух параметров детали при массовом производстве; Формула (3.4) есть иначе записанная формула (1.2) для непрерывного случая. Доказательспгво формул ~3. 3~. г Докажем первую формулу. Вторая записывается по аналогии. Применим первую общую формулу согласованности (1.3): г О(х,+со) =РА.(х), которая для непрерывных случайных величин записывается в виде Х +сэ~ х ~ухт(х у)нЫу= г /х(х)нт. Днфференцируем обе части этого равенства по х. Используем известный факт из математического анализа о том, что производная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции на верхнем пределе в каждой точке непрерывности подынтегральной функции.

Получаем ~ ухт(х,у) Иу = /т(х). 4 3) двух результатов измерения. Если применить формулы согласованности (3.3), то после взятия интегралов получим ХА'(х) = ехр — 2 ' А" (У) = — ехр — 2, (4.3) 1 (х -т~) 1 (У-т2) о'1~/2л 2о'1 с~2~Г2к 2о~~ откуда заключаем, что т~, п2 — математические ожидания компонент Х, У двумерной нормальной случайной величины (Х,У), о1, о2 — средние квадратические отклонения их компоненг. 1 Для доказательства формул (4.3) используется табличный интеграл ! 2 Ь ас — (ах +2Ьх+с) 2~~ 2 сй = — е 2~ (а > 0), а который сам приводится к известному интегралу Эйлера — Пуассона +р~ 2 е 2й =~/2п выделением полного квадрата трехчлена 2 Ь ас — Ь 2 2 ах +2Ьх+с=а х+ — + а а Ь и последующей подстановкой х+ — = —.

1 а /а ;г Графиком двумерной нормальной плотности (4.2) является холмообразная поверх- О ность, располагающаяся над всей плоскостью хОу, асимптотически приближающаяся к ней при удалении на беско- Х (т.,щ ) нечность, симметричная отно- "'Р 2 сительно вертикальной оси, Рис. 4. 1. Сечения графика нормальной двумерной проходищей чеРез центР плотности (в1,т2), и с вершиной в этой точке (рис. 4.1). Любое сечение поверхности — графика нормальной плотности плоскостью, перпендикулярной хОУ, является кривой Гаусса. 60 ~5.

Зависимость и независимость двух случайных величин Определение 5.1. Случайные величины Х, У называются независимыми, если независимыми являются события Х < х и У < у для любых вещественных х, у. З противном случае случайные величины (Х,У) называются зависимыми. Теорема 5.1. Общее необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин: Гху(х у) = Ех(х) - Ру(у) (5.1) для любых вещественных х и у. Это условие есть иначе записанное необходимое и достаточное условие независимости двух событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В) (гл.

4, (3.2)) для случая событий — (Х ) * — (~ у). Теорема 5.2. Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных случайных величин: Х~~(х,у) = Хх(х) Л (у), (5.2) Формула (5.2) следует из (5.1) дифференцированием по х и у, а (5.1) из (5.2) интегрированием по х и у. Теорема 5.3. Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин: Ра=р Р~ (5.3) для любых ~ = 1, 2,..., т; й = 1, 2,..., и. ~ Ограничимся случаями, когда случайные величины Х, У принимают конечное число значений, расположенных в порядке возрастания.

Необходимость. Пусть выполнено равенство (5.1) для любых х и у. Для дискретных случайных величин его можно записать в виде ~ре = ~ р;. ~р.е, где р;. =Р(Х=х), ре — — Р(у=ух). х,<ху),<у х,<х у~<у Отсюда Х Ер,е=К Хр,.р., х,<худ<у х, «ху„«у Подберем настолько малые х, у, чтобы неравенствам х; <х, у~ <у удовлетворяли только х~ и у1. Тогда в суммах (*) будет только по одному слагаемому. В результате получаем р11 — — р1.р,~. Оставим теперь х без изменения и увеличим у так, чтобы неравенству у~ < у удовлетворяли только два игрека у1 и у2. Тогда в сумме (е) будет по два слагаемых: р11+ р12 — — р).

р,~ + р1. Р,2. Но так как Р11 — — р~. Р.1, то получаем р~2 —— р1, р,2. Продолжая этот процесс далее, докажем, что для любых ~'=1,2,..., й =1,2,... р,~ — — р,,р,~. Достаточность. Пусть выполнены равенства (5.3). Рассмотрим Р~~(х у) = ~ ~ р~~ = ~ ~'.,р;,р ~ = ~р;. ~р ~ = ЕА(х) Р)'(у) . 4 х, <х у~ <у х, <х у~ <у х,. <х у,.

<у У у, у, ХХРимер 5,1. Дана таблица распределения дискретной слу- 1 1 чайной величины (Х,У). Выяснить, зависимы или нет ее ком- 12 4 поненты. х — — Ь Складывая вероятности по строкам и столбцам, находим 1 1 6 2 законы распределения компонент: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 Теперь проверяем условия (5.3): 111131 34 Г2 ~)' 1 'г 3 4 4 2 1 1 2 3 1 Рг~ ' Р~1 = 3 ' 4 = б = Рг1*' Рг~ Р~г = 3 4 = 2 = Р~г Условия(5.3) выполнены, следовательно, компоненты Х, У независимы.

4 Пример 5.2. Проверить, что равенство нулю коэффициента корреляции р является необходимым и достаточным условием независимости компонент Х, У двумерной нормальной случайной величины (Х, У) . 1 Пусть р = О. Тогда формула (4.2) принимает вид: ~~у(х,у) =- ехр + = /~-(х) Яу), 1 1 (х - т1) (у - тг) 2~~зРг 2 аг1 Ог, где 1 (х -т1) 1 г (у тг.) г ~~. (х) = — — -ехр — —; ~у(у) = ехр — — г о1~/2 к 2о1 о'г ~Г2я 2о'г Равенство (5.2) выполнено, следовательно, Х, У независимы. Обратно: пусть Х, У независимы, т. е.

выполнено равенство (5.2); ~~~(х,у) =~~.(х)./~(у), где слева стоит двумерная нормальная плотность (4.2), а справа — произведение одномерных нормальных плотностей компонент Х, У, представленных формулами (5.4). Положим в этом равенстве (5.2) х = т1, у =тг.