Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 13

1 Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. ~3. Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых Определение 3.1. Случайная величина Х называется центрироаанной и нормированной, если ее математическое ожидание равно нулю, а диснерсия равна единице. Любую случайную величину Х с конечной дисперсией о~ и математическим ожиданием т ~ можно центрировать и нормировать в помощью операции Х вЂ” в~ (3.1) что проверяется непосредственно.

Теорема 3.1 (центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых). Пусть случайные величины Х1,..., Х„взаимно независимы, одинаково раснределены, имеют конечные математи ческое ожидание т и диснерсию о . Тогда функция раснределения центрирован- 2 ной' и нормированной суммы этих случайных величин П П У3 ~Х ~~'Х, ',~ Х, -тл А=1 1=1 А.=1 (3.2) очи стремится нри и — > о к функции раслределения нормальной случайной величины с нараметрами д и 1 (лри любом фиксированном х): Ху (х) = Р(Х'„< х) — +Ф(х). (3.3) И вЂ” >ОО Здесь х Ф(х) = — Ге ' Ай ~/2н ~ (3.4) — функция Ланласа. Доказательство теоремы 3.1 вынесено в дополнение. Замечание 3.1. Центральная предельная теорема, гарантирующая результат (3.3), доказана не только для одинаково распределенных слагаемых, но и при гораздо более общих предположениях, которые обеспечивают, в частности, выполнение требования малости дисперсий слагаемых суммы случайных величин по сравнению с дисперсией всей суммы.

Из результата (3.3) следует, что при достаточно большом и сумма У„приближенно распределена нормально по закону У(О, 1) . Но тогда приближенно Л и распределена нормально и сама исходная сумма ~ Хь с параметрами ~~~яяХь 1=1 1=1 и ~ОХя . Это утверждение основывается на следухидем простом факте: се- й=1 ли закон распределения случайной величины (Х вЂ” и)/о. есть И(О,1), то закон распределения Х есть Ф(т,о.).

(Х вЂ” и х — и'1 Гх — т"1 Ь По условию Р(Х<х) =Р~ — < ~ =Ф~ — — ~ О' яя я я Нормальный закон широко распространен в природе. Приведем примеры. 1. Ошибка измерения распределена нормально, так как является суммой большого числа малых ошибок, проистекающих из колебаний параметров среды (температура, влажность, давление и т. д.), колебаний состояния мерительного инструмента, состояния измеряющего субъекга и т. д. 2. По аналогичным причинам распределены нормально координаты точки падения снаряда.

3. Нормально распределена шумовая помеха в управлякицем устройстве. Теорема 3.2 (интегральная теорема Муавра — Лапласа). Пусть р — число появлений события А в и независимых испытаниях ио схеме Бернулли, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р (О < р <1; а=1 — р~. Тогда для любых а и Ь, а<6, имеет место предельное соотнои4ение Р а< 1~ Р <Ь вЂ” + е 2Й=Ф(о) — Ф(а). ~ищ уу-+со Здесь Ф(х) — функции Лапласа (3.4). Интегральная теорема Муавра — Лапласа является следствием центральной предельной теоремы, хотя была доказана ранее независимо (А.

Муавр — англ., 1бб7-1754). На ией основана интегральная приближенная формула Муавра — Лапласа, применяемая для подсчета сумм биномиальных вероятностей: К Ря,ь(Р) = ~ г— 1=О Здесь Ф(х) — функция Лапласа ~3.4). (3.6) Действительно, ~ Р„я (р) = Р~И < и) ч Р~-сс < И < и) = ~=о =Р— 0« = Ф вЂ” Ф( — 00) =Ф Формула «3.6) применяется при больших и и малых р, таких, чтобы число т — пр — — было средним — в пределах таблицы значений аргумента для функции ~лрд Лапласа, т. е.

в пределах от О до 5. Доказательство теоремы 3.2. 1 Докажем, что теорема 3.2 Муавра — Лапласа является следствием центральной предельной теоремы 3.1 для случая одинаково распределенных слагаемых. Для этого введем случайные величины Х~ (Й = 1,...,п), означакицие число появлений собьпия А в Й-м испытании. Как было показано при доказательстве теоремы Бернулли 2.2, случайные величины Х1, ..., Մ— взаимно независимые, одинаково распределенные по закону: Хй.

—— О с вероятностью д и Х~б — -1 с вероятностью р=Р(А); МХ~ — -р, ВХ~ — -рд (й =1...,и). и Случвйняя величине н = ~~Хе есть число появлений события А во всех и 1=1 испытаниях. МИ=-М Ч Хь = ~~МХь =чр; 0Р=0 «~Хе = ~~~ 0Хь =про. Тогда ~-лР 1=1 есть центрированная и нормированная случайная величина, удсвлетворякицая всем условиям теоремы 3.1, Следовательно, 79 при любом фиксированном х. Отсюда при любом фиксированном х имеем Р а< ~<Ь =Р Р<Ь вЂ” Р ~<а -+ Ф(Ь)-Ф(а). 4 Пример 3.1.

По каналу связи передано и = 10000 символов. Вероятность искажения каждого символа помехами р = 0.001, Действие помех на каждый символ происходит независимо, Какова вероятность, что при передаче будет не более 15 искажений? ~ Применяем формулу (3.6). л = 10000, р = 0.001, а = 0.999; = 0.316; 1 т = 15; =(15 — 10).0.316 =1.58; Ф(1.58) = 0.943. Следовательно, ,~пру 80 ДОПОЛНЕНИЕ (О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ) ф1. История и сущность центральной предельной теоремы Центральная предельная теорема теории вероятностей состоит в том, что центрированная и нормированная сумма л взаимно независимых случайных величин Х~ (Й =1,...,л), имеющих конечные математические ожидания т~, конечные дисперсии О~ и удовлетворяющих дополнительному условию, нало- уу женному на сумму их дисперсий х„= тххх, имеет функцию распределения, 1=1 стремящуюся к функции распределения нормальной случайной величины с параметрами м = 0 и а = 1 при п -+ ао: л Р ~~~ ~ ~ сх — +Ф(х), (1.1) 1=1 ~П и-+ос где Ф(х) — функция Лапласа.

История этой теоремы начинается по сути с Я. Бернулли, доказавшего первую предельную теорему о приближении относительной частоты события к его вероятности. Более общие результаты в этом направлении получили Муавр (1718 г.)„Лаплас (1812 г.). Общая постановка вопроса о центральной предельной теореме принадлежит Чебышеву. Его ученик Ляпунов в 1901 г. получил весьма общие достаточные условия для выполнения результата (1.1). В 1922 г. финский математик Линдеберг получил достаточные условия для выполнения (1.1), которые затем оказались и необходимыми, что было доказано в 1935 г. Феллером (амер., 1906-1970).

Формулировка и доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых принадлежат П. Леви (фр., 1886— 1971). Теорема укладывается в теорию Линдберга — Феллера, но доказательство ее значительно проще, а результат достаточен для обоснования положений математической статистики. $2.

Комплексные случайные величины Комплексной случайной величиной (к, с. в.) называется случайная величина вида 7 = Х+ сУ, где Х, У вЂ” действительные случайные величины, ~ — мнимая единица. 81 (2.1) На к. с. в. с некоторыми изменениями распространяются понятия и резуль- таты теории вероятностей, известные для действительных случайных величин. Отметим некоторые определения и формулы, необходимые в дальнейшем. Для к.

с. в. У = Х+ ~К комплексно сопряженной является случайная вели- чина У = Х вЂ” ~У. Математичепсим ожиданием к. с. в. У = Х+ ~У называется комплексное число МУ =-МХ+ ~МУ. Центрированной к. с. в. называется к. с. в. вида 2 = Х+ у Р = 1Х вЂ” М Х) + КУ вЂ” МУ) = У вЂ” М У . дисгнрсия к. с. в. У = Х+ ~У определяется формулой («г = м[д2~ = м[(х)2~ (т) 2 "[ = м[(х)21~ и[(Я =-(«х+ («т, Ковариация двух к. с.

в. У1 -— - Х1+И~ и У~ = Л~+И~ есть комплексное чис- ло, определяемое формулой Кх2 =М[Я1722=М[(Х1~ !т!)(Х2 — ат2)2= 0 О О О о о О 0 =М[ Х! Х2+т« т2 аа(Х2 т« — Х! «2)1= Кхх, +Ктт, +а(Кхт, — Кх 2). Две к. с. в. У[ — — Х1+П~ и У2 — — Х2+~У2 называются независимыми, если ве- щественная и мнимая части одной из них попарно независимы от вещественной и мнимой частей другой, т. е. независимы случайные величины, составляющие пары Х1,Х2,' Х«,.[2, 1~, Х2 „~~, У~.

В частности, эти пары случайных величин не коррелированы. Тогда Кл. )[ =К~~ — — К~~ — — К~~ — — О. Отсюда следует, что «" 112[212 К~,7, — — О, т, е. 71 и 72 не коррелированы. Несколько к. с. в. называются взаимно независимыми, если вещественная и мнимая части в отдельности каждой из них взаимно независимы с веществен- ными частями и с мнимыми частями остальных к.

с. в. На к. с. в. распространяются известные свойства математического ожида- ния. Например, м[71 !.У2[™[х! +!«1+ х2+!«2! ™1(х! 1-х2)+а(та + т2)1= =%Х1+Х~1~™%+ А) МХ1+ЮМ~~+МХ2+хМ~'2 =М~~+М~2. Если У[ и Л2 независимы, то М%~~1™~Я ЬЧ~21 М[Х«У21=М1(Х! МК1НЯ2 МУ2)1 Ы[К«У2[ М[У!['М[Г2[ С другой стороны О О "$ 1 о о о о М[А х2 3 = М[ (Х1+ ! т1 ) (Х2+ ! «2)1= Кх х, Ктата " '(Кх т + Кх т ) = («. Из этих двух результатов находим, что М%Ж %411.М%1=О; М[7["Ы=%ЯМ~г) ~ Последний интеграл равен нулю как интеграл от нечетной футпсции по симмет- ричному промежутку.

Для вычисления первого интеграла воспользуемся таб- личным интегралом Лапласа, известным из теории интегралов, зависящих от параметра, и теории преобразования Фурье: е С0$~3ь 6Ь =— 1 2 л Р—. ехр —— и 4а Тогда Ех(~)=е"~ 1 е 2(' сов(~сй=-е"~ — ~ е ~(' сой~сй= а~~2к ~ а~2к ~ -«о о и 2 1 ~2а2 ~2а2 =е'~ — а~~2я.ехр — =ехр Ит — — а- а /2д 2 2 2 Таким образом, 2 2 Е~(~) =ехр — Иш- 2 (З.б) ~4. Доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых Теорема 4.1 (для одинаково распределенных слагаемых).