Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 14

Пусть случайные величины Х~, Х2,..., Х„взаимно независимы, одинаково распредеиены, имеют математическое ожидание т и конечную диснерсию В = а ~ О. То- 2 гда функция раснределения нормированной и центрированной случайной ве- личины 1 — ~ Х~ — тл д ~ нри любом фиксированном х стремится нри л -+ о к функции раснределения нормальной случайной величины с иараметрами и = О и а =1: х Ку(х)=Р(У„«х) — + ')и ' ~М=Ф(х), (4.1) п-+ ~/2л ~ Образуем центрированные и нормированные случайные величины Х~ — — (Х2.

— т)/а (к = 1,2,..., и, Эти случайные величины взаимно независимы, так как таковыми являются Х1,..., Х„. Кроме того, они одинаково распределены„следовательно, имеют одну и ту же характеристическую функцию Е), (~). Выразим через нее характеристическую функцию случайной величины у=~(х,/,Я. 1=1 Характеристическую функцию для Х~/~/и найдем по формуле (3.3), она равна Е» [!/~(п). Здесь Х' — произвольная из случайных величии Х[', Х2,..., Х„'. Характеристическую функцию для У„получим по формуле (3..'~) как произведение п одинаковых функний Е т [~/ /п).

Таким образом, Ь; (1) =[Е»,[1/.%)]". Вместо того, чтобы непосредственно искать предел функции распределения У„', будем искать предел Еу (~). Для этого представим Е~ (~) по формуле Тейлора до членов 2-го порядка с асимптотическим остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки ~ = О: Б» (!) = Е» (О)+ Б» (О) !+[Б» (О)/2 ьа(!)[4 Остаточным членом здесь является а(~) ~~, где а(~) — + О. ю-+О Используем свойства характеристической функции. По свойству 1: Е~.(О) =1. По свойству 3: и1 --~ Е~.(О) =МХ' = О, и~ — — ~ ЕЯ'(О) = — ЕЯ'(О) = 1. Огсюда Е~ (О) = — 1.

Тогда Е» (Г) = 1- з /2+ а(!) з, Б т [з/ /п) = 1- з /(2п) + а[!/~/п) г ~/п . Отсюда Еу (!) = [1 — г /(2п)+а[!/,/п)! /п] . Прологарифмируем это выражение и перейдем к пределу при и -+ о() и фиксированном 1: 1(т 1нЕт (з) = 11т п1в[! — з~/(2п)+а[1/ь1п)гз/п] П-ФОО Р2-+сО Заменим логарифм эквивалентной бесконечно малой величиной при и -+ сю, что не сказывается на величине предела. Получим !(т 1нЕт (з) = 1(т и[-! /(2п) <-а[~/ь/и )! /п]]= И вЂ” РОО " И-+ = 11т[-! /2ьсс[з/ь(п) г ]=-и~/2. Отсюда )1т е| (г) =ехр(-! /2). И-+00 Согласно формуле (3.6) получили характеристическую функцию нормальной случайной величины с параметрами т = О и о' = 1.

Тогда по свойству 5 характеристических функций заключаем, что предельный закон распределения случайной величины К„при и — > со является нормальным с параметрами т = О и а=1. 4 Замечание 4.1. Заключение центральной предельной теоремы о нормальном законе как асимптотическом для суммы большого числа случайных величин имеет место при гораздо более широких предположениях о случайных величинах.

Они могут быть распределены по произвольным законам, но должны оказывать на всю сумму равномерно малое влияние. Сравнение ведется по вкладу в общую дисперсию. Точный смысл этой характеристики случайных величин содержится в условии теоремы Линдеберга. П иведем формулировку теоремы Линдеберга для случая непрерывных случай ~х величин. Более полную формулировку и доказательство можно найти в ~б1. Теорема 4.2 (Линдеберга). Лусть Х~, Х~,..., Մ— взаимно независимые случайные величины с плотностями Ях), Ях), ..., Ях), имеющие математи ческие ожидания т1, т2,..., т„и конечные диснерсии В1, й~,..., 1Э„, отличные от нула.

Тогда для любого ноложительного числа е условие 11т — ~ ) (х — т~) Д~,(х)~Й=О, 1 (4.2) л — мо 5 ~) ~ =1~х-т),~>яЛ'„ П где Я„= р В~, является достаточным для того, чтобы выиолнялось со- 2 1Г~ 1=1 отношение (1. 1). 87 1. Справочник по одномерным непрерывным распределениям $1. Распределения с плотностью, отличной от нуля на всей оси 1 (х — т) 1. Нормальное распределение: ~г(х) = ехр — —, т я й, о' > О; оЛ Ъу2 тх = т; Вх = о; Мо = т.

Типовои график — на рис. 1.1. Является предельным 2. для распределения суммы независимых случаиных величин, рассматриваемых в центральной предельной теореме. Описывает распределение различных выборочных средних, ошибок измерения, параметров деталей, координат точки падения снаряда, величины шума в управляющем устройстве. Рис. 1.2. График плотности распределения Стьюдента Рис. 1.1. Типовой график плотности для распределений 1, 2, 3, 4, 5 2.

Логистическое распределение: ~"(х) = до е ~у(1+ е ~у) = — сЬ 4о 2' х — т ~г- 2. у=, д=п~~З ж1.3138; т ей, а>0; т~ — — т; В~ — — а; Мо=т. График— на рис. 1.1. Мало отличается от нормального распределения. Применяется в экономических, социологических, экологических, медико-биологических исследованиях. а~ 2 21 1 З.Распределение Коши: Дх)= — ~а +(х-т) ~, таей, а>О; т~, ОА- не существуют; Мо = Ме = т; вероятное отклонение (половина расстояния между 88 Приведенные 25 наиболее употребительных распределений разбиты на 3 группы по виду областей, где плотность отлична от нуля: на всей оси, на правой полуоси и на ограниченном промежутке. Для распределений указаны математические ожидания тх, дисперсии Ву, если они существуют, моды Мо, типовые графики плотностей, а также применения при моделировании реальных распределений.

Справочник полезен при решении учебных задач, а также при выборе альтернатив для моделирования. квартилями) — мера рассеяния Е = а. График — на рис. 1.1. Является распределением отношения двух нормальных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. л 4. Трехпарамегричесиое распрсделеиие Коши: ~(х) = С[1+ и~х — т~ а>0, ? >1, т ~й., С= Ха~' (2'т) з1п?, тХ =т (при ?(>2); В)( — — а лш — /з1п — (при ?(,>3); Мо=т, График — на рис.

1.1. При ?(,=2 -2/хГ л / Зк ? получаем распределение Коши. Применяется при моделировании реальных распределений. 5. Трехпараметрическое распределение, близкое к нормальному: Г(х) =Сахро-а~х — т~ ), т сК, а>0, ) >О, С= — ха ~ Г (1г),1, Г(х) — гамма-функция; тх —— т; Ох — — а ( Г~З/?(,)Г (1/?(.); Мо = т. График при?~ >1 — на рис. 1.1. При ?(. = 1 получаем распределение Лапласа, при ?(.

= 2 — нормальное. Применяется при моделировании реальных распределений. -(л+11,(2 6. ~ -распределение Стьюдента: Дх) = Г~ — ~Г ~ — ) 1+— и еМ (число степеней свободы), Г(х) — гамма-функция. т ъ. — — О (и '2); Ол. —— и/(и — 2) (л > 3); Мо = О. График — на рис. 1.2. Применяется в математической статистике. 7.

Распределение Лапласа (двустороннее показательное): [х-т~ /'(х) = — ехр —, т е К, а > 0; тА. — — т; В )( —— 2о „Мо = т . График — на 2о а рис. 1,3. Является распределением случайной величины Х=Х1 — Х2+т, где Х1, Х2 — независимые показательно распределенные случайные величины с параметром 1/ст .

Рис. 1.3. График плотности распределения Лапласа Рис. 1.4. График плотности двойного показательного распределения 8. Двойное показательное распределение: 1 ( х — т1 ( х — т1 ~г(х) = — ехр~ — — ) ехр --ехр~ — ) с=0.5772; Вх — — с~ л,/6; Мо=т; асимметрия А=1.1395. График — на рис. 1.4. 2 г/. Является распределением экстремальных элементов выборки.

$2. Распределении с плотностью, отличной от нуля на полуоси 1. Распределения с плотноспи ю показапюелвпого пшпа. 1.1. Показательное (зкспоненниальное) распределение. "/ (х) = Хе „Х > О, х >О; т) —— 1/Х; 0х — — 1/Х; Мо=О. График — на рис.

2.1. Описывает распреде- / 2. ление времени обслуживания„времени безотказной работы прибора. Рис. 2,1. График плотности Рис. 2.2. График плотно- Рис. 2.3. Типовой график показательного распределе- сти смещенного показа- плотности распределений 1,3, ния тельного распределения 1.4 — 1,6, 1.9-1.11, 2.1, 2.2. 1.2. Смен)(енное показательное распределение: ~(х) = Хе Ц" ~/, Х > О, а > О, х ~ а; тл- — — а + 1/Х; В ~ — — 1// Х; Мо = а . График — на рис. 2.2. Применяется l 2, для описания распределения времени обслуживания, которое заведомо не меныпе, чем а.

1.3. Гамма-расиреяелеиие: /'(х) = г.х е, Г = ). /Г(гг), ). > О, Й н (, х к О, Г(х) — гамма-функция; тХ = гг/).; ВХ вЂ” — /г/Х; Мн = (Й вЂ” ()/Х . График цри Й' > 2 — на рис. 2,3. Применяется в теории надежности для моделирования времени безотказной работы приборов, материалов, времени обслуживания. При /с -- 1 гамма-распределение переходит в показательное. При р/ натуральном распределение называется распределением Эрланга порядка /(..

Оно используется в теории массового обслуживания. 1 4 ~н квадра 1 распригделенне ( ~~ )е /'(х) — 2 гг/2 1 1(и/2)х( / ) г «г/2 х>0, иеХ; ту =и; ВА. =2и; Мо=и — 2 при и>3. График при и>5 — на рис. 2.3. Является частным случаем гамма-распределения при й =и/2 и Х = 1/2. Применяется в математической статистике. Параметр и называется числом степеней свободы. 90 .,=.,/2Г(" )Г'(-",), П»=.'~ п-2à — — Г 1.5. Модифицированное хн-распределение ( ~ ): )"( )=2'-"/'Г '( ~2) -" "-' -" ~(" ) и еХ, х>0; Мо =а~Я -1.