Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 15

График при п > 3 — на рис. 2.3. Является распределением случайной величины 2 2 Х = ) Х) +... + Х... где Х),..., Մ— нормальные взаимно независимые одинаково распределенные случайные величины с параметрами О и а. При а = 1 переходит в обычное хи-распределение. Применяется в математической статистике. 1.6.Распределение Максвеллж /'(х)= х ехр —, а>О, х>О; 2 2 х а ~/2д 2а тх — — а2~Г2/~Й; Вх — -- а~(3 — 3/л); Мо = а~//2 . График — на рис. 2.3.

Является частным случаем модифицированного хи-распределения при и =3. Описывает распределение длины вектора скорости молекулы газа. х х 1.7. Распределение Релея: /'(х) =- — ехр —, а > О, х ~ О; а 2а тх —— а ~к/2 = 1.2533а „В1(. — — а (2 — п/'2) ж 04292а; Мо = а. График — на рис. 2.4. Является частным случаем модифицированного хи-распределения при л = 2. Описывает распрелеленне алины случайного плоского вектора т/Х + 1г~, где Х, У вЂ” независимые нормальные случайные величины, одинаково распределенные в параметрами О и а. Применяется в артиллерии, теории связи, теории надежности.

2 х 1.8. Усеченное нормальное распределение. ~(х) =- ехр — —, а >О, а~~2к 2а2 х>0; и» = и/2/к; О» —— и (к — 2)/к; Мо=й. График — нарко. 2 5. Применяет- 2 ся в теории надежности для моделирования времени безотказной работы приборов, материалов. Является частным случаем модифицированного хи-распределения при п =1. 1,9.Распределение Вейбулла: ~(х)=босх ехр( — р(х ), Х>0, к>О, х>О; и»=2. ~ Г(1+1/я); В» — — 1~ ~"[Г(1я-2/я)-Г (1+1/к)); Ма=1~ (1 — 1/1г) График при рГ > 2 — на рис.

2,3. При Й = 1 распределение Вейбулла переходит в показательное. Применяется для моделирования распределения времени безотказной работы приборов, материалов. Рис.2.4. График плотности Рис. 2.5. Графикплотности Рис. 2,6. График распределения Релея усеченного нормального плотности распределения распределения Парето 1.10.

Трехпараметрическое гамма-распределение." / (х) = Сх ехр( — ~)х" ), к;> 1, Х > О, и > О, х > О, С = пХ /" Г (к/'и), Г(х) — гамма-функция; 1/п Мо=~ ~ ~ . При п=1 получаем обычное гамма-распределение, при п=к распределение Вейбулла. График при й > 2 — на рис. 2.3. Применяется для моделирования распределения величины стока и загрязнения рек. 1.11.

Логарифмически-нормальное распределение: 1 1п х — и) 2 1'(х) = ехр -~ — — —, охЛд 2О г 0~ —— е (е — 1); Мо=е . График — на рис, 2.3. Применяется для моде- 2тп+О О . и — (у лирования распределения продолжительности жизни, величины доходов населения, размеров частиц при дроблении, в теории надежности. 2. Распределения с плотностью алгебраического типа. 2.1. Р-распределение Фишера: т/2 -(т+и)/2 Х(х) =~ В .— х 1+ — х, т, и — натуральные числа— — 1 т и -1+т/2 т и 2'2 и степени свободы; х > О, В(р,д) — бета-функция; т ° = и/(и — 2) при и > 3; Вх=2п (т+и-2)т (и — 2) (и — 4) ' при п>5; Мо=п(т — 2)т (п+2) при и =' 2. График при и ~ 5 — на рис.

2.3. Применяется в математической стггистике при сравнении дисперсий. 22. Бета-распределение 2-го типа: Ях) = В (рд)хр (1+х) Р ~, р>О, су>0, х>0; тх — — р/(д — 1) при д>1; Вх — -р(р+д — 1)(д — 1) (су — 2) при ц >2; Мо =(р — 1)/(су+1) при р >1; В(рд) — бета-функция. График при р>2— на рис. 2.3. Применяется для моделирования реальных распределений. $3. Распределения, отличные от нуля на конечном промежутке 1. Равномерное распределение на ~а,Ь1: Дх) = 1/(Ь вЂ” а), х я~а,Ь~, а,Ь еК, а <Ь; тА — — (а+ Ь)/2; ВА- — — (Ь вЂ” а) (12. График — на рис, 3.1. Применяется для 2/ моделирования распределения ошибок округления, ошибок отсчета по приборам стрелочного типа. Равномерное распределение на отрезке 10, Ц является стандартным, табулировано и по специальным программам может быть преобразовано в другие распределения, Оно же применяется в статистической практике для образования выборок.

Рис. 3.1. График плотности равномерного распределения Рис. 32. График плотности распределения Симпсона Рис. 3 3. График плотности бета-распределения 1-го типа 2. Треугольное распределение (Симпсона): /'(х) =2~1 — ~а+Ь вЂ” 2х~/(Ь вЂ” а)]/(Ь вЂ” а), х е~а,Ь1, а,Ь еК, а<Ь; тА — -(а+Ь)/2; В~ — — (Ь -а) !24; Мо = (а+ Ь)/2.

Является распределением суммы двух случайгl ных величин, независимых, одинаково равномерно распределенных на промежутке ~а/2; Ь/2~. Применяется при моделировании реальных распределений. 3. Бета-распределение 1-го типа: /'(х) = В (рд)х~' (1 — х)~, р > О, а>0, 0<х<1; тА. — — р/(р+д); В~~ — — рд(р+д) (р+д+1) ~; Мо=(р — 1)/(р+д — 2) при р>1, а>1, р+а>2. Графикпри р>2 и а>2 — на рис. 3.3. Применяется при моделировании реальных распределений. При р = а = 1 переходит в равномерное распределение на 10, Ц, 93 2З.

Распределение Парето (степенное): ~(х) = ссх0 х, х0 > О, х ~ х0, а>0; тх — — ахо(и — 1) при сс>1; Вл. =ахо(а — 1) "(а — 2) 1 при а>2. График — на рис. 2.6. Применяется для моделирования распределения величины доходов населения вьппе уровня х0. Библиографический список 1.

Большев Л,Н., Смирнов Н,В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с. 2. Вентцель Е.С Теория вероятностей, М.: Физматгиз, 1962. 564 с. 3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятиостеи и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 480 с. 4. Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимова. СПб.: Иван Федоров, 2001.

589 с, 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (для втузов). М.: Высш. шк., 1979, 400 с. 6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1938. 443 с. 7. Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике (для втузов и зкономических учебных заведений). Минск: Вышейшая шк., 1975. 272 с. 8.

Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика (для втузов). М.: Высш. шк., 1973. 368 с. 9. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк.„1991. 400 с. 10. Сборник задач по математике для втузов. Т.

3. Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.В. Ефимова, М.: Наука. 1990. 432 с. 11. Сборник задач по теории вероятностей, математичекой статистике и теории случайных функций (для втузов) / Под ред. А,А. Свешникова. М.: Наука, 1970. 656 с.

12. Справочник по вероятностным расчетам / Г.Г. Абезгауз, А.П. Тронь, Ю.Н. Копенкин, И.А. Коровина. М. Воениздат, 1970. 536 с. 13. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С. Королюка. Киев: Наукова думка, 1978. 582 с, 14. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. / Изд. перераб. под ред.

Г Гроше и В. Циглера; Пер. с нем, М.: Наука, 1980. 975 с. 15. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г., КорнТ, / Пер. со второго амер. изд. под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1978. 831 с. 16. ФаЬгзсЬеш11сЫсейягесЬлип8 опд гпайегпайясЬе 81а6з1Й. 1.ехйоп бег ЯосЬайй / Негацз8едеЬеп ~оп Р.Н. Мо11ег.

Вег1ш: А1сас1епие-Уег1ад, 1983, 445 в, Оглавление Предисловие.....................,. Глава 1. Алгебра событий ~1. Предмет теории вероятностей. 52. Классификация событий. ~3. Действия над событиями Глава 2. Вероятность события. ~1. Относительная частота события и ее свойства. ~2. Статистическое определение вероятности ~3. Аксиоматическое определение вероятности ~4. Классическое определение вероятности ~5. Геометрическое определение вероятности. ~6.

Субъективное определение вероятности. Глава 3. Комбинаторика ~1. Комбинаторный принцип умножения........,...........,....,....................... ~2. Размещения . ~3. Перестановки. ~4. Сочетания . 95. Размещения с повторениями Глава 4. Алгебра вероятностей . ~1. Условная вероятность. ~2. Правило умножения вероятностей..................,.............. ~3. Независимость событий.

Правило умножения вероятностей взаимно независимых событий ~4. Правила сложения вероятностей. ~5. Формулы полной вероятности и Байеса ~6. Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность. ~7. Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности Глава 5. Одномерная случайная величина ~1.

Определение случайной величины 52. Дискретная случайная величина. ~3. Числовые характеристики дискретной случайной величины........... ~4. Производящая функция (вероятностей). ~5. Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения. „............ ~6. Непрерывная случайная величина ~7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины ........

~8. Нормальное, показательное, равномерное распределения ............... 3 4 4 5 6 1О К 11 12 13 14 15 17 17 18 19 19 21 23 23 24 25 26 28 31 32 33 35 39 4О 44 46 Глава 6, Двумерная случайная величина. ~1. Двумерная случайная величина, ее функция распределения ......... ~2. Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения, ~3.