Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 11

Тогда оно принимает вид: 1 1 1 27пу1Ог ~,~1 — р ~1~~2Я (тг'~ ~~ После упрощения получаем: 1 — р = 1. Отсюда р = О. 4 2 62 ~6. Математическое ожидание функции двумерной случайной величины Рассмотрим случайную величину ~р(Х,У), являющуюся функцией компонент Х, У двумерной случайной величины (Х,У) . Справедливы общие форму- лы: М!у(Х.У))= 1 ~у(х.уК (х,у) Ыу для непрерывного случая и М[у(ХУ)1 = КК у(х;,ух)у,х [=1Х=[ для дискретного случая. Здесь ДА~(х,у) — плотность вероятности случайной величины (Х,У), а щ =Р(Х =х;,У=у~) (~ = 1,...,т; й =1,...,т) — закон распределения дискретной двумерной случайной величины.

Доказательство формул (6.1), (6.2) выходит за рамки курса [81. С помощью формул (6.1), (6.2) могут быть записаны и доказаны формулы для математического ожидания суммы и произведения двух случайных величин, выражающие свойства 3 и 4 математического ожидания (гл. 5, формулы (3.4), (3.5)). Например, для непрерывного случая М[Х+ Г) = ) ) (х+ у)уху(х,у)~аду Здесь ср(х„у) = х+у. м[ху) = 1 1ху~~(~,у)сйИу. (6.4) Здесыр(ху) = ху.

Основываясь на формуле (6.3), докажем общую формулу (3.4) из гл. 5: л у) М ~Х, =~МХ,. ~ Сначала для двух случайных величин Х, У: М[х+У) = 1 [(х+у)уп(ху)гну= 1 х~й1/п(ху)шу+ / уеду [уху(х у)с(х По формулам согласованности: 63 [/ «у(х,у)с(у = У» (х), ] »х«(х,у)Ш = у«(у). Тогда М(Х+ У]= ] х~х(х)йх+ ] у»' (у)с1у =их+ из'. В общем случае сумму л слагаемых сводим к сумме двух путем группировки: М~Х1 + Л2+...+ Х„~ =М~Х1+(Х2 +" + Ху))~ — МХ! +М~Х2+(Хз+...+ Х„)[= =МХ! ™Х2 ™1Хз+(Х4+... + Ху))1 ' МХ1 ™Х2+" +МХл 'ч Далее, основываясь на формуле (6.4), докажем общую формулу (3,5) из главы 5: м П' =Пм' 1=1 1=1 для взаимно независимых случайных величин Х1, Х2, ..., Х„.

~ Сначала для произведения двух случайных величин: М(ХУ]= ] ~худ»«(х,у)ШШу. Для взаимно независимых случайных величин имеем формулу ~л-г(х,у) = ~Дх) ~~ (у), Тогда м ~.'(. 1уЬ у м( м Общий случай произведения и взаимно независимых сомножителей сводим к произведению двух взаимно независимых сомножителей путем группировки: М1Х!Х2" Ху)~ М1Л!(Х2 *Хп)1 МХ1М1Х2(ХЗ".Хуз)1 =мх,их,м(х,...х„]=...=и(х,]м(х,]...м(х„].

а Теорема 6Л. Неравенство Ко]]ми — Буняковского для математических ожиданий: ~М[Л ~ < (б.5) (О. Коши — фр., 1789 — 1857; В.Я. Буняковский — рос., 1804 — 1889.) ~ Рассмотрим неотрицательную случайную величину (ХХ- У) = Х Х -2ХХУ+ У (О. — вещественно). Математическое ожидание 2 2 2 2 неотрицательной случайной величины неотрицательно: М (ХХ вЂ” У) > О. Следовательно, по свойствам математического ожидания имеем: М[З~Х вЂ” 2)ХУ+У~]= З.м(Х ] — 2ЫИ(ХУ]+М(У ] >О. Квадратный трехчлен относительно вещественного параметра Х неотрицателен. Тогда его дискриминант меньше или равен нулю, т.

е. 4(М~ХУ1) — 4М~Х~)М~У ) < О. Отсюда ~М~ХУ)) <М~Х )-М~У ]. Извлекая из обеих частей арифметический корень, получаем «М[ХУ~«< ~7. Корреляционный момент и коэффициент корреляции х 1( х)( тт)1 (7.1) Очевидно, что К~ — — К~х. На основании формул (б.1) и (б.2) получаем формулы для вычисления КА Для непрерывных случайных величин: кп = ) ) (х — тд.)(у — ту)~А~(х,у)~йиу. Для дискретных случайных величин: т л кмт =~~' К(~~-~ХНх: — т)ра (7.3) ) =1 1=1 Определение 7.2. Коэффициентом корреляции р~ двух случайных величин Х, У называется отношение их корреляционного момента к нроизведению их средних квадратических отклонений: Клт о а Х К (7.2) (7.4) Очевидно, что р,~~ — — р~х. Корреляционный момент и коэффициент корреляции — это числовые характеристики двумерной случайной величины, причем рл.~ — безразмерная характеристика. Из их свойств следует, что они характеризуют связь между случайными величинами.

Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции. Свойство 1. (7.5) б5 Ранее в 95 были сформулированы функциональные характеристики зависимости и независимости двух случайных величин (формулы (5.1) — (5.3)). Рассмотрим теперь числовые характеристики связи между случайными величинами. Определение 7.1. Корреляционным моментом Кл, иначе — ковариацией, двух случайных величин Х, У называется математическое ожидание нроиэведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий: ь()~ х, = 2 х,-м~ х, =м ~ Х,-2мх, 2 у) и и К(х, -мх,) = м Кх, = м Кх, -ККхх, 1=1 Свойство 4.

Для случайных величин Х, У = аХ+ Ь, связанных линейной зависимостью, коэффициент корреляции равен 1, если а > О, и — 1, если а < О. ~ Используем свойства математического ожидания и дисперсии. Последова- тельно получаем Ву =М[(У вЂ” ту) ]=.М[(У-М(ах.уЬ)) ]=М[(ах ~Ь вЂ” ат»-Ь) ]= =М[а (Х-т»)~] =а М[(Х вЂ” т») ]=а~))» — — а~п», Отсюда а) — — ]а]ах. Далее, ХА» =М](Х вЂ” т»)(У вЂ” т~ )] = М[(х — т»)(ах+ Ь-М(аХ+ Ь))] = =М](Х вЂ” т )(аХ+Ь вЂ” ат» — Ь)]=м[а(Х вЂ” т») ]=ай» =па».' КХ1 аох а 1 при а>О, 2 а»ау а»]а]а» ]а] ~ — 1 при а<0.

Свойство 5. Если ~рА1 ~ = 1, то случайные величины Х, У связаны линейной зависимостью с вероятностью единица. Доказательство свойства 5 выходит за рамки книги 141. Замечание 7.3. Величина М~ХУ]= а11 называется вторым смешанным на- чальным моментом двумерной случайной величины (Х,У), а ее корреляцион- ный момент Ко — вторым смешанным центральныммоментом. В пределах первых двух моментов двумерная случайная величина может быть охарактеризована центром — точкой (тх,т~) и корреляционной матрицей (' .Ох Ко. К=~К'1 "О .

Заметим, что В~ — — К -), О) —— К11. ~КО- й~ Теорема 7.1. Дисперсия суммы и попарно некаррелированных (в частно- сти, попарно независимых~ случайных величин равна сумме их Дисперсий. о о так как М1Х;Х 1= О при ~ ~ у в силу некоррелированности случайных величин.

4 Пример 7.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей. Найти коэффициент корреляции рху. > Последовательно находим законы распределения компонент, складывая вероятности таблицы по строкам и столбцам (формулы согласованности (2.3)): Математические ожидания компонент: 3 1 1 ту — — О. — +1. — = —; 4 4 4' Вторые начальные моменты компонент: 2 3 2 1 1 а2х —— Π— +1 4 4 4' 5 3 3 ту =О' — +1 8 8 8' 5 2 3 3 а2у — — О .— +1 8 8 8 Дисперсии компонент: 2 1 1 3 ОХ а2Х тХ > 4 16 16* Второй смешанный начальный момент: 1 1 а =ΠΠ— +О1— * 2 4 Корреляционный момент; 3 9 15 Оу — — а2у — ту — — — — — —.

8 64 64 ' +1-0.-+1.1.-= —. 1 1 1 8 8 8' 1 1 3 1 3 1 Кху = а11 — тхту — — — — — — — — — — —, 8 4 8 8 32 32' Средние квадратические отклонения компонент: ау =,/3~16 = ~/3/4; а~ =,,65/64 = Д5/8, Коэффициент корреляции: Кху 1//32 х "т (Л/4)(,/Б/8) з,/5 Пример 7.2. Корреляционный момент двумерной нормальной случайной ве- личины вычисляется по формуле (7.2). Подынтегральная функция определяется формулой (4.2).

Двойной интеграл вычисляется с помощью подстановки х — т1 1 У вЂ” т2 х — т1 И= —; У— Р ~;„22) )..., ) При этом якобиан будет равен 1 = 2о1о2~1- р . Опуская вычисление интегра- 2 ла, запишем результат: КХу — - ро'~о2. Отсюда рХу — — — р, т. е. пяКху Кху оХау аР2 68 тыи* параметр р двумерной нормальной плотности является коэффициентом корреляции в соответствии с его определением 7.2. Замечание 7.4.

Для случая двумерной нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелированности ее компонент совпадают (примеры 5.2 и 7.2). 69 Определение 1.5. Случайные аничины Х1,..., Х„называются взаимно независимыми, иначе — независимыми в совокунностгг, если взаимно независимыми являются события Х1 < х1, ..., Х„< х„для любых х1,...,х,.

Теорема 1.1. Веобходимым и достаточным условием взаимной независимости л случайных величин является равенство ЕХ Х (х1,..., х„) = ЕХ (х1).... ЕХ (х„) (1.4) для любых вегцественных х1,..., х„. Здесь Р~ (х~) — одномерная функция расггределения случайной величины Х),, Й = 1,..., и. Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием взаимной независимости и неггрерывных случайных величин является равенство ХХ,...Х„(х1,",х.) = ХХ,(х1) "..ХХ„(х„).