Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 8

Вероятность брака партии изделий равна р = 0.1. 1) Сколько нужно проверить деталей в среднем до первого обнаружения брака7 2) Чему равна вероятность Р(Х < т~ + а А.) 7 ~ 1) По формуле (5.10) получаем т~ — — 1/0.1 = 10. Эта функция является первообразной для плотности „~(х), т. е. Е'(х) = „~(х) . (6.4) Интеграл (6.1) численно равен площади криволинейной трапеции под кривой плотности в пределах промежутка ~а,о1 (рис.

6.1). Он равен вероятности попа- дания случайной величины в этот промежуток. Рис. 6.2. Типовой график функции распределения непрерывной случайной величины Рис. 6.1. Геометрическая иллюстрация вероятности попадания случайной величины в промежуток Часто плотность называют дифференциапъным, а функцию распределения— интегральным законами расиределения непрерывной случайной величины. Обычно предпочитают дифференциальный закон, так как кривая плотности наглядно показывает, в какие промежутки более вероятно, а в какие — менее вероятно попадание значений случайной величины (по величине площади криволинейной трапеции).

Наглядно видны и другие свойства закона, например, симметричность. График функции распределения непрерывной случайной величины — непрерывная кривая (рис. 6.2), идущая от вещественной оси к прямой у = 1. В приложениях можно ограничиться плотностями, которые обладают еще и свойством кусочной непрерывности. (Под кусочно-непрерывной функцией понимается ограниченная на всей вещественной оси функция, имеющая конечное число точек разрыва на каждом конечном промежутке). В общей формуле (6.1) содержится и формула для функции распределения непрерывной случайной величины: х К(х) =Р( — со < Х <х) = ~~Яй.

(6.3) Эта функция является первообразной для плотности ~(х), т. е, Е'(х) =~(х) . (6.4) Интеграл (6.1) численно равен площади криволинейной трапеции под кривой плотности в пределах промежутка 1а,о1 (рис. 6.1). Он равен вероятности попа- дания случайной величины в этот промежуток. Рис. 6.2. Типовой график функции распределения непрерывной случайной величины Рис. 6.1.

Геометрическая иллюстрация вероятности попадания случайной величины в промежуток Часто плотность называют дифференциальным, а функцию распределения— интегральным законами распределения непрерывной случайной величины. Обычно предпочитают дифференциальный закон, так как кривая плотности наглядно показывает, в какие промежутки более вероятно, а в какие — менее вероятно попадание значений случайной величины (по величине площади криволинейной трапеции). Наглядно видны и другие свойства закона, например, симметричность. График функции распределения непрерывной случайной величины — непрерывная кривая (рис. 6,2), идущая от вещественной оси к прямой у = 1.

В приложениях можно ограничиться плотностями, которые обладают еще и свойством кусочной непрерывности. (Под кусочно-непрерывной функцией понимается ограниченная на всей вещественной оси функция, имеющая конечное число точек разрыва на каждом конечном промежутке). В общей формуле (6.1) содержится и формула для функции распределения непрерывной случайной величины: $7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины <р(х), „, =)ср(»Щ«)~й ) у'(х)гй. (7.2) И П Здесь <р(х) =х; а= — ес; А =+~с; ~У(х)<й =(.

Формула (22) принимает анд »2 (7.1). Свойства математического ожидания, сформулированные в ~3, формулы (3.2) — (3.5) остаются справедливыми и для непрерывной случайной величины. Определение дисперсии случайной величины Х, данное в ~3 с помощью формулы (3.8): ОА =М (Х вЂ” р'»»Х) =М Х является общим как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Конкретизируем эту формулу„указав способ вычисления 0Х. Для этого отметим общую формулу для математического ожидания непрерывной функции (р(Х) непрерывной случайной величины Х 181: М)ср(х)) = ~ср(х)2»(х) сй. В этой формуле интеграл предполагается абсолютно сходящимся. Для случая дисперсии <р(х) =(х — вА ) . По формуле (7.3) получаем: 0 Х = ) (» — ~~)»х(~)сй. (7.4) (7.3) Определение 7.1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называетси интеграл МХ = ) «у'(~)Ш. (7.1) Этот интеграл предполагается абсолютно сходящимся. В противном случае, т.

е. когда интеграл расходится или сходится условно, считают, что случайная величина Х не имеет математического ожндания. Вероятностный смысл формулы (7.1) такой же, что и для дискретной случайной величины. Эго ее среднее значение, точнее — средневзвешенное значение с весовой функцией, равной плотности вероятности. Напомним, что средневзвешенным значением функции <р(х) с весовои функцией ~(х) на промежутке ) а, Ь1 является отношение Свойства дисперсии (3.13), (3.14), (3.16), указанные для дискретного случая, остаются справедливыми и для непрерывной случайной величины.

Определение 7.2. Модой непрерывной случайной величины называется точка максимума ее плотности вероятности (рис. б. 1). Определение 7.3. Медианой ~Ме Х, Ме) непрерывной случайной величины называется ее значение, обладающее свойством — вероятности попадания случайной величины Х леаее и правее медианы равны: Р(Х < Ые) = Р(Х > Ме), (7.5) С помощью функции распределения Р(х) равенство (7.5) записывается в виде Р(Ме) = 1 — Г(Ме), отсюда Е(Ме) = 1/2. (7.6) Если Р(х) строго возрастает, то медиана единственна.

В случае отсутствия тл его роль, как среднего, обычно выполняет медиана. Определение 7.4. Коз ф4>ициен том асимметрии распределения ~скошенности), или просто асимметрией называется число, равное отноьиеиию третьего центрального момента случайной величины к кубу ее среднего квадратического отклонения: ад =~дз/ол' / 3 (7.7) Для непрерывной случайной величины аА > О, если график одномодальной плотности имеет пологую часть справа, а кругую слева от моды; ах < О, если наоборот; а~.

-— — О для симметричного распределения (рис, 7.1). Рис. 7.1. Геометрический смысл знака коэффициента асимметрии Определение 7.5. Квантилью порядка р непрерывной случайной величины Х называется ее значение х „, удовлетворяющее уравнению Г~(х,) = р. ~7.8) Квантили порядков р=1/4 и р=3~4 называются соответственно нижней и верхней квартилями. Если Г~(х) строго возрастает, то квантиль х, единственна. Квантиль порядка р = 1/2 есть медиана распределения. В математической статистике применяются таблицы квантилей конкретных распределений 1Ц.

46 $8. Нормальное, показательное, равномерное распределения Параметр т называется центром, а параметр о — стандартным отклонением случайной величины Х . График ~(х) приведен на рис. 8.1. Рис. 8.1. График плотности нормального распределения Нормальный закон для краткости обозначается символом Ж(т,с.) . Функция распределения нормального закона выражается формулой (8.2) Здесь х г —— Ф(х) == ~ е 2й (8.3) — фуяция Лапласа, — нормированная функция Лаиласа, Ф(х) = 0.5+ Фо(х) (8,5) — формула, связывающая функцию Лапласа и нормированную функцию Лапласа. График Фо(х) представлен на рис.

8,2. График Ф(х) получается сдвигом графика Фо(х) на 0.5 вдоль оси Оу вверх. 47 1 . Нормальное распределение (закон Гаусса). Случайная величина Х называется распределенной нормально, если ее плотность вероятности задана формулой (х-т) )2 с~/2я о~/2й 2о Рис. 8.3. График функции распределения Р (х) нормального закона У(т,а) Рис. 8.2. График нормированной функции Лапласа Фо(х) Нормированная функция Лапласа Фо(х) во многих случаях бывает удобнее, чем Ф(х), так как является нечетной. Ее свойства: Фо(-х) = — Фо(х); Фо(0) = 0; Фо(+ ю) = 0.5. Последнее свойство основывается на так называемом интеграле Эйлера — Пуассона -( ~2~ Д (З.б) (Л. Эйлер — рос., 1707-1783), Таблицы значений обеих функций Фо(х) и Ф(х) содержатся во всех руководствах и справочниках по теории вероятностей 111. Таблица значений Фо(х) приведена в конце книги.

График функции распределения Е(х) нормальной случайной величины (8.2) получается из графика Фр(х) путем сдвигов и растяжений вдоль осей координат. Он представлен на рис. 8.3. Доказательство формулы ~8. 2). 1 — т . Й ~ Выполняем в интеграле (8.2) подстановку — =г; — =сй; ~ = — оо ==> а ' а х — т х = -оо; ~ = х ==> ~ = —. Тогда а х-т х ~0-И) „2 ~(х)= ~'е 2ы' а~= — - ~' е 2ж=ф х а~Г2л ~~2 к Для нормального закона М(т,а), взяв интегралы (7.1), (7.4), получим МХ=т; (8.7) ОХ=а . (8.8) Таким образом, здесь параметр т является математическим ожиданием, а параметр а — средним квадратическим отклонением нормальной случайной величины Х. Доказательство формул ~8. 7~, (8.ф.

)' Выполняем ту же подстановку = г в интегралах (7.1) и ~7.4), что и О при доказательстве формулы (8.2): +ОЭ +со (Х-т) 2 +со МХ= ) хПх)Ш = ~ х е ге ей= — / (теаг)е г Ш= о~/2~~ ~Г2к +оо 2 2 =т — ~ 0 ао+Π— ~ .о8 сех =т+О=т, Лк ~/2л +а~ 22 +~о так как ) е гее =1 к силу формулы ~86), ) ге гШ=О клк иитегрлл от нечетной функции по симметричному промежутку. +ОЭ (х-я) +00 2 ОХ= ) (х — т) е ге ~й= — ) а~г~е гих= — ~ где а~/2л ~/2к ~/2я Интегрируем по частям; и =г, ю= е 2 ~)А — ~е 2 +~30 = — 1е Ж~=0 .4 42я ~ — 2 Д2 В силу симметрии графика плотности относительно прямой х = т имеем: Мо=Ме=т, (8.9) С помощью таблицы квантилей нормального распределения М~0,1) 1Ц можно найти квартили х1/4 —— т — О.б745а, х3/4 — и+ 0.6745о.