Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 4

База индукции. Пусть /с = 2. Две операции вместе можно выполнить, сочетая каждый способ 1-й операции с каждым способом 2-й. Их число п1п2, т. е. формула (1.1) верна при й = 2. Индукционный шаг. Предположим, что формула (1.1) справедлива для й — 1 операций. Докажем, что она справедлива и для Ф операций. 1 — 1 операций, проведенных вместе, будем считать одной комплексной операцией, Тогда й операций, проведенных вместе, сводятся к проведению двух операций. Число их способов проведения будет произведением двух чисел: (п1п2...п~ 1)п~, — — п1п2...п~ .

Формула (1.1) сохранилас~ для Й операций. 4 Пример 1.1. Код замка представляет собой последовательность одной из 25 букв, стоящей в начале и двух цифр от О до 9. Найти вероятность открыть замок (событие А) при одном случайном наборе буквы и цифр. 17 ~ Здесь при наборе выполняется 3 операции, При этом л~ — -25, и2 — — 10, п =10.

Тогда т=1; и=25*10 10=2500. Р(А) = — = =00004. 4 т 1 н 2500 $2. Размещения Определение 2.1. Размешениими (апаидетенй, англ.) из п элементов но Й элементов называютси соединении, каждое из которых состоит из lс элементов, взитых из данных и элементов. При этом размещении отличаются друг от друга как самими элементами, так и их лоридком. Число размещений из и элементов по Ф элементов обозначается символом А„(читается: «А из и по й») и вычисляется по формуле Ап =н(п — 1)(п — 2)...1н -(й-1)~ (1(Ус <и) . (2.1) А„равно произведению lс последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых есть п. ~ Представим размещение в виде слова, состоящего из 1 букв, взятых из данных и различных букв.

В качестве первой буквы х1 можно взять любую из и данных букв. Б качестве буквы х2 — любую из н — 1 оставшихся букв и т. д. В качестве 1-й буквы х~ можно взять любую из и — (Ф вЂ” 1) оставшихся. По принципу «умножения» рассматриваемое слово можно составить числом способов, равным произведению (2.1). 1 Пр р~Л А7з=7 6 5=210.

Пример 2.2. Из трех букв а, Ь, с составить различные размещения по два и подсчитать их число. 1 Сами размещения по два: ао, Ьа, ас, са, Ьс, сЬ. Их число: Аз — — 3 2 = 6. 4 2 Пример 2.3. Две радиостанции могут работать на одной из трех фиксированных частот каждая. Найти вероятность, что при одновременном и независимом выходе в эфир они будут работать на различных частотах. ~ Применяем классическое определение вероятности. Тогда искомая вероятность р= —. Здесь т=А =3 2=6. Так как каждая из радиостанций выбит 2 рает независимо любую из трех частот, то по принципу «умножения» п=3.3=9; р= — = —.

1 6 2 9 3 Замечание 2.1. Имея в виду дальнейшие приложения теории вероятностей к математической статистике, полезно дать статистический аспект некоторым соединениям. Будем называть исходное множество из и элементов генерапьной совокупностью объема и, а соединение, из него построенное — выборкой объема й.

При этом выбранные по одному из генеральной совокупности элементы могут нс возвращаться обратно. Тогда такой выбор называется выбором без возвращения, Если же выбранные по одному элементы осматриваются, запоминаются и снова после каждого выбора возвращаются в генеральную совокупность, то такой выбор называется выбором с возвращением. Теперь снова сформулируем определение размещения на статистической основе. Определение 2.2. Размещениями из п элементов по Ф элементов на~ываются выборки обьама й из генеральной совокупности об'ьема и, полученные выбором без возвращения и отличающиеся друг от друга при повторении выборок как самими элементами, так и порядком их выбора, ~3.

Перестановки Определение 3.1. Перестановками (ретти1айош, англ,) из и элементов называются размещения из и элементов по и элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов. Число перестановок из и элементов обозначается символом Р„(читается: к Р из п») и вычисляется по формуле (2.1) при к = п: Р„= А,", = и (и — 1) (п — 2) ... 2 1 = п1. '1'аким образом, Р„= и!. (3.1) Пример 3.1. Из трех букв а, Ь, с можно составить следующие слова — перестановки: аЬс, асЬ, Ьса, Ьас, саЬ, сЬа.

Их число Р; =3! =3 2 1= 6. Пример 3.2. На полке 5 книг. Книги сняты с полки и после реставрации поставлены на полку в случайном порядке. Найти вероятность, что две книги одного автора окажутся стоящими вместе. ~ Предполагаем возможность применения классического определения вероятности. Тогда п = Р5 = 5~ = 120. Для подсчета т будем две книги одного автора считать за один элемент. Тогда т = 2. Р~ — — 2 4! =-48. Учтено, что две книги одного автора можно менять местами. Искомая вероятность р = — = — = †. 4 т 48 2 и 120 5' $4. Сочетания Определение 4Л.

Сочетаниями ~сотйпайопв, англо из п элементов по Й элементов называются соединения, каждое из которых состоит из Й элементов, взятых из данных л элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений„порядок следования элементов здесь не учитывается. 19 Число сочетаний из и элементов по Й элементов обозначается символом С„(читается: «С из и по к») и вычисляется по формуле А;, и(и — 1)(и — 2)...(и — )~+1) )) Р ~ Для получения всех размещений из и элементов по /г элементов выполняем две операции. Первая операция — образуем всевозможные сочетания из и элементов по Й элементов. Число полученных сочетаний — С„.

Вторая операция — делаем в каждом полученном сочетании всевозможные перестановки. Число таких перестановок в каждом сочетании — Р . По принципу «умножения»: А„=фР. Отсюда С„= А„) Р~. 4 й й /с й/ Умножая числитель и знаменатель формулы (4.1) на (и — к)1, получаем другую формулу для С„: и~ РИ- У (4.2) Заменяя в формуле (4.2) Ф на и — А, замечаем, что при такой замене множители Й! и (и — Й)1 в знаменателе дроби лишь меняются местами, отчего величина дроби не меняется, поэтому (4.3) Эта формула в некоторых случаях позволяет упростить вычисление числа ,8 ~ 10 9 сочетаний.

Например, С1о = С1О = — = 45. 1 ° 2 Числа С„называются также биномиальными коэффициентами, так как являются коэффициентами разложения бинома Ньютона и ~х+а)" = ~С„х а" ~. (4.4) 1=0 Для единства формул делается соглашение СО ~п (4,5) Со статистической точки зрения сочетания определяются следующим образом: Определение 4.2. Сочетаниями из и элементов по Ф элементов называются выборки объема ~ из генеральной совокупности объема и, полученные путем выбора без возвращения и без учета следования элементов.

Они отличаются друг от друга при повторении выборок хотя бы одним эле-'. ментом. 20 Пример 4Л. Из четырех предметов — обозначим их буквами а, Ь, с„И— можно составить следующие наборы для подарков по два предмета: аЬ, ас, аа, Ьс, Оа, са. Их число: С4 —— — — — 6, 4 3 Пример 4.2. В лотерейном билете «Спортлото 6 из 45» нужно зачеркнуть 6 номеров из имеющихся сорока пяти. Выигрыш может быть получен на 3, 4, 5, 6 зачеркнутых выигрышных номера. Найти вероятность выигрыша на 3 правиль- но зачеркнутых номера.

~ В этой задаче мы имеем дело с сочетаниями, так как порядок зачеркива- ния номеров роли ие играет. Применяем классическое определение вероятно- сти. Здесь и = С45. Число вариантов правильно зачеркнутых номеров равно Сб. .6 з Число вариантов неправильно зачеркнутых номеров равно Сз~9. По принципу «умножения» и = Сб Сз~ . Тогда искомая вероятность равна т Сб.СЗ9 6.5.4 39 38.37 2.3 4.5 6 13.19 37 9139 < п Сб 2-3-2 3.45.44 43 42 41 40 11 21.41 43 407253 ~5.

Размещения с повторениями Определение 5.1. Размещениями с иовторениями (Уапайоиеи тй И'иыйтйо1ину, нем.) из п элементов по Й элементов називаются соединения, содержащие й элементов„каждий из которих может бить любого из и типов. Предполагается, что элементы каждого из и типов содержатся в исходном множестве в любом нужном количестве (подобно кассе букв для набора текстов). Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и кратностью повторения элементов. Число размещений с повторениями из п элементов по й элементов обозначается символом 1;, (читается: «К из п по Й») и вычисляется по формуле: 1~„= и (5.1) ~ Представим размещение с повторениями в виде слова х1х2...х~, состоящего из к букв и различных типов. В качестве первой буквы х1 можно взять любую из данных п букв. В качестве второй буквы х2 можно взять также любую из данных и букв и т.

д. В качестве 1-й буквы можно по-прежнему взять любую из и букв. По принципу «умножения»: Г„= лл...л =и 4 /г й Й аом нож ител ай 21 Пример 5.1. Из трех букв а, Ь, с можно составить следующие слова- размещения с повторениями по две буквы: аа, аЬ, ас, Ьа, ЬЬ, Ьс, са, сЬ, сс. Их число: Р~ = 3 = 9.

2 2 Пример 5.2. По 1 воздушным целям запускается й ракет (1 ' »). Для каждой ракеты равновозможен выбор любой цели независимо от выбора целей для других ракет. Найти вероятность, что ракеты запущены по разным целям. 1 Применяем классическое определение вероятности р = и/п. Здесь п = 1'» — — 1, так как каждое размещение ракет по целям есть Й-элементное сой й единение, в котором для каждой ракеты выбирается любая из 1 целей; в = А», так как, если ракеты распределяются по разным целям, то для первой ракеты возможен выбор любой из 1 целей, для второй ракеты возможен выбор любой из 1-1 оставшихся целей и т.

д. Отсюда в = У(Š— 1)(1 — 2)...~Š— ф — 1)~ = А» . Тогда р = А»» 1 . 4 1/й Со статистической точки зрения размещения с повторениями определяются следующим образом. Определение 5.2. Размещениями с повторениями из и элементов по Й элементов называются выборки объема Й из генеральной совокупности объема и, произведенные путем выбора с возвращением. При этом при повторении выборок одна выборка от другой может отличаться составом элементов, их порядком и количеством повторений элементов.