Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 5

22 ГЛАВА 4. АЛГЕБРА ВЕРОЯТНОСТЕЙ В этом разделе изучаются правила, позволяющие по вероятностям одних событий найти вероятности других, выражающихся через данные с помощью операций сложения, умножения, дополнения. ~1. Условная вероятносп* Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение 1 1. Пусть А и В -два события, порожденные опытом Е, причем Р(В) ~ О. Число Р(АВ)/Р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А и обозначается символом Р(А/В). Таким образом, по определению Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) . (1.1) Замечание 1.1. При аксиоматическом определении вероятности формула (1.1) является определением и доказательству не подлежит. Однако при конструктивных определениях вероятности (классическом, геометрическом) она может быть доказана.

Доказательство формулы (1. 1) на основе классического определения вероятности. 1 Пусть опыт приводит к п случаям. Из них п,1, п8, п,1~ случаев благоприятствуют соответственно событиям А, В, АВ. Для наглядности изобразим случаи точками (рис. 1.1). пц случаев, благоприятствующих В п„случаев, Ф Ф Ф ° ° ° Ф Э Ф Ф ° 1 ° Ф ° Ф н,л случаев, благоприятствующих АВ Р2 случаев Рис.

1.1. К доказательству формулы условной вероятности (1.1) По классическому определению Р(А) = иА/и, Р(В)= и з/п, Р(АВ) = и ~~/и. Если событие В произошло, то реализовался один из по случаев. Поэтому об- 23 щее число случаев для события А сократилось с н до п21 случаев. Из них благоприятными для А являются пАВ случаев, при которых возможно совместное появление А и В. По классическому определению Р(А/В) = л,щ/пд =(ц~д/п)/(ир/и) = Р(АВ)/Р(В). 1 Пример 7.1. Какова вероятность, что взятая наугад кость домино будет дублем, если известно, что сумма очков на этой кости — четное число? ~ Пусть событие А — взятая кость является дублем, а событие  — сумма очков четна.

Имеем Р(А/В) =— Р(АВ) 7/28 7 Р(В) 16/28 Г6 При решении учтено„что из 28 костей домино 16 имеют четную сумму, 7 костей — дубли, и все дубли имеют четную сумму очков. 4 Отметим, что безусловная вероятность события А равна Р(А) = 7/28. ~2. Правило умножения вероятностей Из формулы (1.1) вытекает равенство Р(АВ) = Р(В)Р(А/В). По симметрии вхождения букв в выражение Р(АВ) имеет место и вторая формула Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). Обе формулы объединяются в одну и составляют правило (иначе — теорему) умножения вероятностей двух любых событий: Р(АВ) = Р(В) Р(А/В) = Р(А) Р(В/А), (2.1) которое формулируется следующим образом: Вероятность нраизведения двух сооытий равна нроизведению вероятности одного из них на условную вероятность второго нри условии, что первое лроизоиио. Формула (2.1) обобщается на случай любого конечного числа собьпий. Теорема (умножения вероятностей п любых событий)".

Р(А~А1... А„) = Р~А1)Р(А2/А1)Р(Аз/А1А2)... Р[А„/А~ А2... А„1) . ~2 2) 1 Последовательно применим формулу (2.1), сводя произведение и событий к произведению двух событий: Р(А1А~ "Ал)=Р[(А1А~".А -1)А ]=Р(А|А2" А.-))'РМА142" А -1)= =Р[(А1А~...А„2)А„1[ Р(А„~А1А2...А„1)= =Р(А1А2" Ап-2) Р(Ап-1/А1А2'' Ал-2) Р(А /А1А2" А — 1) (А1А2) ' Р(А/А1 ' А2-1) = Р(А1)'~ (А2/А1)'' *'Р(Ап/А1" Ап-1).

~ Пример 2.1. (задача-шутка). Студент выучил 20 из 25 вопросов к экзамену. Преподаватель случайным образом задал 3 вопроса. Найти вероятность, что студент знает ответы на все 3 вопроса (оценка «5»). 2 . Независимость и событий (и >2). Понятие независимости и событий опирается на понятие независимости двух событий. Определение 3.3. События А1, А~, ..., А„называются взаимно независимыми (иначе — независимыми в совокунности), если каждое из них не зависит от нроизведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности.

В этом случае все условные вероятности (в формуле (2.2)) равны безусловным, и формула упрощается: Р(А1А2... А„) = Р(А~) Р(А2)...Р(А„) . (3,5) Формула (3.5) выражает правило умножения вероятностей для и взаимно независимых событий, Формула (3.2) является ее частным случаем. Пример 3.1. Независимо испытываются 3 прибора. Вероятность выхода из строя каждого равна 0.8. По формуле (3.5) находим вероятность выхода из строя всех трех вместе. Она равна 0.8 = 0.512. з $4. Правила сложения вероятностей Аксиома сложения вероятностей (4.1) выражает правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий. Если же слагаемые события совместны, то формула (4.1) усложняется. Для двух любых событий она имеет вид: Теорема 4.1.

Р(А+ В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ). (4.2) )' Ранее была доказана формула (гл. 1, (3.7)) А+ В = А+ АВ, представляющая сумму двух любых событий как сумму двух несовместных событий. Тогда по аксиоме сложения вероятностей получаем Р(А+ В) =Р(А)+Р(АВ). Далее В=31 =В(А+А) =АВ+АВ. Так как события АВ и АВ несовместны, то по той же аксиоме сложения получаем Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ) . Отсюда Р(АВ) = Р(В) — Р(АВ).

Возвращаясь к Р(А+ В), получаем Р(А+ В) =Р(А)+Р(В) — Р(АВ). 4 Пример 4.1. Два орудия стреляют в цель независимо. Вероятность попадания каждого орудия равна 0.6. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одного из орудий. 1 Пусть А и  — события, означающие попадание в цель первого и второго орудий соответственно. Тогда Р(А + В) = О.б+ О,б — О.б = 1.2 — 0.3б = 0.84.

2б ~5. Формулы полной вероятности н Байеса 1'. Формула полной вероятности. Пусть событие А может наступить только с одним из л попарно несовместных событий Н~, Н~, ..., Н„, составлякицих полную группу: Н; Н~ — — О при г ~ Iс; Н~ + ... + Н„= 1. Эти события называются гипотезами. Тогда Р(А) = Р(%)Р(А/Н~)+ "+ Р(Ип)Р(А/Нл) * (5.1) Так как сумма вероятностей гипотез равна 1: Р(Н~)+...+Р(Н„) =1, то формула (5.1) может рассматриваться как усредщпощая условные вероятности по вероятностям гипотез.

Формула (5.1) носит название формулы иолной, иначе — средней вероятности. ~ А =А1= А(Н~+...+И„) =АН~+...+АН,„. События АН), ..., Ӓ́— попарно несовместны„поэтому по аксиоме сложения вероятностей получаем Р(А) = Р(АН~ +... + АН„) = Р(АИ~) +... + Р(АН„) . Далее применяем правило умножения вероятностей для двух любых событий: Р(А) = Р(Н~)Р(А/И~)+" +Р(Ии)~(А/Ид). Ч Пример 5.1. Партия продукции поставлена двумя заводами. 1-й завод поставил 40 % продукции, 2-й — 60 %. Вероятность брака на 1-м заводе равна 0.008, а на 2-м — 0.004. Найти вероятность брака всей партии. ~ Применяем формулу полной вероятности, усредняя все условные вероятности брака. Введем события.

Пусть А — событие, означающее, что взятое для контроля изделие — бракованное. И~, И~ — гипотезы, означающие, что изделие изготовлено соответственно 1-м и 2-м заводами. Тогда по условию задачи Р(Н~) = 0.4; Р(Н~) = О.б; Р(А/Н~) = 0.008; Р(А/И~) = 0.004; Р(А) = Р(Н1) Р(А/И1)+ Р(Н~) Р(А/Н2) = = 0.4 0,008+ 0.6.0.004 = 0.0032+ 0.0024 = 0.0056. Ч 2 . Формула Байеса (англ. математик, 1702 — 1761).

При выводе формулы Байеса сохраняются предположения, принятые в и. 1 при выводе формулы полной вероятности, и ставится дополнительное условие: при проведении опыта событие А произошло. Эта новая информация позволяет переоценить первоначальные вероятности гипотез. По формуле (1.1) для условной вероятности находим Р(Н,/А) = Р(Н,А)/Р(А). Числитель представим по формуле (2.1) для вероятности произведения событий, а знаменатель — по формуле (5.1) полной вероятности. Тогда получаем Р(Н ) Р(А/Н ) ()( ) — ( )(/ ) (5.2) (~ =1,2,...,п). Формула (5,2) называется формулой Байеса, иначе — теоремой гипотез. Исходные вероятности гипотез Р(Н;), ..., Р(Н„) называются априорными, т.

е. доопы.гными, а вероятности, найденные по формуле Байеса — апостериорными, т. е. послеопытными. Пример 5.2. При постановке диагноза высказано предположение о наличии у больного болезни А (событие А) одной из двух разновидностей И1 или Н~ (гипотезы Н~ и Н~). Экспертно оценены вероятности этих гипотез; Р(Н1) = 0,4; Р(И~) = 0.6. Применяемый тест (анализ) обнаруживает болезнь А в 80 '4 случаев при разновидности Н1 и в 60;4 случаев при разновидности Н~. Проведенный тест подтвердил предположение о болезни. Какая разновидность болезни вероятнее после проведения теста? 1 По формуле полной вероятности находим вероятность наличия болезни у пациента: Р(А) = Р(Н~)Р(А/Н~)+Р(Н~)Р(А/Н~) = 04 08+06 06= 068. По формуле Байеса находим: ,(Н /, ~ Р(Н1)Р(А,'Н~) 0.4- 0.8 З2 8 Р(А) 0.68 68 17 ' Р(Н2) Р(А/Н2) 0.6 ° 0.6 36 9 Р(А) 068 68 17 Разновидность Н~ болезни вероятнее и после теста.

4 ~6. Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномнальная вероятность 29 Схема Бернулли проведения независимых испытаний состоит в том, что независимо проводится и испытаний (опытов), в каждом из которых наблюдаемое событие А (успех) появляется с вероятностью р (О < р <1) и не появляется с вероятностью о =1 — р.

Эта схема испытаний широко применяется на практике: независимые испытания и одинаковых приборов, событие А — выход из строя прибора; и выстрелов по цели из одного или разных орудий в равных условиях и независимо, событие А — попадание в цель; и независимых выборов продукции предприятия для статистического контроля, событие А — брак изделия и т. д.

При проведении испытаний по схеме Бернулли ставится задача — найти вероятность Р„~(р) того, что в результате проведенных п независимых испытаний событие А появится точно Й раз, безразлично в каком порядке. РЗ1 —— Зрд = 3.0.8 0,2 = 0.096 — вероятность одного попадания. 2 2 2 2 Рз ~ — — Зр а = 3 0.8 . 02 = 0.384 — вероя иост двух попаданий. Рз з — — р = 0.8 = 0.512 — вероятность трех попаданий.