1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 6

Пусть с«у — соответствующая вероятность вызвать деление (по английски деление — йаашп). П р и м е ч а н и е 1. Значение с«« и соответствующее эффективное сечение рассеяния нейтрона на ядре и, связаны соотношением а« = йГа„ где у — концентрация ядер, и т. п. 2. Г!усть ч'(г, и, г) — функция распределения нейтронов по координатам и по скоростям, так что Ч' (г, и, !) «(г «(и — число нейтронов в элементе объема «!г = г)яву Ыг со скоростями, лежащими в «интервале» (и, и+ Ьп), где Ьп = =- (пэх, Ипю «!о,) — вектор с компонентами док, бпю бо,: пп = ппх.«(пд по».

Согласно определению функции Ч' концентрация нейтронов л в точке г в момент времени Г равна и = ) Ч'(г, и, Г) бп. Подсчитаем изменение за время и! числа нейтронои, имеющих скорости, лсжащие в «интервале» (и, и+ Ьп) в некотором фиксированном элементе объема пг. Этот элемент объема бг будем предполагать неподвижным в рассматриваемой ') Эгот параграф написан с участием А. Ф, Никифорона, «лабораторной» системе координат. Кроме того, будем счвтать, что а элемеше объема дг содержится достаточно большое число нейтронов и ядер. Итак, имеем: 1) Ч'(г, е, !) дг де нейтроаов уйдут из рассматриваемого элемента объема дг, так как они имеют отличную от нуля скорость; Ч'(г — е Й, е, !) дг де нейтронов придут в элемент дг (по инерции); полагаем при этом, что о й ) д (дг), где д (дг) — диаметр элемента объема дг.

2) При взаимодействии с ядрами произойдет уменьшение числа нейтронов а рассматриваемом объеме соответственво на величивы: Ч'(г, е, !) д де и« (о) о Й (за счет рассеяния); Ч'(г, е, !) дг де и, (о) ой (за счет поглощения); Ч'(г, е, !) дгде и! (и) од! (за счет деления). Общее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов будет равно Ч' (г, е, !) дгде и(о) од!. Здесь и (о) о й = [и«(о) +о.„(о)+ с«! (о)] ой дает суммарную вероятность проззаимодействовать одному нейтрону с ядрами на пути длины о Й.

3) Пусть ю«(е' — » е) Ые есть вероятность вейтрону, имеющему скорость е', рассеяться после соударения с ядром в «интервал» скоростей (е, е+ Ле), т. е. получить скорость из «интервала» (е, е -[- ае). Короче будем выражать эта словами: при рассеянии скорость нейтрона изменилась с е' йа е. Тогда число нейтронов, скорость которых е' в результате рассеяния на ядрах, содержащихся в дг, изменится по величине и направлению так, что станет равна е, будет равно следующему интегралу по всем возможным значениям скоростей е': де [Ч (Г е !)дги»(о )а дгю«(ее)де[ 4) Число нейтронов со скоростью е, появившихся в результате деления ядер нейтронами со скоростями е', из аналогичных соображений равна де'[Ч'(г, е, !)дгиг(о')о'дгю)(е'- е)дет(е')[.

Здесь ю)(е'- е) де есть вероятность иметь нспущенному осколком нейтрону скорость в «интервале» (е, е + Ье), если деление вызвал нейтрон со скоростью е'! т (о') — среднее число вторичных нейтронов, возникающих от одного поглощенного нейтрона, имевшего скорость е'. 5) Посторонние источники нейтронов дают количество нейтронов, равное г' (г, е, !) дг де д!. Напишем закон сохранения числа нейтронов (баланс нейтронов). Общее изменение числа нейтронов со скоростью из «интервала» (е, е + Ле) в фиксированном элементе объема дг за время й по определению частной производной по времени равна д — Ч'(г, е, !) дг де Й. д! Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде Ч'(г — ад(, е, !) дг дев — Ч'(г, е, !) дгде — Ч'(г, е, (] и(о) дгде ой+ + ~ Ч' (г, е !) и» (о ) ю»(е' е) дг де о' д! де' + + ~ Ч'(г, е', !) и)(о') ч(о') юг(э'- е) Й де ойдо' -1- +Р(г, е, !)Игдед! .— Ч'(г, е, !)~ггдей.

д д! Тзк кзк уу ч'1г, о, с)--ч(г — яй, о, 1) -= — од! = (оягадчг)й, дг то после суммирования и сокращения на йг дп дг получим кинетическое уран. пение, описывающее процесс распространения нейтронов в среде, в виде дЧг — ф о ягад Ч' = — моЧ'+ Е(г, о, 1) -(- дг + ') (ге,(о') юз(п'-~ о) ',-ъ(е') а)(о') кУ(о'-~ и)] Чг(г, а', 1) о'до.

(23) Вероятности щ, и ю;, входящие в (23), очевидно, должны быть нормированы ель дующим образом: ю, (е' о) ~1е 1, ~ю (о' о) ео -.— 1. 3 а и е ч а н и е. При рассмотрения переноса нзлученгщ уравнение будет иметь аналогичный внд. Роль скорости частиц будет игрззь частота ы, так кзк импульс фотона р = Лы1с (Л вЂ” постоянная Планка, с — скорость света) '). 3. При исследовании уравнения (23) возникают серьезные математаческне трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением случая, когда скорости всех нейтронов одинаковы по величине (односкоростное кинетическое уравнение). Точнее, рассматривают уравнение прн дополнительных предположениях. Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при делении возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие деление. С(ля упрощения уравнения предположим дополнительно, что распределение нейтронов после рассеяния и деления равномерно по направлениям скоростей .

в рассматриваемой системе координат, нли, как говорят, изотропно. Поскольку величина скорости всех нейтронов одна н та же (о), то величины а, (о), сз, (о), а) (о) н т (о) в этом случае будут постоянными. П р й и е ч а н и е 2. Рассеяние нейтронов может быть как упругим (в основном на легких ядрах), так н неупругим (на тяжелых ядрах). Это связано с энер. гней нейтрона и характером расположения уровней возбужденных состояний ядер по отношению к основному состоянию. В системе цектра тяжести нейтрона и ядра упругое рассевние сферкческк симметрично, если длина волны нейтрона гораздо больща размеров ядра, В лабораторной системе отсчета прн атом условии рассеяияе можно считать изптропиым, есин лабораторнаи система практически совпадает с системой центра тяжести, т, е, рассеяние иейтроноа происходит на тнжелых ядрах, которме мы предполагаем в лабораторной системе покоящимися, Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно получить, если повторить вывод кинетического уравнении дли односкоростного случая при перечисленных дополмительных предположениях, Тзк как скорость нейтрона в этом случае заменяется только по направлению С ° я/о (величина скорости о ПОСтюяННа дЛя ВСЕХ ИЕйтрОНОВ), тО ВМЕСТО ВЕЛИЧИН !аз (я' -ь Е) дя И Ю) (В'- и) бя надо, очевидно, использовать величины нз(С'- С) д(С и ж)(С' - С) Ж, где д(С вЂ” элемент телесного угла в направлении С, причем для нзотроппого слу.

чая (см. дополнительное предположение) юз = 1/4п, ыг =. 1)чя. Функцию распределения Ч'(г, С, С) в односкоростном случае по определению вводят таким образом, что Ч'(г, С, С) дг Ю есть число нейтронов в элементе объема дг со скоростями, направления которых содержатся в телесном угле д(), охватывающем вектор С. В результате для функция Ч' (г, С, С) получим следующее уравнение: — — + (С, рф) = — ~ф + — ~ Ч" (г, С', С) дСС'. (24) 1 дЧ' ц' *) Подробный вывод уравнения переноса можно найти в книге: Ф р а н к- К а и е и е ц к и й Д.

А. Физические процессы внутра звезд. — М: <Ризызтгиз, !939. 30 Здесь а = ил + яе -)- ггг, 0 = а, -(- лиг. Кроме того, мы предположили здесь для простоты, что источников нейтронов нет. Если в урзвнении (24) функция Ч" (и, 1, 1) зависит по пространству лишь от одной переменной х, а зависплгость от 1 характеризуется лишь углом 0 между осью Х и направлением скорости 1 (азиллутальной зависимости от угла ф нет), то возможны дальнейшие упрощения. Так как дР.

= з!п 0 30 дф, то после интегрирования в правой части (24) по углу ф получим 1 дЧ' д'1' „6 1 о дг — — + соз 0 — = — аЧ" -|- — ) Ч" (х, О, 1) ь !и 0 30. дх 2 о (26) Если произвести в (25) замену переменной р = соз О, то уравнение (23) моигно записать также в виде 1 д'!' дЧ' — +р = —.— ялу.+ —, ) Ч" (л, р, 1)г1р. дг дх 2 (26) | Так как уравнение (26) является однородным, то можно принять следу|ощую нормировку для функции Ч' (х, р, 1): Ч'(к, р, 1) др =.

и,. — ! где л — концентрация нейтронов. 4. В задачах, связанных с расчетом ядерных реакторов, представляет индЧг терес решение стационарного кинетического уравнения, когда — = О. В этом д1 случае уравнение (26) принимает аид | р — = — илу+ — ~ Ч' (х, и) др. дЧ" дх 2 — ! Введем моменты функции распределения | Ч'а (х) .— ~ р~Ч'(к, р) др ()г =- О, 1, ...). (27) Умножая (27) на ра и интегрируя по р, будем иметь — а+ (28) Отсюда 2 2 1 Ч'„" Оа, Ч' =- — Ь, Ч"а = —, а —.— —, Чга 3 ' 3 3 Полагая в (28) последовательно Ь = О, 1, 2, ..., можно выразить каждый из моментов Ч'а через Ча.

Однако полученная система уравнений не замкнется, т. е. число уравнений будет меньше числа неизвестных. Для ее решении введем дополнительные предположения. Будем считать, что распределение нейтронов по пространству имеет внд (близко к равновесному) Ч' (х, р) = а (х) + Ь (х) р. Здесь второе слагаемое носит характер поправки к первому (Ь ~ а). В этом приближении | Ча (х) =- ~ (а !.

Ьр) р др.= —, (1 — ( — !)ьй '] +, (1 — ( — 1)а4 з). Полагая в (23) й =- О, 1, получим Л'! — (() — а) Ч'е Лх г)чг =' = — аЧг,. гтх (29) ! Подставим в (29) Ч'а =. — Ч'е. Получви 3 Зчг! — = (() — а) Ч'м г(х 1 йЧ'е — — == — ат'!. 3 г(х (30) Мы получили систему двух уравнений для двух функций Ч'е и Ч"!. Удобно перейти от функций Ч'а и !Р! к концентрации нейтронов л и плотности потока нейтронов) в направлении х. Имеем ! ! и =- ~ Ч'(х, и) Лр = Ч"а, 1 == ~ орЧ'(х, р) !(р -- оЧ',. — ! Перепишем систему (30), вводя функции л и / вместо Ч'а и Г'г; д) о !)л — —.. о(() — а) и, — — = — а1, дгх 3 !(х или гРи — — — = и(() — а) л.