1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 3

Левые части этих интегралов и есть искомые функции гр (х, у) и тр (х, у). Таким образом, в рассматриваемом случае мы найдем функции гр (х, у) и зр (х, у), обращающие в нуль коэффициенты а„ и аез. При этом и„не обращается в нуль ни в одной точке области !), что немедленно следует из тождества (6). Разделив преобразованное уравнение на 2сетз (и заменив переменные х, у переменными 9, т) по формулам (3)), мы и получим искомую каноническую форму. Общие интегралы уравнений (11) гр (х, у) == с, и тр (х, у) =- с, образуют два семейства кривых, называемых характеристиками уравнения (1). Уравнения (! 1) называются дифференг(палеными уравнениями характеристик.

Заметим, что никакие две характеристики из разных семейств не касаются друг друга, поскольку Хз + Ха. Поэтому упомянутые семейства характеристик образуют криволинейные координатные сетки. В связи с этим рассмотренное упрощение уравнения (!) посредством преобразования независимых переменных иногда называют преобразованием уравнения (!) к характеристикам. 2. Если уравнение (1) эллиптично в области е), то в )3 существуют такие функции ~р (х, у) и тр (х, у), что заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к канонической форме и!1+ ич„+Р,(ир и„, и, с, т!)=О. (12) Снова ограничимся описанием процедуры отыскания функций <р (х, у) и тр (х, у). Сначала формально, как в предыдущем случае, приводим уравнение к виду изч+ Р,(иы и„, и, с, т!) = О.

(13) ") Эквивалентность означает, что левая часть общего интеграла уравнения — = Х; (х, у) является решением уравнения грх+ "гч (х, у) грд — — О (1 = 1, 2); ву х обратно, всякое решение уравнения грх + Х; (х, у) гря = О, прнраввенное произвольной постоянной, дает общий интеграл уравнения — =- Х~(х, у) (1 = 1, 2). ву' вх (См. С т е п а н о в В: В.

Курс дифференциальных уравнений, гл. т'!11.— Мл физматгиз, 1959.) При этом новые переменные 5 и т! будут кссыплексссо сопряженными "): 9 =-- ср (х, у) + рф (х, у), т! = ср (х, у) — ттр (х, у), поскольку дифференциальные уравнения характеристик в рассматриваемом случае имеют вид ау а,,)т — о ар а,х, .р' — о Дх аы " а„' стх ' а„' а„ Следовательно, уравнение эллиптического типа имеет лишь мнимые (комплексные) характеристики. Произведем новую замену независимых переменных по фор.мулам р =- 0,5 (в + т!) =- ср (х, у), о = — 0,51 (9 — Л) --= — (х, у), в результате которой уравнение (13), а следовательно, и уравнение (1) приводится к искомой канонической форме (с точностью до изменения обозначений) ива+ и„+ гх(иа, и„и, р, и) =О.

3. Если уравнение (1) параболнчно в области Р, то в Р существуют такие функции ср (х, у) и тр (х, у), что заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к канонической форме ичч+ Ут(и;, ич, и, Ъ, т)) =О. (! 4) Процедура отыскания функций 'р (х, у) и тр (х, у) состоит в следующем. Сначала находим такую функцию ср (х, у), которая обращает в нуль коэффициент атт преобразованного уравнения, т.

е. является решением уравнения а!,ср'„+ 2а~тср„ср, -, 'ахзч„'= О. (15) !так и в случае гиперболического уравнения, мы предполагаем, что а„не равно нулю тождественно ни в какой области Р„содержащейся в Р. Затем разрешаем уравнение (15) относительно ср,!ср„, В отличие от гиперболического случая (см. (9)), получаем .лишь одно уравнение ср„+ ) (х, у) срк =- О, (16) где ) (х, у) === а,.тптт. Пусть ср (х, у) =- с есть общий интеграл уравнения (16). Левую часть этого интеграла, не равную тождественно постоянной, и берем в качестве функции ср (х, у). Тогда коэффициент ест, преобразованного уравнения также обратится в нуль, как это следует из условия параболичности уравнения (1) и из тождества (6). В качестве функции ф (х, у) можно взять любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию, не обращающую в нуль коэффициент сесе Разделив преобразованное таким образом урав- *) Это утверждение справедливо лишь при некоторых условиях, которым должны удовлетворять козффипиенты амо а,х и а„уравнения (!).

См. П е т р о в. с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — Мл Наука, !965. )3 пение на са,,„мы и получим искомую каноническую форму. уравнение параболического типа имеет лишь одно семейство характеристик — ~~ = х(х, у). Если исходное уравнение (!) линейное, то н преобразованное уравнение, очевидно, будет линейным. Итак, канонические формы линейных уравнений имеют следующий впд: игч !-()ти;,'- ()аич 1- уи =(($, т)) (пшерболическое), п-;.,'- ичч ! йти. + )3 ич+ уи = 7(еь, т!) (эллиптическое), (17) ичн ~'-()и! тг-(3аич+ уи=7(с, т!) (параболическое).

4. Если исходное уравнение было линейныи и с постоянными коэффзциентами, то и в соответствующем каноническом уравнении коэффициенты рт. р„у будут постоянными "). В этом случае уравнения (17) допускают дальнейшее упрощение при помощи замены неизвестной функции по формуле и = нем~+то (18) где р, т — числа, подлежащие определению. Вычисляя производные функции и и подставляя их, например, в первое из уравнений (17), получим сйч (т' (3т) о$ (Р ! ра) оч, :(рм '~ )тг)1 1 Ф)аа 'Г у) г'== ) (еь,,) е — на — ч Если мы положим р == †, т =- †(3ы то преобразованное уравнение примет вид "Еч + Уто =- ( (ав т)) (19) где у, =- у — (3тра, ), ($, т)) = 1 (я, Ч) еа-З! а ч.

Аналогичнымобразом уравнение эллиптического типа приводится к виду паз + и„+ Уто = 1 Я, Ч), (20) где у, =- у — 0,25 (!3 + (3,"), 7т:== )е — н! — ч, р ==- — 0,5(3„ =- 0,5!3а В уравнении параболического типа выбором )т и» нельзя обратить в нуль коэффициенты при и-, и оч, поскольку преобразованное уравнение имеет вид очч+М+(2о+~а)он+(та+о)3 +р(3т+у)о=) (й, т!) Полагая т =-- — 0,5йт )г == — (0,25()т — у), получим пчн+ М=)' ($, й) (21) *) Характеристиками гиперболического- уравнения в атом случае будут прямые. Имея в виду описанные возможности упрощения уравнения (1), достаточно рассмотреть лишь методы решения задач, сформулированных для канонических уравнений, а в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами — для уравнений вида (19), (20), (21).

Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. их„— ди„„=О. Здесь ага =- 1, а,з = О, а„= — у, Л = а!а — а„а„= у. Следовательно, в области у ) 0 уравнение гиперболнчно, в области у к. 0 эллиптично. а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Двфференциальные ад .. — ду уравнения характеристик имеют вид — . — — — р у, — =- усу, а х— Дх ' Дх — 2 )'у —. ст, х + 2 )'у = сз— их общие интегралы. Производя замену независимых переменных 5 = х — 2 рсд, т! — х Р 2 р'д, получим каноническую форму преобразованного уравнения и)ч + 0,5 (и! — и,!) -- О. 1 Рис. 1 Хапзктеристикаын являются правые и левые ветви семейства парабол (х — с) = 4д (рис.

1, сплошные и пунктирные кривые). Вершины парабол, лежащие на оси х, не принадлежат характеристикам, так как эти точки не принадлежат области гиперболичности уравнения. б) В области эллиптичности (у к. 0) производим замену переменных р = =- 0,5 ($+ т1) = х, а = — 0,5! (Ч вЂ” $) = 2 )с — у. Канонический вид уравнения: и Ри„— — и П Р и м е Р 2.

хи .- — 2 )схдиьд + Упэс + 0,5иа = О. Здесь а„ = х, а„ = -- )Гхд, аае †. У, Л =- а,', — а„а„ =.О. Следовательно это уравнение всюду параболического типа. Оио ниеет одно семейство характеристик, описываемых дифференциальным уравнением с!д 1сс у / с!у — ах ! илн = =. =(! . ах рс х ~ р, дх )' Общий интеграл этого ураввення: Рсх+ 1' у = с. Поэтому полагаем = 'дсХ+ дгу, а Ч МОЖНО ПОЛОжнтЬ раВНОй ЛЮбсй фуНКцИИ ф (Х, у), НЕ абращающей в нуль коэффициент аз, преобразованного уравнения. Полагаеч ч =. = ух. Канонический вид уравнения: ! 脄— — !. !.ич)- О ч 5. Принадлежность к тому или другому типу линейного уравнения второго порядка, не содержащего смешанной производной от искомой функции, т.

е. уравнения вида анима + аааи„„+ Ь,и, + Ьатта + си = Г (х, у), (22) очевидно, определяется знаками коэффициентов а„и а,е Точнее, если а„(х, у) и а„(х, у) всюду в области Р имеют разные знаки (и в Р не обращаются в нуль), то уравнение (22) гиперболично в Р; если а„(х, у) и а„(х, у) всюду в области О имеют одинаковые знаки (и в Р не обращаются в нуль), то уравнение (22) эллиптично в О. Если же всюду в О один из коэффициентов аьн а„ равен нулю, то уравнение (22) параболично в О. Аналогичный признак может быть положен в основу классификации линейных уравнений вила л л ~ а„и, с,'- ~а Ь„и,д с си= — ((хт, х,„..., хл) (23) со многими независимыми переменными (т„х,„, .., хл), где ап, Ь„, с суть функции переменных (х„хе, ..., х„). Уравнение (23) называется; эллиптическим в точке (х,', х3, ..., хч), если все коэффициенты ап (х1', х3, ..., ха) в этой точке, во-пеРвых, не Равны нУлю, вовторых, имеют один и тот же знак; гиперболическим в точке (х1, х,", ..., х,",), если' коэффициенты а„(х;, хза, ..., х„') в этой точке, во-первых, все ие равны нулю, во-вторых, все, кроме одного (например, апт„), имеют один и тот же знак, а а;л,(х",, хз, ..., ха) имеет противоположный знак; параболическим в точке (х(', х3, ..., х~~), если коэффициенты ап (х1, х3, ..., 'х,",) в этой точке все, кроме одного (например, а;,и), не равны нулю и имеют один и.

тот >ке знак, ат т (хо х,', ..., х„) =О и Ьт, =(хй хз,, хл) Ф О'). Если уравнение (23) эллиптично (соответственно гиперболично, параболично) в каждой точке области О, то оно называется эллиптическим (соответственно гиперболическим, параболическим) в Р. Например: иаз , 'иаа,' и„=--((х, у, г) вс.оду эллиптично (и= — и(х, у, г)). и,, ' и„, -1- и,„-- Ьзи„=.-((Х, у, г, 1), ВСЮду ПШЕрбОЛИЧНО (и =и(х, у, г, 1)), и,.„-, 'и,„+ и„.— Ьзттт = г(х, у, г, () всюду параболично (и = и (х, у, г, 1)).

Здесь А — вещественное число. *) Возможны н другие распределения знаков коэффициентов. См. П ет р с| в с к н й И Г. Лскцнн об уравненная с. частнымн пронзводнымн.— В1: 11аука, 1965. 1н ЗАДАЧИ 1. Привести к каноническому виду уравиеиия: а) хаихх — Учиуа -- О; б) Уаихх + х'иву.— — О; в1 х'ихх Р 2хУпхв ' Уаивв —— . О; г) их; ,'— упав -'-, 0,5пв --- О. 2. Привести к простейшему каноническому виду уравпеиия: а) ихх Р ви,у Р и„в + Зил — 5пв + 4и;= О; б1 их, 1- 4ихч т- Згчвв + 5их 1- пв -1 '4и = О; и) 2ит, + 2и,в '" пвв 1- чих 1- 4пи 1- и .