1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 4

О. Глава !) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В математической физике изучение явлений (объектов)природы осуществляется в рамках тех или иных моделей, в которых учитываются не все реальные факторы, определяющие явление илн свойства объекта, а лишь наиболее существенные, определяющие с разной степенью подробности сутцность изучаемого явления (объекта). В рамках такого рода моделей мы рассмотрим ряд физических задач, приводящих к уравнениям указанных в гл.

1 типов. Прп выводе уравнений, описывающих соответствующие процессы, мы будем пользоваться основными законамп сохранения (энергии, количества движения и т. п.). В 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны Струной мы будем называть упругую нить, не сопротивляющу1ося изгибу, но оказывающую сопротивление растяжению*). Отсутствие сопротивления изгибу математически выра>кается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю (рис. 2).

Будем рассматривать струну, рас- Г, т положенную вдоль оси х. Колебания каждой точки струны с абсциссой х описываются тремя компонентами век- Рис. 2. пгоРа смеЩениЯ )ит (х, г), и, (х, 1), иа (х, г) ). Мы будем рассматривать только такие колебания, в которых: а) векторы смещения струны лежат в одной плоскости (х, и); г) Например, иптьш пиогда мо,ьпо считать стер,копь, двл иамгрепия кото. рано малы в сравнении с грстьим — д.шпой, б) вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к оси х (поперечные колебания); в) мы ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний, т.

е. таких, в которых можно пренебречь квадратом и„в сравнении с единицей. Таким образом, мы будем рассматривать колебания в рамках модели, описанной в пунктах а) — в). В рамках атой модели величину натяжения Т, возникающего в струне, можно считать не зависящей от времени !. В самом деле, рассмотрим участок (х„х,) невозмущеннбй струны.

Его длина в начальный момент равна х, — х„а в момент ! она равна гп ~ ~/! фи,с(х. Х( Для малых колебаний к, к, )г ! + и'„г(х= ~ ! ~(х — - х, — х,. к, к, Таким образок|, с точностью до членов второго порядка малости по и„длина фиксированного участка струны не меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т не меняется со временем (с точностью до членов второго порядка малости относительно и,).

Следовательно, Т может быть функцией только х Т =- Т (х). Поскольку мы рассматриваем поперечные колебания, нас будет интересовать лишь проекция вектора натяжения на ось и. Обозначим ее через Т„. Очевидно, Т„= Т з!им = Т |я и сова = Т ' = Ти,, а, ~у" 1 ш я'„ где а — угол касательной к кривой и = и (х, !) с осью х при фиксированном ! (рис. 2). Количество движения участка (х,, х,) в момент времени равно гп ) и, (с, !) р ($) Лс, |и где р — линейная плотность струны. Пусть ! (х, !) — плотность равнодействующей внешних сил, действующих на струну в направлении оси и.

По второму закону Ньютона изменение количества движения участка (х„х,) за время И = г, — 1, равно импульсу действующих спл, которые в.рассматрпваемом случае складываются из спл натяжения Тп„приложеипык к концам участка, и внешних снл ~ 1 (9, 1) с(9: х, к, ~ (и,(9, ге) — и,(ы г',)) Р$) с(9 = к, = ~ (Т (хе) их (ха т) — Т (хх) их (хх, т)) дт -,'— Нх, + ~ ~ ((Е, т) Дйт. (1) их, Это н есть уравнение малых поперечных колеоаний участка струны между точками х, и хе в интегральной форме. Если и (х, г) имеет непрерывные производные второго порядка, а Т (х) — непрерывную производную первого порядка, то, при- меняя теорему Лагранжа о приращении функции и теор му о среднем для интегралов в уравнении (1), получим ин(~ы т,)рог)ЛгЛх= — !Т(х) и„)(, ЫЛ(Лхч ((еьх, т,)Л1Лх, (2) где ьт, ьх, ьа Е (х,, хе), т,, та, т, Е !1,, (х!.

Разделив обе части равенства (2) на Л(Лх и перейдя к пределу при Л( — О и Лх- О, получим дифференциальное уравнение малых поперечных коле- баний струны ех !Тих! -г-1 (х, 1) = р (х) ии, д В случае, когда Т -- сопз( и р =:- сопя(, уравнение обычно пишут в виде аеих, + г (х, 1) =- ии, (4) где а' =- Т~р, г" (х, 1) == 1 (х, 1),'р. Уравнение (4) называется однолгернь1м волновым уравнением. $ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня Мы будем рассматривать стержень, расположенный вдоль оси х.

Введем следующие обозначения: 5 (х) — площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной оси х, проведенной через точку х; й (х) и р (х) — модуль Юнга и плотность в сечении с абсциссой х; и (х, 1) — величина отклонения (вдоль стержня) сечения с абсциссой х в момент времени й при этом мы предполагаем, что величина отклонения всех точек фиксированного сечения одинакова *). Очевидно, в рамках этой модели продольные *) Здесь к — абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда последний находится в покое. Таким образом, движение фиксированного сечения стержня описывается в координатах Лагранжа (см. К о ч и н Н.

Е., К и б ел ь И. Д., Р о а е 11. В. Теоретическая гидромеханика, ч. !. — М.: Фиаматгиа, 19бз). колебания по.чностью описываются функцией и (х, 1). Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Мальслси будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука. Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука относительное удлинение участка (х, х + Лх) в момент времени г. Координаты концов этого участка равны х + и (х, 1), х +,Лх + + и (х + Лх, 1). Следовательно, относительное удлинение участка равно ',[х — .

'1х+ и(х+ 11х, 1)[ — [х — и(х, 1)[! — Лх их(х--, ОЛх, () (0(0(!). Таким образом, относительное удлинение в точке х в момент времени ( равно и, (х, 1), а величина натяжения Т по закону Гука равна Т = /г (х) 5 (х) их (х, (). Пусть ((х, () — плотность равнодействующей внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х.

Применяя второй закон Ньютона к участку стержня (х,, х,) (за время Лс = — (,), получаем х, ~ [ (~ 1) -- 6 Ч) р 6) 5 (~) $ =- х, = ~ [5(х,) к(х,) их(х,„т) — 5(хс) с11(х,) их(х„т)) с[т+ + 1 1 ((Ь, ) Д дт. С, х, Это и есть уравнение малых продольных колебаний участка стержня (х„х,) в интегральной форме в рамках описанной выше модели.

Предполагая существование непрерывных производных второго порядка у функции и (х, с) и непрерывной первой производной у функций к (х) и 5 (х), легко находим дифференциальное урав- нение малых продольных колебаний стержня: — [5(х)к(х)и,(х, ()) т-Г(х, с) — р(х)5(х)и„(х, (), (5) Если 5 (х), я (х) и р (х) постоянны, то, предполагая существование их, и и„, уравнение (5) приводится к виду а' и„, + Р (х, () = и„, где ах== в(р, Р(х, () = — ((х, ()с(р5), Уравнения (3) и (5) по существу одинаковы и различаются лишь обозначениями (5я — вместо Т, а р5 — вместо р). Оба они всюду гиперболического типа, поскольку по самому съСыслу Т (х), 5 (х) и я (х) положительны.

20 й 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны Мембраной называется натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу, но оказывающая сопротивление. растяжению *). Мы будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно плоскости мембраны (х, у) и в которых квадратами величин им и и» можно пренебречь в сравнении с единицей (такова характеристика рассматриваемой модели). Здесь и = и (х, у, 1) — величина смещения точки (х, у) мембраны в момент времени 1. Пусть аз — элемент дуги некоторого контура, лежащего на поверхности мембраны, М вЂ” точка этого элемента.

На этот элемент действуют силы натяжения ТйЯ. Отсутствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу математически выражается в том, что вектор натяжения Т лежит в плоскости, касательной к поверхности мембраны в точке М, и перпендикулярен элементу йз, а величина натяжения Т в этой точке не зависит от направления элемента с(з, содержащего точку М. В рамках этой модели можно считать, что: 1) Проекцггя Тпр вектора натяжения Т на плоскость (х, у) равна Т.

Действительно, Тпр =- Т сода, где а — угол между вектором Т и плоскостью (х, у). Но и не больше угла у между'касателыгой плоскостью к поверхности мембраны, в которой лежит вектор Т, и плоскостью (х, у): сг == у. Поэтому сова.=-сову = — =1. ! ' 1 -1- иг + на Следовательно, соз гв = ! и, значит, Тп» =. Т. 2) Напгяжение Т не зависит от врелгени В самом деле, рассмотрим участок 5 невозмущенной мембраны.

Его площадь равна ~~ йх с(у. Площадь этого участка в момент времени 1 равна = ) ~йх с1у. Таким образом, площадь фиксированного участка мембраны ие меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается. Поэтому в силу закона Гука и Т не меняется со временем. Из того, что Т направлен па' перпендикуляру к элементу дуги йз, следует, что Т не зависит также от х и у.

Действительно, рассмотрим участок невозмущенной мембраны А,В,В,А„ограниченный отрезками, параллельными координатным осям ') Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину, толщина которой мала в сравнении с двумя другими измерениями. (рнг. 3). [йа этот участок действует сила натяжения, равная ~ Т [з, ~ Тдз —, :)' Т<[з+ ~ т (э. л,л„ л,в, в,в, в,л, Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль осей х, у проекции этой силы на оси х и у равны нулю.