1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 10

(15) Среди решений вида (15) найдем такое, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (14): и (х, О) -= с( (х) †: Ф (х) + г" (х), и, (х, О) =- ф (х) : — аФ ' (х) + аг ' (х). Интегрируя последнее тождество, получим два уравнения для определения функций Ф (у) и Е (у): а Ф(у) -1- Е(у) == н. (у), — -Ф(у) +Р(у) .=.. — ~ ф(г) йг+ С, (16) а, ") К прс ставлениш решения в форме (15) можно прийти и иначе. Предположим, что и (г, 1) — решение уравнения (13). Для него выполняется тождество авиа г : =пи.

11роизводя в псм замену иезависнмыз переменных по формулам ч = х — ад Ч == х+ пд получим тождество п1„и О, Интегрируя его последовательно по псрсмепным т) и 5, получим формулу (!5), в которой г (з) и Ф (г)— произвольпыс функции (па можно предполагазь дважды диффсрснцирусмыми). 46 датель со скоростью а. В момент времени 1, он окажется н точке х, == х„-! а1„.

Величина отклонения, котору1о наблюдатель будет видеть в точке хт в момент времени 1,, будет равна и -- Ф (х, —— — аг,) Ф (л;,). Таким образом, наблюдатель в любой момент времени будет видеть в точке, где он находится, одну н ту жс велн1чину отклонения, равную Ф (х,). Следовательно, начальный профиль и (х, О) -= Ф (х) будет двигаться со скоростью а в положительном направлении оси х, как жесткая система, ие изменяя формы (рпс, 7). Ввиду итого решение и - Ф (х — а1) называют прямой бегищей волной, Аналогичное истолкование можно дать и решению и — Г (х ! а1). Оно называется обратной бегущей. волной.

При атом профиль движется, как жесткая система, в отрицательном направлении оси х со скоростью а. Таким образом, любое решение уравнения (11) представляется в виде с у п е р п о з и ц и и (наложения) прямой и обратной бегущих волн, из которых находим и У(у) = — ',,'"'+ —,' ~ф(2) е!г Д ср (у) = —, — — ) ф (г) с(а — — . р(р) 1 С 2 2а,) 2 к, Подставляя эти функции в формулу (!5), получим формулу Да- ламбера к-,'-а 8 и(», 1)= ' + —, ~ ф(г)г1г.

(17) к — а! 2. Таким образом, предположив существование ре~иепия задачи Коши, мы пришли к заключению, что оно должно представляться формулой (!7). Следовательно, оно единспгвенно. Если функция ~р (х) обладает производными первого и второго порядков, а функция ф (х) — производной первого порядка, то формула (17) дает искомое решение задачи Коши (13) — (14). В этом можно убедиться непосредственной подстановкой правой части формулы (17) в уравнение (13) и в соотношения (14). Построив решение задачи Конш, мы тем самым доказали его существование.

Описанный выше метод построения решения задачи Коши называется методом характеристик или методом бегущих волн. $ 6. Решение задачи Коши для неоднородного, волнового уравнения (20) (! 8,) 1. Научившись строить решение задачи Коши для однородного волнового уравнения (13), легко построить решение этой задачи для неоднородного волнового уравнения. Метод построения одинаков для всех линейных уравнений гиперболического типа, поэтому мы будем рассматривать более общее уравнение й!ч (й тги) — уи зс !" (гИ, 1) рии, (18) где Й, д н р -- известные функции точки гИ.

Итак, пусть требуется решить задачу Коши для уравнения (18) с начальными условиями (М, О) — р (гИ), и, ( И, 0) -= ф (.Ч). (19) Эту задачу разбиваем на две задачи: 1) задача Коши для однородного уравнения 8!ч (А Чо) — уо = ро с заданными начальными условиями и (М, 0) — гр (М), о, (М, О) — --= ф (.Ч); (21) 2) задача Коши для исходного уравнения .1~ч (й рш) — — уш Р ) (И, 1) = ржи (22) Воспользовавшись первым из условий (23), получим ш,(Ч, 1)= — -- ~Щ,(М, 1, т)г(т. (25) о Из формул (24) и (25) непосредственно следует, что ш ( И, 1) удовлетворяет начальным условиям (22). Дифференцируя соотношение (25) по 1 еще раз и используя второе из условий (23), получаем шп =- Ц1~ ~...'- ) Щ„(М, 1. т) 4т = ' + ~Щп (М, 1, т) йт.

1(М, О т= с пулевыми начальпымп условиями ш(М, 0) =-О, ш,((И, 0) =-О. Очевидно, и =- о + ш. Предположим, что мы умеем решать задачу Коши (20) — (21). Тогда решение задачи Коши (!8,), (22) строится следующим образом. Построим такую функцию Щ (М, 1, т), которая удовлетворяет однородному уравнению (20) для 1 > т и начальным условиям 1Ц)г= =О, Щ~ )г= (23) По предположению мы умеем решать эту задачу. Тогда искомое решение задачи Коши 2) будет иметь вид (М, 1) =~Щ(84.

1. ) (. (24) о Действительно, по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом по параметру находим ш, (М, 1) = Щ. з . ~ Ш, (М, 1, т) (т. о Следовательно, рюп =-) (М, 1) Г 1 РЩ„,(т (26) в Вычислим о(ч (й ош) — дш. При этом, очевидно, операцию йи (Ф и) можно выполнить под знаком интеграла. Получим ! п(ч (йЧш) — дш =) (йч (lг ЧЩ) — 41Ц) Ит.

(27) о Поскольку функция Щ (М, 1, т) является решением уравнения (20), то из формул (26) и (27) следует, что функция ш (М, 1), опре- деляемая формулой (24), является решением уравнения (18)., а следовательно. и решением задачи Коши 2), 4Я ааи,к+р(х, () = ии, и (х, 0) ==- тр (х), и, (», 0) == ф (х).

(28) Разбиваем ее на две задачи: 1) задача Коши для однородного уравнения с з а д а н н ы м и начальными условиями а'о. =- от) о (х, 0) =- тр (х), о, (х, 0) = ф (х); 2) задача Коши для з а д а н н о г о уравнения с нулевыми начальными условиями +1(» т) = ша ш (х, 0) †. — О, ш, (х, 0) — О.

Тогда и = о + ц). Функцию о (х, 1) можно написать по формуле Даламбера хча) )р (х — а)) + )р (х + а)) 1 2 2а к — ат Согласно предыдущему и) (х, )) = ) Щ(х, 1, т) т(т, о где функция Щ (х, 1, т) является решением задачи Коши ааЩк„.= Щса Щ /), = — О, Щ) /).=, = ~ (х, т) и, следовательно, может быть записана по формуле Даламбера ха-а )) — т) Щ(, й ) = —,'„~ И, ) ( к — аа — т) Поэтому ) к ха П вЂ” т) ш (», )) = —, ~ ~ )(г, т) )(гт(т.

а т — а)~ — т) (29) 3 а и е ч а н и е. Такой способ нахождения решения неоднородной задачи по решению соответствующей однородной задачи применйм и для нахождения решения краевой задачи для неоднородного уравнения с однородными краевыми условиями. В этом случае вспомогательная функция Щ (М, т, т) должна быть решением соответствующей однородной краевой задачи. 2. Применим описанный метод к одномерному уравнению: требуется решить задачу Коши $7.

Устойчивость решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения к входным данным. Обобщенное решение 1. Как указывалось в гл. П, 2 8, одним из важнейших требований к методам, нахождения решений задач математической физики является требование устойчивости решения к малым изменениям входных данных. Покажем, что как решение задачи Коши для однородного волнового уравнения, представляемое формулой Даламбера, так и решение задачи Коши для неоднородного уравнения, представляемое формулой (29), удовлетворяют этому требованию. 2. Формула Даламбера (17) дает решение задачи Копи (!3)— (14) в предположении, что начальные функции ~р (х) и ф (х) имеют производные <р' (х), ~р" (х), тр' (х). Однако нетрудно указать задачи, Рис. 8.

в которых начальные функции ч (х) и ф (л) этими свойствами не обладают; достаточно, например, задать начальное отклонение струны в виде ломаной, изображенной па рис. 8. Для того чтобы понять, как строить решение задачи Коши в этих случаях, докам ем следующую теорему: Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных значен и й. Пусть и, (х, 1) и ие (х, 1) суть решения зпдачи Коши (13)— (14) с начальными условиялси и, (х, 0) — ~рт (х), итс (х, 0) = — ф, (х) и и, (х, 0):= ч ч (л), им (х, 0) .— — фа (х). Тогда, каковы бы ни бьти е ) 0 и гт ) О, существует тпкое 6 > О, зависящее от е и 1„6 — 6 (е, 1,), что из нерпвенств ч) [ ~рт (х) <Ра (т) [ < 6, [а[3 (х) .

фа (х) [ < 6 длЯ -" оо < х < оо следует неравенство [ит(х, 1) и (х, 1)[<е для — -со<х<оо, (<1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу Даламбера для и, (х, 1) и ие (х, 1), получим 1 и,(х, 1) — ич(х, 1) = — [тр,(х — а1) — Чза(х — а1)) -[- 2 к Ьа1 1 1 — [%(х -а1) — срс(х+а1)[+ 2 ~ [тРз(г) — ф,(г)[т(г. к — а1 ') Бо избежание недоразумений а этом и с.тслзпощсм пункте мы будем считаи, по к, 1 — безразмерные переменные. зо Слсдоььтельпо, !и, (х, 1) — иа(х, 1) ) ( —,, 1сГ,(х — а1) -- <!а(х а1) / ! к! а1 + —,, (~1,(х-~.а1) — Ча(х-,,'- а1) ( + —, ) )ф,(г) — - фа(г)1аг( 1, ! к — аа ( —,б --,'— —,б, — ~ бЛг= 8 -,'- б1 < 6(1 '; 11).

к — а1 Если взять Ь вЂ” е (1 + 1,), то неравенство 1 и, (х, 1) — иа (х, 1) / < е будет выполнено для всех — оо < х < оо, 1 ~ 1,. Ч. т. д. 3 а м е ч а н и е. Если начальные значения <Г, (х), гр, (х), ф,' (х), фч (х) удовлетворяют неравенствам ~ а1, (х) — Ч а (х) ~ ( б для — оо < х < оо, ~ !ф,(х) — фч(х) ~ с1х(б, то, очевидно, для соответствующих решений задачи Коши и, (х, 1) и и, (х, 1) будет выполняться неравенство $!б(х, 1) и,(х, 1)1< (1 з- — в~) б для всех х, — оо < х < оо, и 1 ) О.

Это позволяет утверждать, что для одномерного волнового уравнения имеет место непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных и для разрывных начальных скоростей (в указанном смысле оценки уклонения началш!ых данных). Содержание этой теоремы можно кратко выразить словами: лилия изл!енения и начальных значений соответствуют лгалые изл!енеиия Решения задачи Коши. Таким образом, устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям начальных данных показана. В практических задачах начальные значения получаются в результате измерений и, следовательно, не являются точными. Доказанная теорема создает уверенность, что небольшие погрешности, допущенные в определении начальных значений, приводят к небольшим изменениям в решении задачи Коши.