1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 9

дВ ' Направления дифференцирования 1, и 1, совладают только В Р в случае, если — = — или ВС вЂ” А[л = О, т. е. 1, и 1,совпадают А С А С] В Р только в том случае, когда ~ ~ = — О. В атом случае из — =— В Р~= А С С Р следует, что — = — = й, откуда С вЂ” — — й А, Р = й В, й = =- й (х, у). Следовательно, дт т д ди, до (3) д Дх Ду Здесь — — дифференцирование вдоль кривой — = — А, — = дт дх ' дт д д д = В, т.

е. — ==. А — +  —. д ' дх ду Правую часть формулы (3) будем называть характеристической формой оператора й [и, о]. й 3. Характеристическая форма пары операторов й,[и,о] и йх[и, ] 1. Рассмотрим два оператора й,[и, о] = А,и„+ В,и„-, 'Сго„+ 0хц, и ° й,, [и, о] = Ахи„+ В,и„+ Схо„+ Охом В каждом из зтих операторов, согласно предыдущему, дифференцирование производится по двум направлениям. Из операторов й, н й, можно составить еще один оператор й: й[и, о] =й,-'с Лй,= (Аг + ЛА ) их — гг (Вг + ЛВх) ид + (Сг + ЛСх) ох + (1)х + Л[зх) ол где Л == Л (х, у) — некоторая функция. Поставим задачу: Найти такие значения Л, чтобы в операторе й дифференцирование каждой из функций и и о производилось только в одном направлении.

В операторе и [и, о] дифференцирование функции и производится в направлении 1, = ](А, + ЛА,)/М„(В, + ЛВ,)!У,], а дифференцирование функции о — в направлении 1,= [(С,+ ЛС,)НУ,, (В, + ЛП,)1жх], Л',.= г (А, +ЛАх)'+ (В, + ЛВ,)', Н., =- ]1 (С, -', ЛС,)х ]- (О, + ЛО,)'. Чтобы эти направления совпадали, необходимо и достаточно, согласно предыдущему (4 2), чтобы выполнялось условие А, -,'— ЛАь В, —,'- ЛВт =О. (4) Из этого условия находим Л. 2.

Для определения Л мы имеем квадратное уравнение. Из него находим два значения: Л,, Л,. Эти значения называют характеристическими значениями пары оггераторов (й„йт). Каждое из этих значений определяет направление, к дифференцированию вдоль которого сводится оператор 6.

Для каждого из полученных значений Л получим свой оператор 6: ди дь Йг (и, о) = — —,'- Ьг (х, у) —, дт,: ' дтг ' ди дь Йгт!и, о) = — -1 — Ьг (х, у) дтг ' дт,' где С, + ЛгС, гт, + Лггг, гг,(х, у)=— Аг + ЛгАт В1 т ЛгВ2 (г =-1, 2), д д — = (А, + Л,Аг) — + (В, + Л,Вг) —, дт, дх ' " ду ' д . д ~, д — = — (А, — г ЛтАг) — „,'- (Вг -~- ЛгВг)— Таким образом, из двух исходных операторов й, и Ь, можно получить два других оператора 6, и Йт в каждом из которых дифференцирование функций и и о производится лишь в одном направлении. Эти направления называются характеристичеческими направлениями пары операторов Ь, и Ь, Мы оудем называть их первым (для Л,) и вторым (для Л,) характеристическими направлениями. Примем следующую классификацию пар операторов (й,, йе): 1.

Если Л, и Ле вещественны и различны, пара операторов й, и йг называется гиперболической. 2. Если Л, и Л, комплексны, пара операторов й, и Ье называется эллиптической. 3. Если Лг == Лг, пара операторов й, и йт называется параболическойй. Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет первое характеристическое направление пары операторов (Ь„й,), называется характеристикой первого семейства пары операторов (Ь,, й,). Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет второе характеристическое направление пиры операторов (Ь,, й,), называется характеристикой второго семейства пары операторов (/гг, йг).

Таким образом, в гиперболическом случае мы имеем два семейства характеристик, лифферснциальные уравнения ко- 'Горых нхпиот вид 'дх ду дх дч И (6) л, —;х л, н,-г?,,н, л, ь~.,л, п,+?,ьв, ' В параболическом случае имеется одно семейство характеристик, в эллиптическом — два мнимых семейства. 3 а м е ч а н и е. В рассмотренном нами случае операторы й, и й, — линейные и их характеристики не зависят от функций и и о. 3. Рассмотрим систему линейных уравнений и, ]и, о] = д 1 (х, у), Ье]и, о] = д е (х, у).

(6) Она называется гиперболической, если пара операторов (й,, й,) гиперболическая, т. е. если ?, и ?., вещественны и различны. Система называется эллиптической, если пара операторов (Ь„ й,) эллиптическая. Аналогично определяется параболическая система. Мы е дальнейшем будем рассматривать только гиперболические системы.

Характеристиками системы (6) будем называть характери. стики пары операторов й, (и, о], й, ]и, о]. 3 а м е ч а н и е. Понятие характеристик системы (6) вместе с их дифференциальными уравнениями (5) остается неизменным, если правые части системы д*, и 8', являются функциями х, у, и, о. Систему (6) можно заменить эквивалентной ей системой, называемой характеристической формой системы (6); дь дь — —,'- lг,(х, у) — = Й, + ?.,8'ь, дт, ' ' дт| (7) — -,'— е (х, у) — =о1+~Ф дч дь д те ' '-' ' дт; 4. Если в уравнении второго порядка ан(х, у) и,,-'; 2а,,(х, у) и.ч-1 а,,(х, у) и„„== 7(х, у, и„, ич) (8) положить и,.

== ш, и„=- о, то оно сведется к эквивалентной системе апшх ] ание ! амо~ -; амоь = 7 (х, У, и3, о), ~ч ох 6. (9) Возникают вопросы; !) Если уравнение (8) гиперболическое (эллиптическое, параболическое) в некоторой области Р, то будет ли гиперболической (эллиптической, параболической) в Р система (9)? Будут ли характеристики уравнения (8), определенные в гл. ], совпадать с характеристиками системы (9)? Нетрудно дать утвердительные ответы на эти вопросы и доказать, таким образом, эквивалентность понятий характеристик уравнения (8) н эквивалентной ему системы (9). В самом деле, 43 уравнение для нахождения характеристических значений системы (9) имеет вид 1, ии им+ Х~ 2 2 ~=0 или Л =ам — апам=б.

аг„— х а~~ Следовательно, Х,, = АХ. Отсюда следует утвердительный ответ на первый вопрос. Дифференциальные уравнения характеристик системы (9) согласно (5) имеют вид ду ам+1/Л ду ам — УЬ дх . аи дх аи и совпадают с уравнениями характеристик (11) гл. 1 уравнения (8).

Мы получили утвердительный ответ и на второй вопрос. 9 4. Гиперболические системы с постоянными коэффициентами 1. Пусть Е, = д', — О, а А,, А,; В„В,; См С,; Вг, В,— постоянные. Тогда, очевидно, и )т, Х, — постоянные. Дифференциальные уравнения характеристик в этом случае имеют вид ду и, + Х,д, 1 ду В, + Х,в, дх Л, + Х,Л, а, дх Л, -~- Х.Л, и2 ' где а, и а, — постоянные.

Следовательно, характеристики суть прямые х — а,у = г(м х — а,у = г(,. Характеристическая форма системы имеет вид ди , ди д — + /г, — = — (и + гггэ) = О, дт~ дтг дт~ ди , ди д — ~ йз —.= —,(и-т-ума) =О дтпл ' з дт, дт2 где с +хгс с,+х с, гг,= „= сопз1, Уг,= „„=сопз1. ~+ г я ~+ э а Полагая г = и + й,и, з == и + йго, систему (10) можно записать в виде дг дг — =О, — =О.

дт~ ' дтй Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го'тсемейства (т. е. вдоль линии х — а,у = г(,) г ='и + lгго = б, = сопз1. Таким образом, г — инвариант на' характеристиках 1-го семейства. Вдоль каждой характеристики 2-го семейства (т. е. вдоль линии х — а,у = г(,) з = и+)г,о = Ь, = сопз1. Таким образом, з — инвариант на характеристиках 2-го семейства. При этом для каждого значения константы г(, будет свое значение инварианта г, т. е.

константы 6,: г и+ йги = Р (г(,). Аналогично з = и + /г,и = Ф (г(,), или и + и„о =- Р (х — а,у), и + )г,и = гр (х — а,у). Р и Ф могут быть произвольными дифференцируемыми функциями. Так как ггг + ггя, то (гзр (х — агу) — йгФ (х — агу) г (х — а,у) — Ф (х — а,у) и— ) о= уя — (гг )гг — )гг П р н м е р 2.

Рассмотрим уравнение а ихх = агг. г Это уравнение экнииалентно системе аох — аг. аа» == ог, Таким образом, а этом случае йг [и, о[ ь аа, — ог 6 [и, г ] == ао„ вЂ” аг (Аз=а, В„=О, С»=О,0г= — 1), (Аз = О, Вя =- — 1, С, = а, Вз = О). ураянеггие для Л: [аЛ вЂ” 1 ~ Следонательно, Лз = 1, т. е. Лг =- 1, Л, = — 1. Эта систена гиперболическая с + л с с, + л с Аг + ЛгЛг з Аг 1- ЛгАг Дифференциальные уравнения характеристик: г(х г(х — =- — а, — =-. а.

г(г ' гц Таким образом, имеем дна семейства характеристик: х+ аг = г(г — сопз1 и х — а( = г(з = сапы. (12) 2. Обратимся к физической интерпретации решения и =- =- Ф (х — а(), Функцию и (х, () будем называть опгклонанггезг гдозг -ай) аг Рис. 7. в точке х в момент времени (. Рассмотрим точку х,. Вообразим, далее, что из этой точки в положительном направлении оси х в момент времени ( =- О начинает двигаться наблю- 45 Вдоль прямых х + а( = г(г имеем а + хго = и -[- о = 2г (х+ а(). Вдоль прямык х — а( = г(я имеем и + )гяа =- и — о = 2Ф (х — аг), где г (г) и Ф (г)— произвольные дважды дифференцируемые функции. Отсюда и (х, г) = У (х + аг) + Ф (х — а().

в 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера 1. ??усть требуется найти решение задачи Коши (13) (14) а-и,, = ии и (х, О) .— ~р (х), иа (х, О) -- ф (х), непрерывное в замкнутой области Вг = ! — оо <.г < со; 1 . О). Решение будем искать в виде суперпозиции прямой и обратной бегущих волн (см, пример 2 в ~ 4) и(х, 1) =-Е(х+а!) +Ф(х — а1) а).