1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 8

Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорцнональным скорости, предполагая, что концы струны закреплены жестко. 3. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях, вызванных начальным возмущением, для упругого стержня (О ( х ( !) переменного сечения Я (х), концы которого упруга закреплены (с помощью пружины). Плотность массы равна р (х), модуль упругости равен Е (х). Деформациями поперечных сечений пренебречь. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положення равновесия, если ее верхний конец (к = 0) жестко закреплен, а нижний свободен.

6. Рассмотреть задачу 4 в предположении, что струна вращается с угловой скоростью ы = сопз! относительно вертикального положения равновесия. 6. 1-!еаесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ы находится в горизонтальной плоскоств, причем один конец струны (х = 0) прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени ! = 0 точкам струны сообщают малые отклонения н скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 7. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что в момент времени ! = 0 его поперечные сечения получают малые повороты О в своих плоскостях относительно осн цилиндра. Поставить краевую задачу о малых крутнльных колебаниях этого цилиндра, если концы его жестко закреплены (нли свободны).

6. По струне 0 ( к ( ! с неподвижно закрепленными концами н пренебре. жимо малым сопротивлением, находящейся в постоянном магнитном поле Н, с момента ! = 0 пропускается ток силы 1 (!). Поставить краевую задачу о попе« речнык колебаниях втой струны под действием пондеромоторных сил. 6. Два полубесконечных однородных упругих стержня с одянаковыми поперечными сеченнямн соединены торцами н составляют один бесконечный стер. жень. Пусть рг, Е! — плотность массы к модуль упругости одного яз ннх, а ра, Е, — другого.

Поставить задачу о малых продольных колебаниях этого стержня под действием начального возмущения, 1О. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны с закра. пленными концамк, нагруженной я точке ха сосредоточенной массой ю. 11. Поставить задачу о поперечных колебанвях бесконечной струны под действием силы Е (!), првложенной, начиная с момента ! О, в точке х «а, перемещающейся вдол струны со скоростью эа, 12. Вывести уравненяя для определения силы и напряжения переменного тока (снстему яилаада4)яыл уравнений), ндущего вдоль тонкого провода с непрерывно распределенными по длине: омнческим сопротявлеввем )с, емкостью С, самонндукцней Ь н утечкой О, рассчктаннымк на едяннцу длины.

У к а а а н н е: воспользоваться законом Ома к законом сохранения количества влектрнчества. 13. Поставить краевую задачу об электрических колебаннях в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением к утечкой, если хонцы провода заземлены: один — через сосредоточенное сопротивление ))а, а другой — через сосредоточенную емкость Са. 14. Рассмотреть задачу 13, предполагая, что однн конец провода (х 0) заземлен через сосредоточенную самонндукцню цг', а к другому прнложена э. д.

с. Е (!) через сосредоточенную самонндукцию Цт'. 16. Поставить задачу об электрических колебаниях в бесконечном проэоде без утечки, полученном соединением двух полубесконечных проводов через сосредоточенную емкость Сэ. 16. На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвектквный тгплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой иср = <р(!). 3У Поставить краевую задачу об определении тсмпсратурь1 стержня, если на одном конце его поддерживается температура !'т (1), а па другой подается тепловой поток д (1).

17. Поставить краев!по задачу об определении температуры в стержне, по которому пропускают постоянный электрический ток силы 7, если на поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, а концы его зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостыо и очень большой теплопроводностью.

18. Вывести уравнение диффузии в среде, движущеися со скоростью и (х) в направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени являются плоскости, перпендикулярные оси х. 19. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ) со скоростью, пропорциональной концентрации; б) размножаются (например, нейтроны) со скоростью, пропорциональной их концентрации. 20. Поставить задачу об определении температуры бесконечного стержня, получевного соединением двух полубесконечных стержней, сделанных из разных материалов, если эти стержни соединены а) непосредственно; б) с помощью массивной муфты с теплоечкостыо Са и очень большой теплопроводностыо.

2!. Поставить краевую задачу о нагревании полубесконечного стержня, конец которого горит, причем фронт горения распространяется со скоростью и и имеет температуру ф (1). 22. Поставить задачу о нагревании бесконечного тонкого стержня, по которому скользит со скоростью пч плотно прилегающая электропечь мощности О, если внешняя поверхность печи, не прилегающая к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо мала. 23. Поставить краевую задачу об остывании тонкого круглого кольца, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей температуру ич.

Неравпомерностью распределения температуры по толщине пренебречь. 24. Вывестн уравнение для процесса распространения плоского электромагнитного поля в проводящей среде (т. е. в среде, в которой токами смещения можно пренебре ~ь по сравнению с токами проводимости). 25. Исходя нз уравнений Максвелла: а) вывести уравнение для потенциала электростатического поля; б) вывести уравнение для потенциала электрического поля посточнного электрического тока, Главк П! МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Одним из аффективных методов построения решений и нссле.

дования свойств решений уравнений в частных производных и систем таких уравнений является метод характеристик, На его основе строятся также приближенные методы получения численного решения систем уравнений. Для простоты изложения мы ограничимся рассмотрением задач, в которых искомые решения являются функциями от двух переменных а). Как известно, производная функции 7" (х, у) в фиксированной точке (х, у) по направлению единичного вектора Т с компонентами '"1 *) Обстоятельное изложение метода характеристик, в том числа и для многомерных задач, имеется в книге: Рождестве н с к и й Б. Л., Я не и. к о Н.

Н. Системы квазилинейныт уравнений. — М: Наука, !96Ч, Вз соз а, соз [1 равна — =- (Ч), 1) = сова — + созр —. д! . д!' д!' д! ' дх ду ' Выражение А д( В д! + У дх У ду ' где М = ~'лА'+ В', можно рассматривать как производную функции ! (х, у) в точке (х, у) по направлению единичного вектора с компонентами АНч', Вйч'. $ 1. Характеристическое направление и характеристики оператора Н[У! 1. Рассмотрим оператор Н [) 1 =: А (х, у) ~, + В (х, у) )„, где д! д! ду Принимая во внимание сказанное выше, оператор Н ф во всякой фиксированной точке (х, у) можно рассматривать как производную от1 (х, у) по направлению вектора 1 == (А!М, В/М), умноженную на Ж вЂ” !''А'+ В', т.

е. Н [11 =-М вЂ”. д) д! ' Направление 1 = (А,'Я, В,'М) назьтается характерисппгческим направлением оператора Н [(1 в фиксированной точке (х, у). Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет характерисчпическое направление оператора Н [!1, называется характеристикой оператора Н [(1. Согласно определению, в каждой точке характеристики выполняется соотношение ду В дх А (!) Это соотношение является дифференциальным уравнением характеристик оператора Н.

Это уравнение зквивалентно системе — = А (х, у), + = В (х, у). (2) 2, Применим понятие характеристик к изучению уравнений вида Н [!'1 = А!', + В)„=- О. Эти понятия изучались в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель нашего рассмотрения состоит в том, чтобы пере- 39 нести эти понятия на системы уравнений и с их помощью изучить некоторые важные свойства решений. Характеристиками уравнения П [1! — — 0 будем называть характеристики оператора Н [('1. Т е о р е и а 1.

Если функция (" (х, у) удовлетворяет уравнению Н [(1= О, т. е. Н 1('1: — О, то на каждой характеристике оператора Н 1" (х, у) з— в сопя[. Действительно, вдоль каждой характеристики имеем д( =- = )'„с[х + !аду =- [1„— „+[и — „т ) дт. Принимая во внимание вх ву х уравнения характеристик (2), получим (А)„+ В~и) с(т == Н [1! Ит = О. Отсюда и следует, что на каждой хате э рактеристике ( (х, у) з— а сопя[. Физическая интерпретация этого факта. Если у — время (у --=- (), то теорема 1 означает, что начальное состояу ние ) (х, 0) распространяется по характеристикам. Чтобы найти !' (х,, (а) в произвольной фиксированной точке (х,,(а), надо через точку (х,, (а) провести характеристику, найти ее точку пересечения с осью ( =-- О.

Пусть это будет точка (х,, 0), Тогда ) (х,, (а) =- ) (х„О) (рис. 6). П р и м е р К Рассмотрим уравнение аих+ из= — О. Лля оператора Н [и] = вх Ж и аи + и~ дифференциальное уравнение характеристик имеет внд — = — а. Следовательно, характеристики суть прямые х — а( Ь = сопз(, Эти характернстини заполняют всю плоскость (х, О. Вдоль каждой характеристики и (х, т) Ст сспзп При этом Ст имеет разные значения вдоль разных характеристик, т. е.

С, = [ (Ь), или и (х, О = [ (х — ат). Функция / (г) может быть произвольной лифференцируемой функцией. Выбирая функцию [ (г) надлежащим образом, можно решить задачу Коши. Решение задачи Коши для ураннения аи„+ ие = 0 с начальным условием и (х, 0) ф (х) имеет вид и (х, О = ф (х — аО. (1 2. Характеристическая форма оператора В[и, тт] =Н,[и]+ На[о[ Наша цель — ввести понятие характеристик и изучить их свойства для систем уравнений. Для простоты выкладок мы ограничимся системой двух уравнений (хотя основные факты, которые мы получим для систем двух уравнений, справедливы и для систем любого числа уравнений). Для этого предварительно рассмотрим оператор й [и, и! над двумя функциями 6 [и, и] =- =Н, [и1+Н,[п], где Н, [и)=Аи +Ви,, Н, [о]=- = Со, + Е)ою А, В, С, Π— заданные функции от (х, у). Операторы Н, 1и] и Н, [о] над функциями и, о можно рассматривать как угиноженные соответственно на Л'т — ).~Ат + Ве и Уг = р' Са + 1гз производные по направлениям 40 = (А 'Ж,, В,'ХД и 1з= — (С1Л'„О йг,), т, е, Н, [и] = У~ —, Н~[о] ди =- М,—.