1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (Арсенин 1984 - Методы математической физики и специальные функции), страница 2

Автор ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эта книга предназначается для студентов инженерно-физических, физико-технических и других специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих профилей. Она является результатом существенной переработки моей книги «Математическая физика», выпущенной издательством «Наука» в !966 г. В наибольшей степени переработке подверглись следующие разделы: метод характеристик решения задач для уравнений гиперболического типа, метод функций Грина, единственность решения краевых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, посвященная специальным функциям.

Изменилось н построение книги. В основу положены методы решения простейших задач математической физики и их возможности в применении к уравнениям (системам) различных классов (типов), Такое расположение материала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить практические алгоритмы получения решений основных задач. Имея в виду практические потребности обрабоз ки результатов физического эксперимента, в книге вводится понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач.

Для многих основных задач рассматривается усто1гчивость изу:юсмых методов их решения к малым изменениям «исходных данных». В прило- женин к интегральным уравнениям первого рода алгоритмическп описывается и метод нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям «исходных данных» (метод регуляризацпи). В отличие от прежней книги, в этой книге метод характеристик излагается для систем линейных и квазилицейных уравнений и показывается возможность образования разрыва в решении при сколь угодно гладких «исходных данных». Содержание книги почти полностью совпадает с курсом лекций, который я читал в течение многих лет на факультете экспериментальной и теоретической физики Московского инженерно- физического института. А.

Г. Свешников прочитал рукопись и высказал многочисленные важные замечания и ценные советы по содержанию книги и изложению, которыми я воспользовался. Полезные замечания, позволившие устранить упущения и улучшить изложение, были высказаны А. Ф. Никифоровым, Е. А. Волковым и редактором А. С. Чистопольским. Всем этим товарищам выражаю глубокую благодарность.

Автор ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА> Этот курс складывался под непосредственным влиянием А. Н. Тихонова, определившего основное содержание программы курса. С А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским я неоднократно обсуждал многие вопросы и пользовался их ценными советами. В. С. Владимиров и Т. Ф. Волков прочитали рукопись и высказали ряд важных замечаний и советов, которыми, я воспользовался. Многочисленные полезные замечания были высказаны редактором С. А. Широковой.

Всем этим товарищам выражаю глубокую благодарность. Автор » Часупь 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Глава ( КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Большое число физических задач приводит к дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка относительно искомой функции. Такие уравнения можно написать в виде соотношений между независимыми переменными х„... ..., х„, искомой функпией и и ее частными производными первого и второго порядков и,,, ..., и,„; и„,„,, ..., и,„„„, ..., и„,.„р лввп' и. Ф(х,, хг..

л;,; и и» ил. » и» и„,, , и„,, , и„ „ ) = О. ггуувв Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных — производных второго порядка, т, е. имеют вид ~~ ~; а;;ил „. -,'— Е(х,, ..., х„, и, и„, ..., ив ) = О, у'=! у' — у где коэффициенты при старших производных а;; являются функциями только независимых переменных х„х.„..., хв. Если функция г (х,, ..., хв, и, и,,, ..., и„) линейна от- носительно аргументов и, и,,, ил„, то уравнение называется линейиьулу (без указания, относительно чего). Линейные уравнения имеют вид в в л ~„'~ апил л.+ ~ Ь;и,. +си=~(хг, ..., х„), (*) — — -1 у=! где коэффициенты ап, Ь„с являются функциями только независимых переменных х„..., х„.

Если у (х,, ..., хв) == О, уравнение (в) называется линейным однородным, в противном случае — неоднородным. Если коэффициенты а„, Ь„с постоянны, уравненис (в) называется гууиу:ууууы,гг ррпанение.и с постоянныуии коэффицисиуугаии, Все многообразие линейных относительно старших производных (или просто линейных) уравнений может быть разделено на трн класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много оощих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие уравнения данного класса могут быть приведены к каноническому виду.

Свойствами решений канонических уравнений и методами построения нх решений мы и будем заниматься в последующих главах. Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) классификация уравнений — определяется коэффициентами прн старших производных. Мы произведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция и зависит - лишь от двух переменных: и = и (х, у). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде а««и,„~- 2аыи,, Рог,'и„г-,'-Е(х, у, и, и„и,) =О, (!) а линейные.— в- виде а„и„. ,'-2а, и,, +а„и„, .',-(«,и, дги,,~-си =)(х, 'у), (2) где а«н («о с — -функции только независимых переменных х, у.

Любое такое уравнение ((!) или (2)) с помощью замены незави- симых переменных может быть приведено к более простому-- к а н о н и ч е с к о м у в и д у (форме). Поэтому при изучении уравнений с двумя независимыми переменными можно ограни- читься в дальнейшем лишь каноническими уравнениями. Пройзведем в уравнении (!) замену независимых переменных по формулам в =- р (х, у), «! = ф (х, и), (3) устанавливающим взаимно однозначное соответствие между точ- ками (с, Ч) и (х, у) соответствующих областей. Мы будем требо- вать, чтобы функции гр (х, у) и «р (х, у) были пепрерывнымп вместе с нх частными производными первого и второго порядков. Тогда и, = «!.оиг «!Лбг и„== Ч„иг - «раич г и,„= Ч и-: ' «(! «р„ич «),и, „, «! „и- «!', и„, г, г и„„= срги;.~+ 2«разгар«, «р„и„«, Ч„,и-„.

«),, и„, и.г=Чцеаим )-(Ч,Фг-«-Ч'г«рх)игл,' «р„«)«гим« ,'— <р,,иг' ,«(кис. Подставляя этн значения производных в уравнение (!) и объеди- няя члены с одинаковыми производными, получим преобразован- ное уравнение ап«гы ~; 2и«гиг„-р аг и„ч — ' г«(и,, ич, и, Е, «!) = О, (4) где г г а~« — — а„у'„+ 2а|гр„«р„— '; агг«рг, а«г = а««Ч««)«, --, 'а,г(«р„«)г '; гр,ф,.),'- а,г«,«рч. ам: ап«р, .а«лр,«),, р ««г 1! ...

(р) 11спосрсдствегшой проверкой устанавливаем сп!1авелливость тождества (испо. ьзуя при этом формулы (5)) т Г 1)1т й) 1з а,г — апаса -=- (а,г -- апагг) 1) (х; у) ) Теперь мы можем принять следующую к л а с с и ф и к ац и ю уравнений вида (1). Если в некоторой области Р дискриминанг Л =- а",г — апагз положителен, Л > О. то уравнение (1) называется гиперболическим в Р (гиперболического типа в Р), Если Л < О в области Р, то уравнение (1) называется эл,гиптиск1ьи в Р (эллиптического типа в Р). Если Л = — О во всех точках области (множества) Р, то уравнение (1) называется параболиче киги в Р (параболического типа в Р). Из тождества (6) следует, что при замене независимых переменных по формулам (3) тиа уравнения (1) не изменяется *).

Мы воспользуемся заменой независимых переменных для упрощения уравнения (1), для приведения его к канонической форме. Для каждого типа уравнений существует своя каноническая форма. 1. Если уравнение (1) гиперболпчно в области Р, то в Р существуют такие функции ср (х, у) н тр (х, у), что заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к простейшей форме и;„. 1- г'з(иь ин, и, ", з)) = О, (7) называемой канонисеской.

Опишем процедуру отыскания функций ср (х, у) и тр (х, у), не вдаваясь в обсуждение условий нх существования. 1) Если а„=- а„=- О в Р, то а„не обращается в нуль в точках области Р. Разделив обе части уравнения (1) на 2а,,„мы получим каноническую форму (7).

2) Пусть а1~ + агг не обращается в нуль в точках области Р. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда хотя бы один из коэффициентов агы а„не равен тождественно нулю ни в какой области Р„принадлежащей Р. Пусть это будет ап. Возьмем в качестве ср (х, у) и тр (х, у) в формулах (3) такие функции, которые обращают в нуль коэффициенты а„н аг, преобразованного уравнения (4), т. е.

являются решениями уравнений г г нпср» + 2а1гср„срд + аггфр» = О, (8) анф» + 2а1гзР»тйд + аггзР» = О. Разрешая эти уравнения относительно ср»'<ра и тр,утр„, получим сг, — озз ~ 1 Л чм — аза ~ Р»Л ~рд сы ' фц ан ') прн взаимно однозначном преобразовании (3) якобнан 0 Ор; зР)11) (х; у) не обращается в нуль. См. Ф н к т е н г о л ь и Г. М. Основы математике. ского анализа, т. П, нзд. б-с.

—. а1.: Наука, 1968. 11 Следовательно, каждое из уравнений (8) распадается иа следующие два уравнения: гр - + к, (х, у) гр, = О, ф„+ Хз (х, у) ф„= О, (9) где Хт(х У) = " , ле(х У) = "" + ! . (1О) а11 ' Й ' а11 Уравнения (9) эквивалентны соответственно уравнениям — „~ = л,(х, у), — „~ =Ха(х, у) *). (11) Пусть гр (х, у) = с, и ф (х, у) = са суть общие интегралы уравнений (11).