1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 8

В качестве А можко ваять любую матрицу ("."':) удовлетворяющую иеобремекительиому условию Р аиа„— а„а„чь О, а» После того как матрица А выбрана, все матричные эле- менты матрицы определяются однозначно. Легко проверить, что 1 ܄—, а„„Ь,. — — аы, Ь, — — аа„ Ь„= — аы.

Формула (5.3)' действительно определяет некоторое решение настоящей задачи. В самом деле, Ь(л)Ь(Ь)= ВЬ,(б)АВЬ,(Ь)А. Учитывая, что АВ Е и что Ь,(я)Ь,(Ь) Ь,(яЬ), получаем Ь(р)Ь(Ь) = ВЬ,(бЬ)А Ь(вЬ); т. е. Ь(йй) = Ь(а) Ь(Ь). Итак, все решения Ь(я)' вида (5.3) получаются из решения Ь,(л) с помощью стандартной процедуры, т. е. очень просто.

Впоследствии мы увидим, что такие решения не дают ничего нового по сравнению с тем, что дает решение Ь,(д). В атом смысле можно сказать, что рассматриваемая аадача имеет единственное нетривиальное решение: Ьс(б). Обратимся теперь к обобщению, второй вспомогательной задачи (см. $4). Речь пойдет о том, чтобы найти два смещения г"' и г"', которые под действием операций симметрии преобразуются по формулам (5А), где матрицы Ь(я) совпадают с приведенными выше матрицами Ь,(4) (яшСы), Это есть частный случай гораздо более общей задачи — одной из основных задач теории групп.

Ниже мы поанакомимся с некоторыми методами решения подобных задач. Здесь же приведем лишь результат решения нашей конкретной задачи. Общий вид смещения гсо изображен на рис. 47. Видно, что оно зависит от пяти параметров *): а, Ь, с, л и ~р. а) условия неподвижности центра инерции и равенства нулю момента количества движения уменьшают число неаааисимыл параметров до трех, 45 Значения этих параметров возможно определить только с помощью уравнений механики.

Хотя это и ве очень простая задача, все же она значительно легче задачи определения пятнадцами параметров, которую пришлось бы решать, не прибегая к соображениям симметрии. Решая задачу с тремя неизвестными параметрами, мы иаидем три главных колебания: г(, г, и г» ° Учитывая (и «) «) далее, что согласно (5.1) пег«) г(н ~гз 2 2 следующие три главных колебания мы получим «бесилатно», т.

е. не обращаясь к уравнениям механики, г«Я — — г(1) — — о,г(" Ц вЂ” 1 2 3). 2 "' ')1(2 При атом колебания г) и г( имеют одинаковые частоты (О (1) во' (1 = 1, 2, 3). .Рис. (7. Смешение г(') молекулы, соответствующее первому вектору канонического базиса двумерного в«приводимого предста»ле- вая группы С» Подчеркнем, что приведенные результаты (кроме кон"кретной формы колебанийг,, г» и гг» ) получаются толь- (1) «) «)Ъ ко из соображений симметрии без обращения к уравнениям механики, Здесь возникает вопрос, в каких случаях анализ задач с группой симметрии позволяет получить подобные результаты или, иными словами, насколько поддастся обобщению примененный нами прием исследозания подобных задач.

Ответ'на этот вопрос содержится в следующей главе. Глава 3 ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП К 'ИССЛЕДОВАНИЮ ЗАДАЧ С ГРУППОЙ СИММЕТРИИ. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОИ ТЕОРИИ ГРУПП Было бы странным, если бы своеобразный прием исследования задачи о колебаниях механическов модели молекулы НХОь примененный в гл.

2, не мог быть испольвован для исследования ряда друпзх задач. Поэтому естественно провести анализ этого приема, с тем чтобы, отделив частное от общего. возвести его в ранг метода. Такой авалнз должен быть сосредоточен па 'выявлении использованных свойств множеств б и Х рассмотренной задачи, свойствах ее операций симметрии, а также ва тех чисто математических задачах, которые возникли в процессе исследования и которые мы относим к прикладной теории групп.

Коротко, зти свойства состоят в следующем. Элементы совокупностей Ь (и Х) можно эумножать» на числа, моя но зскладыватьэ друг с другом и прн этом получать опять-таки элементы этого же множества Ь (соответственно Х). При этом указавяые дза действия обладают рядом свойств, которые роднят их со сложением и умножением чисел, Подобные совокупности элементов играют важную роль во многих областях пауки, им присвоено специальное название — линейные пространства.

С линейными пространствами и вх простейшими свойствами мы познакомимся в $7. В дальнейшем мы будем заниматься. только теми задачами, у которых множества Ь и Х вЂ” линейные пространства. Таина задачи называются линейными. Это — очень широкий круг задаю Их ивучение составило эпоху в математике и фиавке и продолжается до сих пор. К операциям симметрии задачи А(Ь) будем предъявлять два требования. Во-первых, этн операции должны быть линейнымл.

Общее определение и основные свойства линейных операций излагаются в $8. Бо-вторых,-они должны обравовывать группу. Читатель сможет познакомиться с понятием группы в $9, В $10 при выполнении указанных ограничений дается общая схема исследования задачи А(Ь) с группой свмметрии С п формулируются в общем виде две основные задачи прикладной теории групп. Тем самым достигается основная цель этой главы— уяскить схему применения теории групп в исследовании аадач, обладаюпцгх группой симметрии. Чтение $$7 — 9 может вызвать некоторые психологические трудности. Поэтому в $6 предварктельно обсуждается польза и неизбежность введения абстрактных покатай в науке и, что главное, делается попытка убедить читателя, что использование абстрактных пбвятвй упрощает (а не усложняет) изучение того или иного раздела науки.

$6. Об абстрактных.понятиях Все абстрактные понятия можно раэделить на два типа: свяэанвые с идеализацией и ве связанные с нею, Как правило, все абстрактные понятия геометрии и физики (геометрическая точка, прямая, плоскость, материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный кристалл и т. и.) возникают в результате идеализации некоторых реальных объектов, Нас будут интересовать абстракции, не связанные с идеалиэацией.

Выдающимся представителем такого типа абстракций является целое число. Мы настолько привыкли к атой абстракции, что лишь с трудом соглашаемся признать целые числа абстрактными понятиями. Между тем переход от образов (четыре коровы, четыре яблока, четыре восхода солнца и др.) к понятию ечетыреэ безусловно является чистой абстракцией. Эта абстракция оправдана многими обстоятельствами, мы же ограничимся двумя. Первое: если украдена одна или несколько коров или съедено одно или несколько яблок, то число (как коров, так и яблок) перестанет быть равным четырем, а станет равным трем, двум или одному. Второе обстоятельство: если объединить четыре коровы и три коровы, то получится семь коров; совершенно аналогичный результат получится при объединении четырех яблок и трех яблок.

Это избавляет вас от необходимости составлять отдельно таблицу сложения для коров, отдельно — для яблок и т. д. Достаточно иметь лишь одну таблицу сложения — для абстрактных чисел 1,2,... Следующий, более высокий уровень абстракции достигнут в' алгебре, преподаваемой в средней школе.

Здесь вводятся буквы а, 5, ..., х, р, з, каждая иэ которых может обоаначать любое число (не обязательно целое). Вместо конкретного числа — буква, обозначающая любое число н, следовательно, представляющая собой следующую ступень процесса абстракции. Чем оправдывается,эта ступеньг Ограничимся и вдесь двумя соображениями. Прв решении арифметической задачи, условие которой содержит несколько чисел, скажем чисел 25, 6 и 17, нам нужно решить для себя два вопроса: во-первых, выяснить; какие именно арифметические действия следует проиэвести над этими числами, чтобы получить ответ, и, вовторых, проиавести этя действия фактически, Существует 43 огромное множество задач, в которых первый вопрос решается совершенно независима от того, какие именно числа фигурируют в условии задачи.

Например: «Петя собрал 5 грибов, а Маша — $2. Сколько грибов они собралн вместе?з Ясно, что два числа 5 и э2 следует сложить и что точно так же следовало бы поступить, если бы Петя собрал 2, а Маша — $5 грибов. Стоит подняться на ступень абстракции, связанную с использованием букв, и две эти задачи перестают восприниматься как различные. Они становятся двумя частными случаями одной задачи: «Петя собрал а грибов, Маша собрала Ь грибов. Сколько грибов они собрали вместе7з Ответ этой задачи (а+Ь), если, его рассматривать применительно к любой иа конкретных задач, является алгоритмом решекня; он указывает, какие действия следует произвести над числами, входящими в условия задачи, чтобы получить требуемый ответ.

Итак,' первов оправдание введения абстрактных чисел — букв — это возможность алгоритмического подхода к задачам, при котором различные конкретные задачи оказываются частными случаями одной и той же абстрактной задачи. Второе оправдание введения букв — это абстрактное описание преобразований, переводящих одно численное тождество в другое. Например, если а+Ь с+И, а е— произвольное число, то а+Ь+е ° с+Н+е.