1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 4

Любое главное колебание из множества В представимо в виде суммы; т ° Д Сф», Ж Число й, обрывающее этот процесс и фигурирующее в написанной сумме, будем называть кратностью частоты в» 'Теперь можно сформулировать задачу 3: найти главные колебания молекулы НР(О». Основываясь на формулировках приведенных выше трех конкретных задач, выработаем абстрактное определение понятия задачи.

Подчеркнем, что нам вовсе не требуется, чтобы это определение охватывало решительно все задачи, с которыми приходится нметь дело человеку. Достаточно, чтобы оно охватывало сравнительно широкий круг задач и было пригодно для наших дальнейших целей. В этом смысле определение не может быть ни правильным, ни неправильным, оно моя«ет быть только удачным илн неудачным, плодотворным или бесполезным.

Скажем еще так: определение, на котором мы остановимся, попросту описывает тот круг задач, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем. Согласно предлагаемому определению задача характеризуется следующими двумя составными частями: множеством Б, среди элементов которозо нужно найти решение задачи, и набором условий А, причем, каков бы ни был элемент а из множества Б, всегда можно сказать, удовлетворяет ли-этот элемент условиям А. Решением задачи объявляется каждый элемент х ш Ь (читается: «х нз Ем), который удовлетворяет условиям А. Совокупность всех решений образует некоторое множество.

Будем обозначать его буквой Х. Множество Х может быть пустым (пе содержать ни одного элемента), может содержать один элемент, несколько элементов или бесконечное их множество. Задача состоит в отыскании множества Х. Условимся обозначать описанную аадачу символом 'А(Б)'. Покажем, что обычные задачи укладываются в эту схему и, следовательно, являются задачами в смысле - принятого нами определения. Для этого рассмотрим еще несколько примеров задач. Задача 4. Найти корни квадратного уравнения х' — 7х+ 1 О, (1.9) 2» 19 Здесь Е-множество всех действительных чисел; условие А состоит в том, чтобы выражение а' — 7а+ 1 (а ы Ь) было равно нулю. Это условие легко проверяется для каждого числа а.

Например, если а = 2, то а* — 7а+ 1 - — 9 ть О, т..е. число а не удовлетворяет условию А. Множество Х состоит нз двух корней уравнения (1.9)': т /49 т/~В х. = — — и — — 1. 2 + ) 4 г з 2 У 4 Поскольку множество Х найдено, то аадача решена. 3 а д а ч а 5. Решить систему уравнений и+ э+ в=О, 2и+и — й=З, и+ Зи+ 5ю = 7. (1ЛО) Здесь Б — множество всевозможных троек чисел ае а„а,. Условие А состоит в том, чтобы выражения а,+а,+ае 2а,+а,— а, и а,+За,+ба, были равны соответственно нулю, трем и семи. Какой бы ни была тройка чисел а„а„аь легко проверить, удовлетворяет она этим условиям или нет.

Решая систему (1ЛО), обнарулгиваем, что эта система имеет единственное решение: и = -10, э = 16,5, и -6,5. Таким обрааом, множество решений задачи (1ЛО)' состоит из одного элемента:. х ( — 10, 16,5, -6,5). Обратимся к рассмотренным ранее задачам: о движении подвешенного шарика, о спектре излучения водорода н о колебаниях механической модели молекулы Н7тО,, Что представляют собой множества 7 для каждой из этих трех задач? В задаче о шарике — это всевозможные функции ф(4). В задаче о спектре — это всевоаможные функции, которые мы подробно не рассматривали, а поэтому и сейчас не будем уточнять их природу.

В задаче о молекуле Нг(О; — это совокупность всевозможных отклонений молекулы от ее равновесного положения. Совокупность условий А в первой задаче — это условие (1.3) и превращение уравнения (1.2) в тождество 20 при подстановке в качестве ~р искомой функции. Во второй задаче — обращение в тождество уравнения П(редин- гера. В третьей задаче условие А формулируется не так просто. Оно состоит в том, что если придать молекуле искомое смещение г~ — — а, (у 'г,2,...,й), а затем предоставить ее самой себе, то она начнет совершать некоторое главное колебание с заданной частотой о,. Для того чтобы узнать, обладает ли этим свойством произвольно заданное отклонение, достаточно воспользоваться законами механики или, точнее, вторым законом Ньютона.

Разобранные примеры показывают, что принятое нами определение задачи охватывает достаточно разнообразный круг задач. э 2, Симметрия задачи В дальнейшем мы будем заниматься только теми задачами, которые обладают той нли иной симметрией. Понятие симметрии является наиболее наглядным, когда оно относится к геометрическим объектам. Симметрвчными фигурами на плоскости являются, например, квадрат, ромб, параллелограмм, окружность.

Почему мы называем симметричным, например, квадрат? Потому что он сохраняет свою форму и положение в плоскости при зеркальном отражении относительно своей диагонали, при повороте на прямой угол вокруг его центра (точки пересечения диагоналей) и при некоторых других операциях над плоскостью.

Окружность симметрична, так как она переходит сама в себя при любом повороте вокруг ее центра. Легко указать и те преобразования плоскости, которые сохраняют форму и положение ромба или параллелограмма. Что же такое симметрия геометрических фигур в плоскости3 Каждый раз, описывая свойства симметрии одной из перечисленных фигур, мы неизменно упоминали какое-либо преобразование плоскости — поворот плоскости на некоторый угол вокруг одной из ее точек или зеркальное отражение плоскости в некоторой прямой.

Присоединим теперь к этим преобразованиям еще и параллельный перенос плоскости на некоторый вектор а. На рис. 4 изображены зги три вида преобразований плоскости, . Если представить себе шахматную доску, имеющую бесконечное число клеток и заполняющую всю бесконечную плоскость (рис. 5), то такая доска будет обладать большим числом трансляциоиных симметрий.

При параллельном переносе, который можно характеризовать в' Г 1 У г рис б Три вида преобразований плоскости. а — всходиое по жение; 6 — положение после поворота иа угол е; е — после отра- жеиия отиосвтельво прямой АВ; е — после травсляции любой ил нарисованных на рис. 5 стрелок, доска переходит сама в себя. Мы видим, что геометрическая фигура считается симметричной, если существует хотя бы одно преобразование плоскости, которое не изменяет формы и расположе- 22 ния этой фигуры.

Собственно, перечисление всех преобразований плоскости, оставляющих данную фигуру неподвижной, и является описанием симметрии атой фиеуры. Сами эти преобразования называются преобразованиями симметрии данной фигуры, а их совокупность— ее группой симметрии. Теперь легко обобщить понятие симметрии. Пусть мы имеем некоторое множество объектов, обозначаемое буквой Ь (например, множество точек плоскости).

Пусть у — какая-либо операция над влементами множества Ь (например, поворот плоскости, если Ь вЂ” совокупность точек плоскости) . Прежде чем идти дальше, рассмот- Рис, 5. Бесконечная шахматная рим более подробно по- доска пятне воперация». Начнем с примеров. Допустим, что Ь вЂ” это множество всех полиномов ()„(х) степени не выше и. Сопоставим каждому полиному ~ (х) колином ч„(х+ 1): ~„(х)- (Э„(х+1), т. е.

определим операцию у. уМх) - а(х+ 1). В силу этого определения ' у(ал+ 1) (х+ 1)'+ 1 = х'+ 2х+ 2, у~(х — 5) '+ х| = (х — 4) '+ х+ 1 и т. д. В этом примере операция у имеет следующее свойство: каждый полинам Ч„(х) она переводит в некоторый, вообще говоря, другой полипом. На множестве полиномов степени не выше и (и > 1) можно определить много других операций, обладающих 23 этим жв свойством. Например, Иа (а) = (.7.

(л) + 2л, ;,д"„(.) = зд„(.) + Р„(. + 1), бф„(л) — 2Д„(2я + 5) + 1, Ме (л) - — „Ра (я) в и т. д, Возьмем теперь в качестве Е другое множество: мно- жество всех смещений молекулы НГт'О,. Операцию в т; 'г на От' 02 от »7 В2 а б Рис, б. Графическое изображение операции в; е — исходное сме- щение;  — смещение после проведения операции В определим так; смещения атомов азота Х и водорода Н оставим неизменными, смещение одного из атомов кислорода 01 путем параллельного переноса отнесем к атому кислорода 02, смещение атома 02 «передадим» таким же образом атому кислорода 03, а смещение атома 03 — атому 01 (рис.

6). Существует бесконечное множество и других операций, которые можно определить на множестев всевозможных отклонений ' От молекулы НХО,. Приведем еще один пример операции: поворот всех смещений на один и тот же угол ф — 60' вокруг оси Х вЂ” Н. При такой операции изображенное на рис. 6, а исходнов отклонение молекулы переходит в отклонение, изображенное на рис. 7. Вернемся теперь к общему случаю. Опера«1ия а на мпожестве Ь переводит каждый элемент а иг этого мно-, 24 Рис.

7. Поворот всех смещений на ВО' против часовой стрелки жества в некоторый, вообще говоря, другой элемент йа иг этого же множества. Операция й задана, если для каждого элемента а из г можно вычислить (найти, указать) элемент уа. Рассмотрим теперь некоторое подмножество Х множества г'. Каждый элемент хж Х является элементом множества Б. Если д — некоторая операция на множестве Е, то ее можно применить и к любому элементу хвг Х. Элемент ух принадлежит множеству Ь, но, разумеется, вовсе не обязательно, чтобы он принадлежал и множеству Х. Поясним это на следующем примере.

Пусть Ь вЂ” множество всех точек плоскости, множество точек, заполняющих водят часть точек мвонекоторый круг И', у — какая- жества Х га пределы либо трансляция плоскости. Из этого множества рис. 8 видно, что некоторые точки множества Х под действием операции д выводятся за пределы этого множества, другие — остаются точками множества Х. Рассмотрим еще один пример. Пусть Б — совокупность всех полнномов, Х вЂ” множество всех полиномов 9(у), которые обращаются в нуль в точке у ° 1, а у — операция, определенная равенством ХО(у) - ч(у)+ у Легко видеть, что операция й выводит любой полинам ()(у) ж Х за пределы множества Х.

Особый интерес представляют собой операции й, обладающие следующим свойством; каков бы ни был элемент х из Х, элемент ух также принадлежит множеству Х. Операции д, обладающие этим свойством, называются операциями симметрии множества Х. Мы получили весьма общее определение понятия симметрии, которое в виде частпого случая содержит и понятие симметрии геометрических фигур. Проиллюстрируем понятие симметрии на примере совокупности Х полиномов ч(у), которые обращаются в нуль при у=1: ()(1)=0 ' ЯвгХ)'.

Роль множества г: будет играть, как н раньше, совокуп- ность всех полиномов Д(у). Легко видеть, что операция й, определенная на Б равенством Щ(у) а(у) Ч(у1, (2.1) где а(у) — произвольный фиксированный полипом, явля- ется окерацней симметрии множества Х. В самом деле, если обозначить Ю(у)-В(у), то иэ определения (2.1)' операции Ь следует, что В(1) а ( 1) ч'(1) . Поэтому, если Ч(1)=0 (т. е. Д~иХ), то и В(1) О, т. е, ВжХ. Мы видим, что в данном случае существует бес- конечное множество различных операций симметрии. Теперь в нескольких словах можно объяснить, что ' понимают под симметрией задачи А(Б). Напомним, что в данном случае Ь вЂ” это совокупность объектов, среди которых следует найти объекты, удовлетворяющие усло- виям А.