1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 3

Позтому мы сделаем еще только сдпо замечание и перейдем ко второму примеру. Проследим, как изменялась формулировка аадачи в процессе ее решения. Первая формулировка — чисто физическая: по подвешенному на нитке шарику ударяют молотком. Что произойдет? Вторая формулировка уточняет этот вопрос: требуется выяснить, как будет двигаться шарик. В соответствии с таким уточнением возникает упрощающее допущение — шарик мыслится абсолютно твердым..Если бы нас интересовало возникновение звука удара, зто допущение было бы неприемлемым. Следующий шаг — зто переход к чисто математической формулировке аадачи. Найти такую функцию ~р(1), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.2) и дополнительному условию (1,3).

Такой переход был бы невозможен, если бы мы не знали аакона сохранения энергии в механике или второго закона Ньютона, из которого можно вывести закон сохранения анергии. Математическая формулировка задачи является автономной — для ее решения нет необходимости анать, какая именно физическая задача породила полученную математическую задачу. Это вовсе не означает, что такое ананке является бесполезным.

Рассматриваемую задачу легче всего решить, если иметь в виду обе ее формулировки — первоначальную физическую и окончательную математическую. Так, скажем, физическая формулировка делает почти очевидным периодический характер движения. В математической формулировке зто менее очевидно, но зато она позволяет вычислить период этого движения. 3 а д а ч а 2, Рассмотрим задачу о спектре излучения водорода. Здесь путь от физической постановки вопроса к математической формулировке задачи исторически был несравненно более длинным и трудным, нежели в первом примере.

Мы проделаем только часть етого пути и не дойдем, таким обрааом, до чисто математической формулировки задачи. Возвращаясь впоследствии к этому примеру, мы покажем, что для применения методов теории групп к исследованию решений той или иной задачи вовсе не обяаательно доводить формулировку задачи до чисто мате- 13 магической. Это — очень важное свойство теории групп, так как оно позволяет пользоваться ее методами и в тех случаях, когда физические законы, необходимые для перехода от фцзической.задачи к математической, еще не известны. Именно такое положение наблюдается сейчас в теории элементарных частиц.

Вернемся к аадаче 2. Согласно квантовой механике многие физические объекты, в том числе атомы и молекулы, обладают следующим свойством. Энергия такого объекта, рассматриваемого в той системе отсчета, в которой его центр инерции покоится, не может принимать любое значение; возможные значения энергии образуют некоторый дискретный набор чисел Е,<Е,«...Е <... (1.4) (у равных объектов — разные наборы чисел), Состояние объекта, в котором его энергия Е 'равна наименьшему возможному значению Е„называется основным, все остальные состояния — возбужденными.

Для того чтобы объект перешел из основного состояния в одно из вовбужденных состояний, он должен получить извне энергию. Для перехода иэ возбужденного состояния с энергией Е., скажем, в основное состояние объект должен передать «кому-нибудь» излишек энергии (ń— Е,). Для этой цели всегда «под рукой» находится электромагнитное поле — переход Е„-Е, сопровождается излучением (возникновением) электромагнитного поля.

Частота т этого поля определяется соотношением Бора Š— Е,=ят, где Ь 1,054 10=" эрг с ( 1,054 10 " Дж с)'- — так называемая постоянная Плавка. Таким образом, благодаря соотношению Бора вопрос о возможном наборе частот света, излучаемого данным объектом (этот'набор и называется его спектром излучения), сводится к вычислению набора (1,4) его энергетических уровней. Этот последний вопрос можно свести к чисто математической задаче с помощью законов квантовой механики. Согласно этим законам существует дифференциальное уравнение (уравнение Шредингера), содержащее параметр Е. Неизвестная функция, определяемая этим уравнением, называется волновой функцнеГь Уравнение Шредвягера обладает удивительным свойством — для того чтобы 'оно имело решение, не равное тождественно нулю, параметр Е должен быть равен од- 14 ному из дискретного набора (неизвестных) значений Е„ Е„..., Е„, ...

Именно они и являются возможными значениями зпергии изучаемого объекта. Таким образом, математическая задача сводится к отысканию всех возможных волновых функций, удовлетворяющих уравнению Шредингера при заданном И значении параметра Е. Те значения Е, для которых среди найденных решенцй л существуют решения, не равные тождественно нулю, и являются возможными значениями енергии объекта (или, как говорят, образуют его знергетический спектр). Впоследствии мы вернемся к втой задаче. На этом заканчивается путь от физической форму. оГ ОЗ лировки поставленной задачи к ее математической формулировке, а вместе с ним н описание задачи 2.

Ой 3 а д а ч а 3. Рассмотрим -. механическую модель моле- Рас. 2. Механическая модель купы НХО, (рис. 2). Модель- молекулы БХО~ представляет собой пять материальных точек, соединенных друг с другом пружинами нулевой массы. В положении равновесия, изображенном на рисунке, все пружины находятся в недеформированном состоянии '(т. е. они не'сжаты .и не растянуты). При отклонении одного или нескольких атомов от их равновесных положений часть этих пружин,сжимается, часть растягивается, так что на атомы начинают действовать силы, стремящиеся вернуть атомы в положе.ние равновесия.

Под действием этих сил атомы разгоняются и по инерции проскакивают положение равневесия (либо описывают сложные траектории, не проходящие через равновесные положения). Молекула начинает совершать колебательное движение. Конфигурацию молекулы в каждый данный момент можно задать, указав смещение каждого атома от его равновесного положения. Каждое смещение принято характеризовать вектором, начало которого совпадает гб с равновесным положением атома, а конец — с самим атомом.

В дальнейшем зтот вектор будем называть радиус-вектором атома. Так как в нашем случае пять атомов, то получаем пять векторов: г„г,, г„г, и га (га, га, г, — векторы смещения атомов кислорода, га— Рве, 3. Сила Гаа составляет малый угол с прямой Д, з) атома азота, г, — атома водорода). Совокупность этих пяти векторов будем обозначать буквой г: г =(а'аа га, гаа 1'о га) и называть смещением молекулы.

При движении молекулы все радиус-векторы г„вообще говоря, изменяются. Это записывается так: га г,(Е) (такая запись констатирует факт зависимости радиус- вектора г, от времени 1, но не содержит указаний иа характер втой зависимости). Вопрос, который мы хотим сформулировать, относится к движению молекулы. Своеобразие етого вопроса состоит в том, что его можно задать только после замены точной постановки задачи приближенной. Речь идет о следующем. Сила Гж действующая на атом с номером 1,со стороны атома с номером й, направлена по прямой, соединяющей зти два атома, значение этой силы пропорционально иаменению Аа,а расстояния а» между этими атомами (рис. 3).

Обоаначая козффицнент пропорциональности через саа„ можно написать Р,а а,аИ,аа Ограничимся рассмотрением только тех движений молекулы, при которых смещения атомов во много (в тысячи или десятки тысяч) раз меньше расстояний монаду атомами. В этих случаях направление силы Рв очень мало отличается от направления, задаваемого прямой, 1е соединяющей равновесные положения атомов. Это оправдывает первое упрощающее допущение: сила Р«ь действующая на атом с номером у со стороны атома с номером Й, параллельна прямой Цй), соединяющей равновесные направления этих атомов. Из тех «ке соображений вытекает и второе упрощающее допущение: расстояние между смещенными атомами > н й равно расстоянию между их проекциями на прямую (уй) (эти проекции на рис.

3 помечены буквами )' и й'). Оказывается, что этн предположения очень упрощают решение задачи о колебрниях молекулы и позволяют сделать ряд выводов качественного характера, важнейший нз них — это существование главных колебаний. Главное колебание — это простейший вид движения колеблющейся системы.

Ово характеризуется тем, что смещение каждого атома изменяется с течением времени только по величине, направление же смещения не изменяется (еслн не отличать друг от друга два диаметрально противоположных направления); кроме того, все отношсния длин смещений также ве изменяются с течением времени. В теории малых колебаний установлено, что смещения атомов при главном колебании зависят от времени следующим образом: г«=а,соа(б««+а) (!=«, 2, ..., к) (в нашем случае п — число атомов в молекуле — равно пяти).

ч>аза колебания совершенно произвольна; наоборот, частота а« строго определена: существует набор Ж Зп — б частот (1.5) каждой из которых соответствует свое главное колебание. Эти частоты называются собствснньти частотолщ системы. Главных колебаний с другими частотами не существует. Разумеется, что у разных колеблющихся систем наборы частот («.5), вообще говоря, различны. В дальнейшем мы ограничимся только теми главными колебаниями, у которых Фаза и О. Это позволит вам сделать следующее важное для дальнейшего утверждение. Если несколько главных колебаний, т~«> = (г«~««)«";«ты> (г«~'«)«э „,, „ти> 2 г. я, люб««рскяа имеют одну н ту лсе частоту ом г; а, еозыг О 1,2„..., и; р 1,2...„г)„ !у! (р! (1.6) то движение молекулы, описываемое формулами г! ° ~ Сргэг~ (1,7) р-1 (где ф— произвольные постоянные коэффициенты), совместимо с законами механики, т.

е. осуществимо, и представляет собой елаеное колебание с той же частотой ы. Вторая половина этого утверждения вытекает непосредственно вэ соотношений (1.6) и (1.7) и суженного определения главных колебаний. Первая половина его докаэываетея в теории малых колебаний, и мы примем ее на веру. Очень важным в теории малых колебаний является понятие кратности собственной частоты. Оно необходимо и для ваших целей. Поэтому приведем построение, позволяющее дать строгое определение .атого понятия. Пусть зэ,— одна иэ собственных частот системы, способной совершать малые колебания.

Обозначим через В совокупность всех главных колебаний, имеющих эту частоту. Выберем. произвольно одно из этих колебаний я обоаначим его через г'". Если все остальные главные колебания иа В пропорциональны ги>: г Сггп то будем называть частоту оэ! простой частотой и говорнть, что ее кратность равна единице. В противоположном случае выберем произвольно главное колебание г'", непредставимое этой формулой, и рассмотрим совокупность всех главных колебаний вида г С,г" > + С,г'", (1.8) где С, и С,— произвольные коаффициенты. Если совокупность (1.8) совпадает е множеством В, то будем говорить, что кратность частоты оэ, равна двум.

В противоположном случае выберем произвольно третье главное колебание гич из тех, которые непредставимы в виде суммы (1.8), и присоединим его к главным колебаниям ггп и ги'. Этот процесс закончится тогда, когда поетроенные с его помощью главные колебания гсо гсо „. г'ю ° ! '! будут обладать следующим свойством.