1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 10

а„ и называть матрицей операции а. Заметим, что числа, входящие в первое из равенств (8.1), заполняют первый столбец матрицы, числа из второго равенства располагаются во втором столбце и т. д. Запомним, что о„— это ~-я координата вектора ае„. Нам осталось научиться перемножать матрицы так, чтобы произведению операций соответствовало произведение матриц. Пусть а и р — две линейные операции, а а„н ие ((, й $, 2, ..., е) — их матрицы.

Вычислим матрицу произведения операций од. Имеем, с одной стороны, аде, о(р!!е1+ рме, + ... + р,!е,) $ 4 ! Э вЂ” ~ )«А!ае» ~ (»А! ~ о «е — ~ е ~ о «р»!1 » 1 А 1 !»=! ч$1 «1 С другой стороны, ло определению (ар)е; = ~ (ар),е,„. !» 1 Сравнивая два последних равенства, находим выражение для матричного'элемента матрицы о(А: 3 (о)А) ! ~ а,др«р «-1 Заметим, что в этой формуле фигурируют только элементы и1-й строки матрицы а и элементы !иго столбца матрицы «1.

Достоинством введенного матричного описания линей- ных операций в конечномерных пространствах является его универсальность, $9. Группы Начнем с операций симметрии задачи о колебаниях молекулы Н!ч01. Совокупность этнх операций (числом шесть) обладает целым рядом свойств, которые были использованы при исследовании койебанйй молекулы, О ли- мб нейности этих операций мы уже говорили, Не менее важным свойством этих операций является то, что их можно перемножать. Для построения общей схемы нам необходимо сформулировать в общей форме свойства, которыми должна обладать совокупность 6 операций симметрик рассматриваемой задачи. Будем исходить из некоторой совокупности 6' операций симметрии задачи А(Ь).

Произведем над ней следующие действня. Удалим все операции симметрии, не имеющие обратных операций, Удалим все операции, у которых обратные операции не являются операциями симметрии. Присоединим тождественное преобразование е. Рассмотрим все возможные произведения уЬ оставшихся элементов симметрии. Легко видеть, что каждое такое произведение является операцией симметрии, имеет обратную операцию Ь 'у ', причем она в свою очередь представляет собой операцию симметрии.

Присоединим все получившиеся таким образом новые операции симметрии к первоначальным. Этот процесс расширения множества 6' можно продолжать до тех пор, пока он будет приводить к появлению новых операций симметрии. В результате мы получим набор С линейных операций симметрии,'который обладает следующими свойствами: 4) совокупность 6 содержит вместе с каждой операцией Ь обратную ей операцию Ь ', 2) совокупность С содержит вместе с каждой парой операций у, Ь их произведение уЬ.

Любую совокупность операций в пространстве А, удовлетворяющую етим двум условиям, будем называть группой операций. В дальнейшем мы будем предполагать, что нам известна некоторая группа 6 в пространстве Ь, каждый элемент которой является линейной операцией симметрии задачи А(Б). Группу- 6 будем называть еруппой симметрии задачи А(Е). Умножение операций (не обяаательно линейных илп операций симметрии) обладает сочетательным свойством. Коли а, и и ч — любые три операции, заданные на некотором множестве М, то с нх помощью возможно; в частностк, составить операции гз ар и р рч. Сочетательное свойство умножения операций выражается равенством ич а(г, т.

в. (ор1ч а(ич), (9А) Это свойство умножения непосредственно вытекает ив его определения, В самом деле, если хж.я — произвольный элемент множества я, то (сгт) х ° а(тх) (ои) (тх) (о(и (тх) ) ), (ор)х о(рх) о((рт)х) о(р(тх)). Равенство (9.1) доказано. Тождественное преобразование е обладает следующим очевидным свойством: еу уг у (у гв б), какова бы нн была операция у иа группы С.

В свяэи е этим тождественную операцию наэывают единицей грув. пы С. Введем еще одно полезное понятие. Если некоторое подмножество б, операцвй нз группы 6 само по себе образует группу, то эта последняя называется подгруппой еруппы 6.. Подводя итоги, скажем, что в атом параграфе мы поэнакомвлись с новым абстрактным понятием — группой опврацвй. Легко проверить, что в рассуждениях Ц 4 н 5 не использовалось никаких нных свойств операций симметрии, кроме тех, которые оговорены в определении группы симметрии. э 10. Абстрактная еадача и представления групп Пусть А(Е,) — некоторая линейная задача, Х вЂ” совокупность ее решений, С вЂ” какая-либо группа свмметрии этой эадачи.

Так как любая операция симметрии уж 6 переводит любое решение хжХ в некоторое решение ужХ, то ее при желании можно рассматривать как-некоторую операцию Т,(у), заданную только на подпространстве Х. Точнее, операция у на пространстве Б поролсдает операцию Т,(у) на подпространстге решений Х, Операция Те(у) определяется формулой Т,(у)х =ух.

(10.1) Подчеркнем, что операции у и Тг(у) — разные операции, поскольку они авданы в разных пространствах, соответственно в пространствах Б и Х. Из определения (10.1) вытекают два свойства операций Т,(у). Во-первых, полагая в (10.1) у е (е — тождественная операция: гх х), получим Т,(г)у х, т. е, Т,(е)=Е, где Š— тождественная операция в пространстве Х. Вовторых, если д, и й,— два проиавольных элемента группы о;то Т, (дУ,) х й,бгх б1 Т(йг) х Т(й) Т(йг) х (х ег Х). Таким образом, имеют место следующие соотношения: Т,(е)-Е, Т.(д )Т.(бг) Т,(й1дг)'. (102) Забудем временно о том, что операторы Т,(й) (бег 6) ваданы равенствами (10А). Сосредоточим свое внимание на двух свойствах (10.2) семейства этих операторов, Именно аналие следствий, вытекающих иг этих свойств, и составляет основное содержание прикладной теории групп.

В центре нашего внимания будет следующая ситуация. ! Каждому элементу группы дю 0 сопоставим некоторый оператор Т(д). Все эти операторы действуют в одном и том же пространстве У н подчиняются условиям Т(е)' Е, Т(б,) Т(дг) Т(й,дг)', (10.3) где Š— единичный оператор в пространстве У, а я, и й, — любая пара элементов группы 6. Условимся говорить в этом случае, что соответствие б Т(д) (д'- =а) есть представление Т группы б, а операторы Т(д) являются операторами этого представления.

Размерность г пространства У, в котором действуют операторы представления Т, нааывается рагмерностью этого представления. Иэ соотношений (10.2) видно, что операторы Т,(б), определенные равенствами (10.1), обрагуют некотаров представление еруппы симметрии С еадачи А(Б).- В следующем параграфе выясняется структура множества (Т) всевоаможных представлений Т данной группы. Эта структура окаэывается неожиданно простой, что и объясняет успех прнменения теории групп к исследованию аадач, имеющих группу симметрии.

У каждой группы есть тривиальное представление, в котором всем элементам группы поставлен в соответствие один и тот же оператор, а именно единичный оператор Т(б) — Е (б а). Это представление называется единичным, если пространство Ь, в котором определены его операторы, одномерно. Обратим внимание читателя на следующее обстоятельство, имеющее принципиальное аначение. Формулировка свойств (10.3) не содержит упоминания об условиях А задачи А(Ц.

Имея список элементов усе 6 и правило вычисления проиеведения уй для любой пары операций у и й, т. е. таблицу умножения, можно проверить, удовлетворяет ли заданный набор ойераторов Т(у) условиям (10.3). Благодаря этому возникает первая основная задача прикладной теории групп:найти есе предстаеления группы б, гнал ее таблицу умножении.

Это— чвсто алгебраическая еадача. Для наиболее часто встречающихся групп эта еадача давно решена. Получены соответствующие таблицы и правила, как ими пользоваться. В основе етвх правил, лежит аналие структуры совокупности представлений данной группы. $ 11. Структура совокупности всех представлений данной группы У каждой группы имеется бесконечное множество различных представлений. Однако совокупность всех представлений группы имеет сравнительно простую структуру.

Для описания этой структуры нам понадобятся две операции." переход от данного представления к гкеиеалентному представлению и сложение представлений. Можно выделить некоторое минимальное множество представлений (т) таким абрагом, чтобы любое другое представление можно было получить, применяя указанные две операции к представлениям ие множества (т). Если группа б содержит конечное число элементов, то и множество (т) является конечным, Приступим к описанию указанных операций.

Пусть Т, — ' представление группы 6, определенное в некотором и-мерном линейном прострайстве То. Пусть Тп — какое-либо линейное и-мерное пространство (случай Ь, Е, не исключается). Воеьмем какой-либо линейный оператор В, переводящий элементы пространства Ь, в влементы пространства Ь,. Потребуем только, чтобы оператор В имел обратный оператор В '. Оператор В ' определен на элементах пространства Т; и переводит их в влементы пространства Е,. При этом В ' — единичный оператор в пространстве Ео а ВВ ' — единичный оператор в пространстве л.г. 69 Сопоставим.