1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика)

ББК 22.31 Л93 УДК 5)2.54Ю23) Любарский Г. Я. Теория групп п фпзпкв.— Иц На „ Гл. ред. фпз.-мат. Зпт., 7ЗЗВ (Пробл. пауки в техн. прогресса). 224 с, Редекз'епты! академик С. Н. Новиков, доктор фвзпко-математических наук М. Н. Каганов Григорий Яковлевич Лмбарсиий ТПОРИЯ ГРУПП И ФИЗИКА Редактор 1'. М. Карасева Художественный редактор Т. Я, Кол«чвиис Твтлаческвй Редакгор Л. В,Ливачвва Корректор И, Я. Крижталч ИВ Ра ШЫЗ Сдано в набор 12.01лв подписано к печатя 27.06.88.

т-!8822. Формат 84х108122. Бумага ткп. 28 8. Гарнитура обыкновенная. печать высекая уел, печ. л. Н,70. уел. яр,-отг. 12,!В. уч.-вед, л. 11,65. тираж 12600 вна. Закав Ы 10. 1!сна 70 коп. Ордена Трудового Красного высмеяв вздательство «Наука» Главная редакция $неико-ьгатематическсй литературы 117071 москва В-71, ленинский проспент, 15 4-я твпомапвя ввдательства «Наука«.

620077 г, Новосвбир«К 77, Станиславского, 25 Издательство «Науна». © Главная редвкцкя Звонко-математвчесной Лятературы, 1060 Л 5704020000-720 ь27 Зб дбЗ~ОЗ)-Зб Предназначена для первопачальвого зкакомствв с теорией групп. в методвкой ее использования в приложениях. Наряду с чисто методической задачей — доступво пвложвть вадачв я методы теория групп — в кпвге решается еще одна важная задача — обрисовать Роль теоРии гРУпп в Развития физики п вынспвтгч какие возможяостп заложены в пеп для пспользоваквя в будущвх фпвпческпх нсследоваппях.

Включены необходимые сведеввя па линейной алгебры в квантовой мехапикв. Для паучвых сотрудников, впжеперогь преподавателей в студептов. Учеввков старших классов книга может позпакомвть с пекоторымв характерпымв чертвмв современной 'математпкп. ' Таба 3. Ил. ЗО. Бвблвогр. 76 пазк ОГЛАВЛЕНИЕ й 9 11 11 ' 21 Г л а в а 2. Иепольвоваяве евмметрив аадачв без помощв теорви групп $3. Два свойства операций симметрии молекулы ЙНОг $4.

Как использовать скмметрпю задачи? $5. Исследование главвых колебавпй с кратнымв частотами 41 Глава 3. Общая схема прпмевеввл теории групп в вееледовапвю аадач е группой евмметрвк. Две осковиые вадачв првкладпой теория групп 6. Об абстрактных понятиях $ 7. Ливейвые прострекотав $ 8.

Линейные операцвк 9 9. Группы $10. Абстрактная аадача и представления групп $ П. Структура совокупности всех представлений давкой группы $12. Вторая освоввая еадача прикладной теорвв групп $13. Структура совокупности решеккй Х аадачв А(Ь) 47 43 50 53 55 57 59 Г л а в а 4. Задачи, имеющие группой евмметрвв группу вращений $14. Группа вращеввй 6 15. Первая освовяая еадача — вепрпводикые представлеввя группы вращений $16.

Два примера решения второй основной еадачп .6. 17. Провеведекпе вепрвводкмых представлеввй ф19 Тенеорпые представлеквя Х9. Классвфккацпя физвческвх полей, освовапкая яа представлениях группы вращений $20. Свмметрвя свстемы ураюгенкй фкэвческого поля 69 70 74 80 84 86 93 Предксловве В ее девке. Чем завкмается прикладная теории группу Глава 1. Свмметрия ющачв.

$1. Что мы будем понимать под словом «задачаь7 9 2. Симметрия задачи 97 97 110 7. Законы сохранения и квантовые числя . . . 133 37. Заковы сохранения в квантовой пеханике , 133 38. Оператор проекции импульса , . . . 137 $39. Операторы проекций момента и кведрата момента . . .

. . . , . . . 141 9 40. Квантовые числа систем, обладающих сферической симметрией...... 146 $41. Теория возмущений н симметрия... 151 9 42. Спян электрона . . . . . . . . 153 $43. Атом в магнитном поле . . . , . . 154 $44. Гипотетический случай . . .

, . . 168 Глава Гявна 5. Поля в квантовой филине $21. Что такое накрывающая группа7 % 22. Преобразования квантовомехзнических полей при вращениях системы координат $23. Преобразования квантовомеханических полей как представления накрывающей группы й $24. Неприводвмыс представления накрывающей группы $25. Классификация квантовомеханическвх по- лей Гл а в а 6. О квантовой механике $26, Первая особенность квантовой механики $27.

Вторая особенность — волновой хзрактер квантовых систем $28. Точечный и непрерывный спектры $29. Волновая функция $30. Измерение положения частицы % 31. Норма и скалярное произведение волновых функций $32. Уравнение Шредингера 1 33. Стационарные состояния квантовых систем $34. Квантовые числа $35. Теория возмущений 9 36.

Невзвимодействующие квантовые системы Гл а за 8. Теория представлений конечных груцп $45. Теорема унитарности представлений и первые следствия $46. Дальнейшие следствия ва теоремы унитарности. Операторы проектировании и соотношения ортогональности $47. Лемма Шуре . . . . . ° $48. Решение второй основной задачи' 3 49.

Анализ приводимого представления $50. Теорема полноты и коэффициенты Фурье $51. Пример. Анализ смещеннй механической системы $52. Комплексно.сопрюкенные представления % 53. Доказательство теоремы унитарности 102 104 108 110 112 113 114 117 120 122 124 126 128 131 166 168 173 177 179 181 183 195 197 Г л а в а 9. а1алые колебания симметричных механических систем,,,.......

200 1 54. Некоторые сведения на механики... 200 1 55. Симметрические координаты..., . 204 . Потенциальная енергия в симметрических . координатах . „ . . . . . . , 207 1 9 57".Потенциальная внергия в вещественных координатах...,...,, . 209 $ . Кратности собственных частот и формы главных колебаний,,...:, 211 $59. Пример исследования малых колебаний . 214 Заключение. 'Геория групп и фнаика..... 219 Список рекомендуемой литературы....,,, 224 ПРЕДИСЛОВИЕ Около тридцати лет тому назад автор написал квигу «Теория групп и ее применение в физике». В числе недостатков этой книги имеются два, которые она разделяет, по-видимому, со всеми руководствами по приложениям теории групп.

Это, во-первых, игворировавие принципа «прежде чем изучать что-нибудь, надо понимать, почему это вужво изучать» и, во-вторых,— недостаточное внимание, уделяемое методике примевения теории групп. Изложение этой методики, по сути дела, ве дополняется, а заменяется в книге набором впечатляющих примеров. В самом деле, все известные автору книги, посвященяые приложениям теории групп, начинаются с изложения ее основвых повятий и теорем. Для болыпивстза читателей это серьезный психологический (и ве только психологический) барьер, так как пеобходимость и естествеввость этих понятий и теорем -выясняется только после перехода к приложениям. На первый взгляд такой порядок изложевия представляется веизбежвым, в действительности, одвако, это не так.

Оказывается возможным свачала объяснить, какая цель стоит перед прикладной теорией групп, а затем показать, как ва пути к этой цели естественво возникают основные понятия теории групп и вопросы, па которые отвечают ее теоремы. Поясним, почему вам кажется, что методике примеиения теории групп ве уделяется должного внимания. Рассмотрим привычпую схему примвневия той или иной математической дисциплины к решению физических задач. Законы физики сводят такие задачи к чисто математическим, эти последние решаются соответствующими математическими методами, результаты решения получают физическое истолковавие.

В изложении примеров применения теории групп, как правило, отсутствует четкое разделевие на эти три этапа. Более того, трудно найти ответ на вопрос, какие возиикающие в физике чисто математические задачи умеет решать теория групп. Между тем, можно указать две такие аадачи и проследить ва примерах, что теория групп привлекается для решения имевво этих двух задач. 6 В предлагаемой книге, предназначенной для первоначального знакомства с теорией групп и методикой ее применения, автор постарался преодолеть указанные дза недостатка. Однако этим не исчерпываются задачи, которые автор ставил перед собой. Наряду с чисто методической задачей — по возможности доступно изложить методы и задачи теории групп— в предлагаемой книге делается попытка показать, какую роль сыграла теория групп з развитии физики и какие возможности заложены в ней для использования и предстоящих физических исследованиях.

Применения теории групп можно кЛассифицировать либо по виду решаемых с ее помощью математических задач, яибо по их физическому содержанию. Автор постарался показать, что по первому признаку все применения почти однотипны, а по второму — разнообразны. Первое обстоятельство облегчает изучение прикладной теории групп, а второе — делает наглядным пользу ее изучения.

Приводимые в книге примеры важны позтому не столько сами по себе, сколько как иллюстрации, демонстрйрующие однотипность механизма использования теории групп и разнообразие ее . ' физических приложений. Поэтому автор не пытался собрать как можно больше конкретных примеров применения теории групп н постарался поменьше касаться воп'росов, необходимых для построения теории групп, но не обяаательных с точки зрения ее приложений. Одной из основных потребительниц методов теории групп является квантовая механика. Для читателя, не знакомого с атой наукой, приводится краткое описание основных ее принципов. Это позволяет рассматривать квантовомехзнические приложения теории групп.

Подобным же образом в книгу включены необходимые сведения из линейной алгебры, без которых изложение теории групп невозможно. Читатель, не имеющий физико-математического образования в объеме университетских курсов, познакомится в процессе работы над атой книгой с рядом новых для него математических идей и воплощающих их понятий в естественной обстановке тех задач, 'которые выедали к жизни зги идеи и понятия. На примере теории групп автор попытался показать, что абстрактные понятия и рассуждения возникают как инструмент для решения совершенно конкретных задач и в то же время являются результатом глубокого проникновения в суть дела, результатом творческого труда ученых.