1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (828610), страница 2
Текст из файла (страница 2)
7 Цель первой главы — на примерах и с помощью определений познакомить читателя с первыми тремя фундаментальными понятиями прикладной теории групп — понятиями «задача», «симметрия» и «симметрия задачи». Во второй главе рассматривается (пока без применения теории групп) сравнительно простой пример задачи, обладающей некоторой симметрией. Показывается, как можно использовать эту симметрию при решении задачи.
На этом пути возникают две специфические математические задачи, которые, собственно, и являются основными задачами прикладной теории групп. Вторая глава подводит читателя к формулировке на интуитивном уровне двух основных задач прикладной теории групп и к пониманию роли, которую играют эти задачи в приложениях. Третья глава — это путь от интуитивной к аксиоматической постановке указанных двух задач теории групп и выработка основной схемы использования теории групп в приложениях.
В четвертой главе демонстрируется применение этой схемы на примере задач, обладающих сферической симметрией. В пятой главе разъясняется, что такое накрывающая группа группы вращений и почему она играет важную роль в квантовой физике. В шестой главе сообщается необходимый для понимания дальнейшего минимум сведений о квантовой механике. Седьмая глава посвящена применениям теории групп в квантовой механике. В восьмой главе излагается классическая теория представлений конечных групп. В последней, девятой главе ряд положений атой теории применяется для решения задач о малых колебаниях механических систем. Для чтения основного материала книги достаточно знания математики и физики в объеме средней школы. Восьмая глава написана для читателя, знающего линейную алгебру (университетский курс). Остальные читатели могут использовать эту главу для справок.
Автор пользуется возмолсностью выразить глубокую благодарность двум людям, которые много лет тому нааад ввели его в мир теоретической физики и функционального анализа — Александру Ильичу Ахиезеру и Марку Григорьевичу Крейну. Впедепие ЧЕИ ЗАНИМАЕТСЯ ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП? Обычно развитие математической теории и расширение круга ее приложений образуют два взаимодействующих процесса: возникновение новых задач стимулирует развитие теории, а развитие теории, естественно, расширяет круг поддающихся решению задач.
Совсем не так обстояло дело с теорией групп. Ее возникновенйе, правда, было связано с исследованием корней алгебраических уравнений, а знаменитая .теорема Галуа о неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений была впечатляющим достижением атой теории на заре ее существования. Однако дальнейшее развитие теории групп долгое время диктовалось только ее внутренней логикой. Теория групп успела сформироваться в логически завершенную науку задолго до того, как появились новые ее приложения, В течение длительного периода, около тридцати лет, существовала готовая к применению теория, и никто не подозревал о ее скрытых воаможностях. Теория групп считалась классическим примером математической теории, достижения которой ничего не сулят другим наукам.
Положение существенно изменилось в перйод бурного развития квантовой механики. Обнаружилось, что теория групп является чрезвычайно полезным инструментом прн исследовании поведения электронов в атоме и атомов в молекуле. Это дало толчок к дальнейшему развитию теории групп — начиная с тридцатых годов нашего века и по настоящее время идет непрерывный процесс обогащения теории групп, заметно расширилась область ее приложений. Время, когда известное своеобразие теории групп отпугивало исследователей, осталось позади, и вопрос: «что легче — выучить теорию групп или научиться обходиться без неера решен в пользу теории групп.
Когда применение теории групп может принести пользу исследователю? Па этот вопрос можно ответить так: когда предмет исследования имеет ту или иную симметрию. 9 Теория групп позволяет находить важные следствия, вытекающие иа симметрии объекта исследования. Однако для этого вовсе не требуются все теоремы, накопленные теорией групп, и все понятия, ею созданные, Целесооб-. разно обособить ту часть теории групп, которая нужна при исследовании задач, обладающих симметрией.
Зту часть теории условимся называть прикладной теорией групп, включая в это понятие не только соответствующие теоремы теории групп, но и методы нх применения. Можно сказать, что прикладная теория групп — это наука об общих свойствах задач, обладающих симметрией. Какие же задачи обладают симметриеН Изучение акустических нли электромагнитных воли в цилиндрических волноводах — это аадвчи с симметрией. Очень важным примером симметрии, созданной самой природой, является симметрия кристаллов. Физика кристаллов — постоянная епотребительннца» методов теории групп: Еще один класс важных примеров — атомы в молекуле н электроны в атоме.
Фундаментальную роль в физике играет симметрия пространства и времени. Ее проявления многообразны. В наиболее общей форме она выражается в том, что все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны. Из этого вытекает, что и все физические законы имеют одну и ту же форму во всех инерциальных системах отсчета, Возьмем, например, законы, управляющие электромагнитным полем,— знаменитые уравнения Максвелла. При переходе нз одной инерциальной системы отсчета в другузо они не изменяют своей формы.
Точнее, каждое отдельно взятое уравнение Максвелла при таком переходе изменяет свой вид, однако вся совокупность уравнений Максвелла после нескольких тождественных преобразований возвращается к первоначальному виду. Иными словами, каждый переход от одной инерцнальной системы отсчета к другой чалой же системе является операцией симметрии для уравнений Максвелла. Это — одно из частных проявлений общих свойств симметрии пространства и времени. Остается ответить на вопрос, какую пользу можно извлечь, применяя методы теории групп при исследовании задач, обладающих симметрией.
Ответ на этот вопрос будет дан в Заключении, которое подведет краткий итог совместной работы читателя и автора. Глава 1 СИММЕТРИЯ ЗАДАЧИ Цель втой главы — очертить круг аадач, которыми аавимается прикладная теория групп. Основным свойством этих аадач является их симметрия. Если понятна симметрия применительно к геометрическим фигурам интуитивно ясно, то совсем по-другоку обстоит дело с понятном симметрия еодачи. В $1 уточняется понятие аадачи, в а 2 объясняется, что следует понимать под ее симметрией. Введенные в этой главе понятии испольауются в дальнейшем во всей книга.
$ $. Что мы будем понимать под словом «эадачаэг Для начала рассмотрим несколько примеров вадач. Задача 1. Пусть на нити подвешен металлический шарик малого радиуса (рнс. 1). По нему ударяют молотком. Что проиэойдетг Шарик начнет колебаться, как маятник, н, кроме того, мы услышим анук удара, который быстро аатихнет, Если нас интересует . только движение шарика иак маятника, мы можем считать его абсолютно твердым (т. е. недеформяруемым) и воспольэоваться эаконами механики. l Закон сохранения энергии позволит нам выраэнть скорость и центра ша-.
у рика в зависимости от высоты Й его,4 подъема: ми о'ее а а тпоь . (й е) 2 2 Рис. 1. Что про- иаойдст? если учесть, что на максимальной высоте скорость и равна нулю, Для определения зависимости угла у от 11 где и, —,приобретенная шариком начальная скорость, ла — его масса, ив ускорение силы тяжести. Иэ этого соотношения легко определить максимальную высоту подъема центра шарика: йшех = оо/йут времени г нужно иметь в виду соотно>пение Иф и> где 1 — расстояние от точки подвеса до центра шарика, и чисто геометрическое соотношение Ъ = 1(1 — соз>р).
Подставляя зги соотношения в формулу (1 1), получим Р ( — ) — »', = — б( (1 — соз >р). l »<р'Р ~з>) (1.2) Таким образом, задача исследования и расчета движения маятника свелась к задаче отыскания неизвестной функции >р(~) при помощи следующего ее свойства: подстановка в соотношение (1.2) функции >у =>р(1) превращает его в тонгдество. Соотношение (1.2), если его привлекают для отыскания неизвестной функции о>(1), принято называть уравнением.
В отличие от обычных алгебраических уравнений, неизвестным здесь является не число, а функция, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее производная. Иными словами, в число операций, производимых над функцией >р(>) при образовании левой части уравнения, входит и операция дифференцирования, Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Отметим одно важное свойство дифференциальных уравнений.
Как правило, они имеют бесконечное множество решений. На первый взгляд зто является парадоксальным. Ведь маятник движется после удара молотка совершенно определенным образом. Парадокс разрешается просто, если заметить,.что в момент времени 1 когда был нанесен удар, .нить маятника занимала вертикальное положение, а угол >р был равен нулю.
Это означает, что искомая функция >р(>), помимо уравнения (1.2), удовлетворяет еще дополнительному условию с> (1~) = О. (1.3) Это условие называется начальным условием. Оно позволяет из бесконечного множества решений уравнения (1.2) выделить то единственное, которое описывает реальное движение маятника. Решение уравнения (1.2) с учетом начального условия (1.3) дает количественную картину движепия маятника. Помимо количественной стороны имеется еще и качественная; объяснить периодический характер движе- 12 ния маятника, установить, что период етого движения растет вместе с ростом вачальнсй скорое;и и,. Этот пример мы привели не. для того, чтобы показать, как решаются задачи. Цель примера — показать, что такое аадача и что такое ее количественное и качественное исследование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
