1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 5

Каждый объект а<и Ь, удовлетворяющий усло- виям А, называется решением задачи А (Ь). Совокупность всех решений представляет собой искомое множество Х. Под операцией симметрии задачи А(Ь) будем под- разумевать любую операцию симметрии множества ее решений Х. У читателя может воаннкнуть следующий вопрос. Если нам неизвестны решения задачи А(г'), т. е. неиз- вестно множество Х, то как мы можем определить опе- рации симметрии этого множества; если же оно нам из- вестно, то зачем нужно анать симметрию задачи? Ответ на этот вопрос состоит в том, что аачастую для определения симметрии множества всех решений задачи А(Л) можно не знать состава этого множества, а вполне достаточно знать, что все элементы этого множества, и только они, удовлетворяют условиям А. Иными слова- мн, очень чаото легче найти все операции симметрии множества решений некоторой задачи, чем найти само зто множество.

Именно зто обстоятельство и является принципиаль- ной основой применения теории групп и исследованию решений задач. Покажем на примерах приведенных ранее задач, кан находить операции симметрии. Обратимся к задаче 1 (о маятнике), Искомой вегшчинйй в этой задаче является 26 функция ~р(г), позволяющая вычислить значение угла ~р в любой момент времени г. Эта функция удовлетворяет двум условиям: дифференциальному уравнению (1.2): 1'<р (г) — ие = — э((1 — соз'р(г)), г,(~г(со, 'р (г) и ° ыч и начальному условию ~р(г ) ' О. В дальнейшем для простоты положим Г, = О. Введем в рассмотрение функцию ф(г)= — ~р(г).

Легко видеть, что ее производная отличается от производной функции ~р(8) только знаком, а значения косинусов у обеих функций равны. Поэтому, если функция ~р(8) удовлетворяет нашему уравнению, то это же можно сказать и о функции $(г)= — ~р(г). То же самое относится и к начальному условию ~р(0) = — ~р(0) = О. Можно убедиться в том, что и функция ф,(г) ° щ(-1) является решением задачи 1 вместе с функцией ~р(г). Мы видим, что операции К.7'(Г)- — 1(Г) и й)(Г) =!( — 1) являются операциями симметрии зада ти о маятнике, Мы нашли их, ничего не зная о решениях задачи П Обратимся теперь к задаче 2 о главных колебаниях молекулы НХО,. Рассмотрим те преобразования пространства, которые не изменяют расстояния между точками и сохраняют форму и расположение равновесной конфигурации втой молекулы. Всего таких преобразований можно указать шесть, включая и тривиальное тождественное преобразование, оставляющее на месте каждую точку пространства.

Остальные пять преобразований — это, поворот С, на 120' вокруг оси Х вЂ” Н, поворот Сз зна 240' вокруг той же оси и отражения о„ о, и о, в плоскостях, проходящих через ось Х вЂ” Н и через равновесные положения атомов 01„02 и 03 соответственно. Заметим, что при всех' этих преобразованиях атомы Х и Н остаются на месте, а атомы 0 меняются местами. Так, при повороте С, атом 01 переходит в атом 02, атом 02 — в атом 03, атом 03 —.в атом 01.

При отражении в плоскости а~ атом 0'1 остается на месте, атомы 02 и 03 меняются местами. В отличие от равновесной, неравновесные конфигурации молекулы НХО,, вообще говоря, не переходят сами 27 в себя. Зато они переходят друг в друга, На рис. 9 показаны преобразования некоторой конфигурации под действием поворота С, и отражения в плоскости о,. В дальнейшем мы будем рассматривать операции '(2,2) как операций, определенные на множестве Б смещений ~2 02 2 0 'а и 6 Ь рг Рис. 9. Поворот С, и отраженна з плоскости ок а — исходное смс= щснис; о — то жс смещение после поворота С>', а — после отраженил а плоскости о> надцатью числамы: к» у» 3» х>> да, зм ° ° > х» у» 3» (2.3) которые мы будем называть координатами смещения молекулы.

98 молекулы. Покажем, что все они являются операциями симметрии для задачи о главных колебаниях этой молекулы. Рассуждение, показывающее, что это действительно так,— очень простое. Обозначим К систему координат, у которой ось ОЯ проходит через 2 равновесные положения атомов и ааота и водорода, а начало коор- Н динат совпадает с пересечением медиан.

треугольника с вершинами в равновесных положениях атомов кислорода (рис. 10). Если г, () = 1, .;., 5) — смеще- ние атома с номером ), то проек- О> 08 ции этого вектора на оси коор- Х динат л, у, з условимся обознаРис. 10. Система ко- "ать хь р> и г, соответственно. ординат ОХИ .Таким образом, всякое смещение молекулы характеризуется пят- Пусть я — одна из шести операций (2,2), Под действием атой операции система координат К займет новое положвпие в пространстве, которое мы обозначим К' «К. На рнс. 11 показано взаимное расположение систем К и К' при а=Се; Сее, о„о, и о,. Оси системы К' обозначены Х', У', Я', При,л=е системы К и К', очевидно, совпадают. Так как оси ОЯ и 02' во всех случаях совпадают, то на рис, 11 они не изображены.

Рис И. Перемептеиие,осей ОХ и ОУ под действием операций труппы О„. о — исходное положение; б — после отражения оп в — после отражения он г — после отражения он д — после поворота См е †" после повороте Сл Отметим следующее очевидное свойство . операций (2.2): координаты (2Л) смещения г молекулы в системе К совпадают с координатами смещения яг в системе К' = яК.

Проверим справедливость етого утверждения на примере операций С,. Для простоты рассмотрим смещение молекулы, изображенное на рис. 12, а (смещения г, и г, равны нулю). Мы видим, что-смещение молекулы С,г относительно системы координат С,К точно такое жв, как и смещение г относительно системы К. Возьмем в качестве г смещение молекулы, соответствующее некоторому главному колебанню, частоту этого 29 колебания обозначим ачю Смещение Кг в системе КК имеет те же координаты, что и смещение г в системе К.

Так как системы координат К и КК физически равноправны, то это означает, что смещению Кг в системе КК соответствует главное колебание с той же частотой юю Рвс. 12. Смещение г в системе К в смещенле С1г л сзстеме СзК: л — исходное смещение г в свстеие К = ОХУ; б — смещенле С,г е системе К; в — тс же смещение См в системе С,К (л системе С~К атомы получают новые номера л соответстллл с условием: атом 01 лежит лл осз ОХ) Такое колебание остается главным' колебанием с той же частотой ю, в любой системе координат. Следовательно, смещение Кг соответствует главному колебанию с частотой е4 и в исходной системе отсчета К. Операция К переводит главное колебание в главное колебание с той же частотой.

Иными словами, проилеольное решение задачи о глазных колебаниях под дейстеием операции К (К = Сю 4 а„о„а,) переходит опять е решение етой все задачи — операция К является ее операцией симметрии. Подведем некоторые итоги. В атой главе мы выработали достаточно общее определение понятия задачи и, пользуясь этим определением, выяснили, что полезно понимать под симметрией задачи. Далее, на примерах было показано, что по крайней мере в некоторых случаях удается довольно просто находить операции симметрии исследуемой аадачи. Глава 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ БЕЗ ПОМОЩИ ТЕОРИИ ГРУПП Приведенные в предыдущей главе примеры покааывают, что в ряде случаев гораздо легче обнаружить операции симметрии некоторой аадачи, чем найти ее решения.

Можно лн нспольаовать знание операций симметрии при отыскании или исследовании ее решенкйт Цель настоящей главы — показать на примере, что зто воаможпо, если операции симметрии обладают двумя свойствами: группоеыл сеейстеел и свойством линейности.

Впоследствии будет показано, что.зги два свойства необходимы и в .общем случае исследования произвольной задачи, нтбладающей симметрией. й 3. Два свойства операций симметрии молекулы НХОз Пусть и и Ь вЂ” две какие-либо (не обязательно различные) операции симметрии задачи 3. Зто означает, что если г — какое либо решение этой задачи, то отклонение г' "Ьг такать будет ее решением. Поэтому, если к этому новому отклонению применить операцию симметрии д, то получится спать решение задачи, гн рг'. Операция перехода от отклонения г к отклонению г" осуществляется, как легко заметить, путем последовательного применения операций и и Ь вЂ” сначала применяется операция Ь, а затем — операция й.

Зто записывается так: гп =йЬг, Мы получили некоторую, возможно новую, операцию симметрии / — последовательное применение операций Ь и и. Зта операция называется произведением операций и и Ь и обозначается символом РЬ. Поэтому можно записать у =' йЬ. Заметим, что те же операции й и Ь, примененные в другом порядке, вообще говоря, дают другую операцию симметрии: г' = Ья. Если мы нашли некоторые операции симметрии, то, составляя их произведения, можно иногда получить но- вые операции симметрии. П свою очередь их можно 3! использовать для получения новых элементов симметрии. И завершится этот процесс, когда каждое произведение окажется совпадающим с одной из ранее найденных операций симметрии.

Когда это произойдет, будем говорить, что обнаруженные элементы симметрии образуют группу. Таким образом, группа операций симметрии обладает тем свойством, что вместе с любой парой своих влементов она содержит и их произведение. В дальнейшем мы еще несколько суаим понятие группы. Легко убедиться в том, что шесть операций симметрии (2.2) образуют группу.

Для проверки этого утверждения необходимо рассмотреть всевозможные попарные произведения этих операций. Легко видеть, что двукратное последовательное отражение в одной и той же плоскости возвращает все точки пространства на их прежние места, 'т. е.

является тождественным преобразованием аг ~е, азг е, аз е, Двукратное применение поворота С, (на 120') есть поворот на 240 . Поэтому его и принято обозначать символом Сгг. Последовательное применение операций поворота на 120 и 240' дает поворот на 360, т. е. тождее ственное преобразование СгСгз СгзСг е Нам осталось рассмотреть произведение отражений в разных плоскостях, скажем отражений а, и а„и произведение поворота и отражения. Заметим, что отражение а, меняет местамн атомы 01 и 03 и оставляет на месте атом 02.