1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 39

Поиски подобных симметрий — они называются высшими симметриями — оказались очень плодотворными в теории элементарных частиц. 220 Перейдем ко второй особенности фиэических аадач. Напомним, что теория групп уделяет много внимания каноническим решениям. Она устанавливает их существование, дает их нетривиальную классификацию, предоставляет важную априорную информацию об этих решениях.

Например, в квантовомеханической задаче об электроне в центрально-симметрнчном поле эта информация содержит полное описание зависимости волновой функции электрона от углов О и ф в сферической системе координат. Априорная информация о канонических решениях существенно облегчает их вычисление. В примере с электроном уравнение в частных пронэводных примецительно к каноническим решениям сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Вторая особенность фиаическнх эадач относится, собственно, к задачам квантовой фяэики, где каждое решение уравнения Шредингера соответствует некоторому состоянию квантовомеханической системы. Особенность атнх задач состоит в том, что именно канонические решения нужны для физической интерпретации реэультатов исследования. Канонические решения описывают те состояния системы, в которых такие физические величины, как, скажем, энергия, квадрат момента и проекция момента на заданную ось, имеют определенные эна-' чения, Точнее, речь идет о фиаических величинах, которые нспольэуются для классификации канонических решений.

Важным свойством этих величин является то, что в условиях рассматриваемой эадачи они сохраняются (их средние аначения не изменяются .с течением времени). Тем самым канонические решения уравнения Шредингера оказываются свяэанными с ааконами сохранения. Третья особенность физических эадач также ограничивается областью квантовой физики. Она состоит в том, что коэффициенты разложения Ч~-с,ч~,+с.ч~,+... (ЗЛ) произвольного решения Ч" уравнения Шредингера по его каноническим решениям Ч'„Ч'„... имеют очень важный фиэический смысл. Как уже говорилось, квадраты их модулей характеризуют вероятности раэличных результатов измерения физических величин, связанных с этими каноническими решениями.

Методы теории групп поэволяюг установить в ряде случаев, какие иэ коэффициентов с, равны нулю, и найти связывающие их линейные соотношения. Наиболее удивительные результаты в этом нанравленин получаются в ситуациях, 'существование которых является четвертой особенностью физических эадач. Имеются в виду следующие ситуации. Три задачи А,-В и С обладают свойством: пронэведение ф,ф любого решения ф задачи В на любое решение Ч, задачи С является решением задачи А, причем все три эадачи имеют одну и ту же группу симметрии 6. Такая ситуация воэникает, например, когда эадачи В и С относятся к двум квантовомеханическим системам Мэ н Мю а эадача А— к их объединению, причем системы М, и Мэ либо вовсе не взаимодействуют друг с другом, либо их взаимодействие мало и учитывается только в первом приближении, либо, наконец, вто взаимодействие кратковременно и не нарушает симметрии эадачи А.

Н любой иэ этих ситуаций наиболыпнй интерес представляет случай, когда волновые функции ф н ф являются каноническими. При этом, как правило, их проиэведелие ве является каноническим решением эадачи А, и для него желательно получить раэложение по каноническим 'решениям. Особую роль играет вопрос о составе раэложения (3.1).

Он обычно формулируется так. Пусть ~-' одна из физических величин, испольэованных для классификации канонических решений. Пусть в состояниях фо ф, Ч', величина 1 принимает соответственно значения 1, 1з, йъ Спрашивается, как свяэан набор чисел Щ с числами 1, и 1Д На языке физики этот вопрос эвучит так. Какие реэультаты может дать намерение физической величины ~, произведенное над системой М, если она представляет собой объединение двух невэаимодействующих подсистем Мэ и Ма, находящихся в состояниях с эаданными эначениями величины ~3 Ответ на этот вопрос называется правилом сложения для физической величины ~.

Классическим примером такого правила «вляется правило сложения моментов. рассмотрим этот же вопрос, польэуясь понятиями и реэультатами теории групп. Каждая иэ канонических волновых функций ф и ф, связана с некоторым неприводимым представлением общей группы симметрии 6. Пусть это будут представления т, и т, соответственно. 222 Совокупность всех подобных произведений преобразуется по проиаведению стих представлений т~Хт,. Иско.мые волновые функции' Ч"~ образуют канонический ба-' зис в пространстве таких .произведений, Позтому сумма (3.1) содержит конечное число слагаемых, Слагаемые, входящие в эту сумму, соответствуют тем неприводимым представлениям т, которые входят в произведение т, Хтз.

Козффициенты с~ в втой сумме — зто обобщенные козффициенты Клебша — Горлана. Их можно вычислить 'заранее, если произведение т, Хт, не содержит более одного раза ни одного неприводимого представления. В противном случае расчет несколько усложняется, но по-прежнему в качестве первого шага следует решить вторую основную задачу прикладной теории групп— в прострайстве произведений фф найти все подпространстна однотипных функций. Упомянем еще только одну особенность физических задач, имея в виду на этот раз физику злементарных частиц.

Особенность зта состоит в отсутствии полного свода законов физики элементарных частиц. В этих условиях один из возможных путей исследования связан с' теорией групп и состоит в следующем. Поиски неизвестных авионов теории элементарных частиц рамеияются поисками группы симметрии стих законов', Теория групп поаволяет сделать ряд слвдствий иа любого предположения об втоц симметрии, а эксперимент 'определяет, имеют ли место зги следствия в действительнооти, На етом пути, в последние десятилетия дестигнуты аначительные успехи.

' Таковы йеквторыи особенности физических задач,, исследуемых методами теории груни. . В качестве иапут4твня читателю «а~втсп цать такой совет. при изучении любего койир4узййФ. цримайении пршишдвой теории групп цолезно' ММзгазт как оио сводится к решению ее второ$.всщлкгой-:ззбззуи. Это рв' может быстрее понять изучавмузу, р4фйу' СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вейнь Г. Классические группы, пх инварианты и представления./Пер.

с англ. Д. А. Райкова.— Мл ИЛ, 1947. 2. Вагнер Е. Теория группУПер. с англ. под ред. Я. А, Смородинского.— Мл ИЛ, 1961. 3. Вигнар Е. Этгсды о симметрии!Пер. с англ. под ред. Я. А. Смо- ° родинского.— Мл Мир, 1971. 4. ГаньЯанд Н. М., Минаас Р. А., Шапиро Э. Н. Представленкя группы врапгевий т1 группы Лоренца — Мл Фиаматгиа, 1958. 5. Желабенна Д. П Штерн А. В. Представления групп Ли.— Мл Йаука, 1983. ь 6. Жеаудае В. С. Симметрия и ее приложения.— Мл Атомнвдат, 1976.

7. Пбрагимоа П. Х. Группы преобразований в математической физике.— Ма Наука. 1983. 8. Кеннан В. Г. Симметрия многоэлектронных систем.— Мл Наука, 1969. 9. Любардний'Г. Н. Теория групп и ее применения в фианкеам Мл Фиаматгив, 1958, 10. Пттрашань Г. И., Три1данов Е. Д. Применения теории групп в квантовой механике. — Мл Наука, И67. 11. Райдер Д. Х. Элементарные частицы и симметрия. — Мл Наука, 1983.

12. Хамармеш М. Теория'групп и ее примеяевие к фиаическим проблемам/Пер. с аягл.— Мл Мир, 1966. 13. Хейне В. Теория групп в квантовой механике.7Пер. е англ. В. Я. Файнберга.— Мл ИЛ, 1963. 14. Эллиот Дм., Добери П. Симметрия в физике. В 2-х тАПер, с англ под ред. И. С. Желудева, Д. А. Славнова.— Мл Мир, 1983.

.