1612725601-a073f73d5522aa6dbd9536c6ed0a130e (Любарский 1986 - Теория групп и физика), страница 9

Подобные нреобрааовання используются для решения алгебраических уравнений. Третий уровень абстракции испольвуется в теории множеств. Если мы говорим, что влемент Ь принадлежит множеству У, то зто вовсе не значит, что Ь вЂ” некоторое число. На атой ступени абстракции Ь вЂ” совершенно произвольный объект, например вектор, функция, .набор 3 векторов, преобразование и т. п. В рамках теории множеств введение этой ступени абстракции оправдывается тзм, что ряд дайствий над множествами (объединение множеств, их пересечение, дополнение одного множества до другого) обладают свойствами, не зависящими от природы этих множеств..В качестве примера можно привести известное тождество (Х, й Х,— пересечение множеств Х, и Х«, -У\Х вЂ” дополне- ние множества Х до множества У).

4 г, я. лвз«р««за 49 Однако наиболее плодотворным третий уровень абстракции оказался в тех случаях, когда варяду с элементами Ь множества У рассматриваются «действия» иад кими (например, умножение операций симметрии). Здесь возникает естественный вопрос: если мы не конкретизируем природы элементов множества У, то как можво определить действия вад этими элементамиу Как правило, теория, рассматривающая абстрактные множества элементов вместе с определевными на них действиями, не иитересуется конкретным характером этих действий. Ей достаточно, чтобы эти действия обладали векоторым набором конкретных свойств.

Так, если какое- либо действие, определенное иа парах элементов множества У, взвывают сложением, то это озвачает, что это действие обладает следующими двумя свойствами: а+ Ь = Ь+а, а+(Ь+ с)-(а+ Ь)+ с (а, Ь, с ш У). Прекрасным примером, иллюстрирующим эту ступень абстракции, являются линейные пространства. Оправдание третьего уровня абстракции, по сути дела, такое же, как и у первых двух ступеней: она повволяет сформулировать иного различных задач как некоторую одну задачу я тем самым свести их решение к решению этой одной задачи.

Удивительиым является то, что решение этой одиой (абстрактиой) аадачи, как правило, находится легче, чем решение любой из сводимых к ней конкреткых задач. По-видимому, это объясняется тем, что в абстрактной формулировке не принимается во внимание иесуществекиая информация. в 7. Линейные пространства Ликейное пространство — это совокупность. элементов, которые можно складывать друг с другом и умножать на числа.

Именно такие действия можво производить со смещекиями молекулы НХО,. Разумеется, это можно делать и со смещениями других молекул. Говоря о сложении элемевтоз линейного пространства, следует помнить, что в каждом конкретном случае это действие следует определять. Так, например, сложение двух векторов определяется иавеатиым правилом параллелограмма, которое воэиикло иа ваблюдевий над такими ситуациями, как сложевие сил, приложевных к одвой и той же точке, сложение скоростей и ускорений, сложение перемещений и т. п. 50 Однако для дальиейшего важным является ие списание алгоритмов сложения и умножения в различных конкретных линейных пространствах, а свойства этих действий, общие для всех пикейных пространств. Перечислим эти свойства (здесь буквы а, Ь, с обозначают три произвольных элемента линейного пространства, А и р — произвольные числа).

1 . Переместителькый завоя: а+Ь Ь+а. 2'. Сочетателькый закон сложевия: (а+ Ь)+ с = а+(Ь+ с)'. 3'. Линейное пространство содержит нуль-элемент, т.е. такой элемент, что О+а а. 4'. Сочетательвый закон умножения: Х(ра) (Хр) а. 5'. Умножение произвольпого элемента а иа числа О и 1 дает соответственно куль-элемент пространства и тот же,4лемент а: О а О, 1 а а. 6'. Два распределительных закона: (Х+ р)а Аа+ ра, Х(а+ Ь) Ха+),Ь.

Сделаем несколько простых замечаний. Произведекие (-1)а обозначается символом -а и называется элементом, обратным а. Вместо того чтобы писать а+(-Ь), обычно пишут а — Ь. Сумма любого элемепта Ь и обратного ему, -Ь, равна нуль-элементу: Ь+(-Ь) 1 Ь+(-1) Ь (1+(-1)) Ь О.Ь О.

Обратный элемент удобно использовать для решеиия уравнений вида а+х Ь, где а и Ь вЂ” известиые злементы пространства Е, а х— неизвестный элемент. Прибавляя к обеим частям равен-ства обратиый элемент -а, получим (а+ х)- а Ь вЂ” а, 4Ф 51 Левая часть этого соотношения равна х: (а+ х) — а (х+ а) — а х+(а — а) х, Поэтому, как и в обычной алгебре, решением уравнения а+х Ь является х *Ь-а. Сделаем проверку. Видим, что а+(Ь вЂ” а) (а+(-а))+ Ь Ь, что и следовало ожидать.

Вернемся к абстрактной эадаче А(Е). Напомним, что эту задачу мы условились называть линейной, если совокупность 1 является линейным пространством и если совокупность Х<= Б решенйй этой задачи также является линейным пространством. При этом предполагается, что оба действия, сложение и умножение, определены на Х точно так же, как и иа Ь. Это соотношение между линейными пространствами Б н Х выражают словами: «Х есть надпространство пространства г,». В алгебре линейным подпространством линейного пространства Б называют всякое подмножество ву множества Б, которое само по себе образует линейное пространство с теми же действиями сложения и умножения. Для краткости будем опускать прилагательное «линейное» и говорить «подпространство», если это не может стать причиной недоразумения.

Для эакрепления понятия подпространства приведем пример, Совокупность всех полиномов Р(х) степени не выше т, удовлетворяющих условию Р(1) О, образует подпространство в пространстве всех полнномов степени не выше и (и Р» пг). В самом деле, если Р,(1) О, Р,(1)' О и (Р(х)=)«Р,(х)+ Ь«Р,(х)', то Ц(1) Ь«Р~(1)+ й»Р»(1) О. Проведем классификацию пространств. Если в пространстве Е существует и элементов е„е„..., е таких, что любой другой элемент а пространства Б можно представить в виде суммы: а=Х,е,+Ь»е,+...+Х„е„ (7.1) (при правильном подборе чисел Хо Хы ..., Х.), то пространство Е называется коне«номерным.

В противоположном случае пространство Ь называют бесконечномерным, Наименьшее число фиксированных элементов е„е„... ..., е„, с помощью которого можно осуществить представление (7.1) любого элемента конечномерного пространства, называется размерностью пространства, а сами зтч элементы образуют так называемый базис пространства Е,. Приведем пример. Пусть Ь вЂ” пространство всех полиномов степени не выше третьей. Возьмем полиномы х', х', х и 1. Ясно, что всякий полипом РжЬ можно записать в виде Р(х) - Х,х'+ Х,х'+ Х,х+ Х,.

Это значит, что Š— конечномерное пространство, а его размерность не превышает четырех, (Легко доказать, что эта размерность равна четырем, но мы не будем на этом останавливаться.) Элементы е„е„..., е. суммы (7.1), как уже говорилось, называются базисом пространства, а числа Хи Хь ..., Մ— координатами элемента а в базисе е„ен °, е (предполагается, что и — размерность пространства Ь).

Так как любое, подпространство само является пространством, то на него автоматическн переносятся понятия размерности и базиса. Бели мы вернемся к задаче о колебаниях молекулы НХОн то сразу яге ааметим, что введенное там понятие кратности собственной частоты ез, совпадает с размерностью подпространства, состоящего из всех главных колебаний с данной частотой ьз,. 'Более того, приведенное там построение привело нас к набору главных колебаний, образующих базис в этом надпространство.

$8. Линейные операции При исследовании задачи о колебаниях молекулы НХО, мы использовали линейный характер операцин симметрии. Теперь дадим абстрактное -(т. е. более общее) определение линейной операции или, как еще говорят, линейного оператора. Напомним, что операцией на некотором множестве лк называется сопоставление каждому элементу хш .к' этого множества некоторозо элемента у из этого же множества.

Операции принята обознэлать,буквамн. Коли некоторая операция и сопоставляет элементу х элемент у, то это записывается такт ох у. Говорят также, что операция о переводит элемент х в элемент у. Операция, сопоставляющая каждому элементу х втот самый элемент, называется единичной ойерацией или тождественным преобразованием.

Ояа обычно обозвачается буквой е (или Е), так что ех х. Задать операцию о — значит указать правила, позволяющие найти для каждого элемента х соответствующий ему элемент у ох. Если операция о задана на некотором линейном пространстве Ъ и удовлетворяет условию о(Ха+ рЬ) Хоа+ роЬ (а, Ь ж Ь) при любом выборе чисел Х и р и элементов а в Ь, то она называется линейной. В дальнейшем яас будут интересовать только линейные операции. Рассмотрим их более подробно Пусть Ь вЂ” конечномерное пространство, а е„е„..., е, — какой-либо его базис. Произвольный элемент а можно представить в виде суммы: а )„е,+Х,е,+...+Хе..

Пользуясь лннейностью операции о, можно записать оа А,ое,+Х,ое,+...+Х,ое'.. Это равенство позволяет вычислить вектор оа, если известны векторы ое, ()=1, 2, ..., в) и координаты Х, (у 1, 2, ..., в) вектора а. Это означает, что один иэ методов задания (описания) произвольного линейного оператора о в в-мерном пространстве состоит в задании в векторов ое„ ое„ ..., ое,. Каждый из этих векторов в свою очередь можно разло- жить по векторам базиса еь Запишем это так: ос~ о,е,+о„е,+...+о.,е„ ое, о„е,+о„е,+...+о„е„ (8.1) ое, ов,е, + о„е,+...+о„е,. Мы видим, что задание е' чисел ап (у, й 1, 2, ..., е) полностью определяет линейную операцию о; Совокупность этих чисел принято записывать в виде матрицам О11 О13 " О 1$ а а„... а„ о„а, ...