Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь)

ипмстигствс внсикто и сркинито спжщащпо оинюваия рсиср ююаиюсиий тостдастниннй ливиситкт В.Н. Бсааарь часть и УЛЕ 531,011. Левана по теосетвческой аехннвке, Бондарь В.Л.,ЙГТ,1974,о.1-270 Анаавтаческвн двввввкв является третьей, эвклвчвтелмой чвстьв Лекцвй по теоретической веховвке. Лье первые честя, содероввве кввеввтаву в дввеввву точна, свстеав гачев а твердого *ела, бала опублвкокоян в 1970 а 1972 гг. Лекцаа предввоввчевтся для студентов праклвдаого отделе- вяв вохевако-ватоввтачоского факультета Новосибирского государственвого унвворсатета.

С Новосвбврсквй государственный уннверсвтет ° 1974 0 Аналатвческея двнамыка является третьей, последней, частьв нурса лекцвй по теоретической механике, предназначенных для студентов отделения првкзадной математвкв н механики математвческого факультета Новосибирского государственвого университета. Первая часть курса, изданная в 1970 голу, содерккт введенве в предмет и кянематвку, а вторая часть, опубликованная в 1972 году, посвязмна двнавтке точки, системы точек н твердого тела. Такое разбиение материала по теоретвческой механике связано с тем, что зтот курс читается на факультете в теченне трех семестров ва первом и втором годах обученна, а студентам удобно иметь отдельное пособие по механике для какдого семестра.

В настоящих "Лекциях" теоретическая мехеввка трактуется как мехавнка простенках моделей материальных тел. Прв рассмотренав освовополагашщых полонений теоретической мехвювкв обсувдается вопрос об вх прнмевимоств в механике сплошных сред. Другая особенность излокенвя состоит. в том, что при рассмотренна разлкчных вопросов курса, наряду с выясневыем мехаваческого смысла явлекзй, долквое ввмзввве удазяется форыулврсвке в выясыеввв рвзревввостк тех математнческнх задач, к которым онв сводятся.

От трздзцконннх курсов аналвтаческой данамвкн "Лекцвы" отличает танке оригинальный вывод ряда уревневнй к доказательство некоторю~ теорем. В аналитической двыемвке рассматривается дзввенве проызвольных мехавнчеснвх светам, подчиненных связям общего вида. В ней развиваютса мощные методы, позволяющие выделать из слокной задачи нахокденвя дввкенвя несвободной сыстемы в реакций связей более простую задачу определения одного только дввкення. Лля етого выводятся удобные дыфференпвельные уравнения дзваенвя н взлагавтся мето- дн ик интегрирования.

Интересно пря этом отметить, что для весьма вареного класса мекаявческкк систем окаенвается воемоюам ебейтксь бее аспояьеовавия понятна свю н оперзревать только эвергеткческюю категоркяме Другой акреккй круг вепресов аналитической динамике сзявен с раоометравием ооиов меканнкк. Здесь покаенвается, что построение кнасскческой мекевккн на беке законов Ньютона не катается едввотвеииа зеююззнм способом. В основу меканзкк воино полонять один ва вескелькы варкапиекннк привцкпев. Мекевическуп теорию моано пестровть такие, етправляась от звтегракьны иквариактов. В етш разделе мекаввкк рассматриваются такие весмюа веиюю во преем об оптимальном двзиевик, об устойчивости равновесия и двзиезяя мелвввческвк систем, теория малы колебавнй свстемн около полеаезвя устейчзвсго равновесия, теория кавоническвх преобраеаеазвй ° др В.Л.

Бондарь Глава1 УРйвнй)йю ДВВВ)йй)Я ПРОИЗВОВЫВ)Х НВСВОБОДНМХ СИСГВМ Основнвя задача, которую требуется решить для несвободной механической системы, состоит в определении как движения семой системы, так и в нахождении реакций действующих на нее связей. В настоящей главе будет получена полная система уравнений, позволяющая нэходить все зти величины. Основу ее составляют лэгранжевы дифференциальные уравнения движения с неопределенными ыноиителямя.

э1. Механические системы и связи, их класси(шкапик В общем случае на движение механической системы может быть наложен ряд ограничений - связей. Нике дана классификация этих связей, а затем на ее основе — и классификация самих систем. 1. С в я э и и и х к л а с с и ф и к а ц и я. Будем рассмвтривать движение механической систеыы, состоящей из т' материальных точек относительно некоторой инерциельной системы координат Ох,л,ю, Положение точки Дт„(э=1, Л') относительно этой системы определяется радиусом-вектором Э„-Сщшили координатэми л,",.с,,",ю,р В общем случае несвободной системы на полокения и на скорости точек наложены некоторые ограничения геометрического илн кинематического характера, называемые связник.

Связь выражается анелитически в виде некоторого уравнения, свяэывэюшего между собою радиусы-векторы У„ и скорости р - г„точек системы, а такие время т: ~Г~, эс, ., эл, 6, ..., км)-с. 11 1) Поскольку вектор определяется в снстеме отсчета своими компонентеми, функцяю у можно считать зависящей от ел у скалярных аргумен- тово,х,",,х,".(~-с,н,л, т= Д ..., Х ). Относительно у предполэгается, что она является достаточно гладкой функцией. В зависимости от того, от каких аргументов зависит функция ("., рввличают несколько видов связей.

Еслк уравнение связк не содержит скоростей точек, т.е. имеет нид )((т,й„, 7л ) =б, (1.2) то связь называют геометрической, или конечной (в сыысле недифференциальной). Каждая конечная связь вида (1.2) влечет за собою как следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается почленвнм дифреренпдроваюсем по времеви равенства (1.2): ду д~ (1.3) Но такаж джфйеренцнальнзя связь может быть проинтегрирована, она эквивалентна конечной связи~(т,г„,,з,ч)мо Это дает повод называть геометрические связи интегрируемыми связями.

Из вырэкений (1.2) и (1.3) видно, что геометрическая связь ограничивает как положения точек системы, так и их скорости. Если уравнение связи содержит скорости, т.е. имеет вид (1.1), то связь называют кинеыатзческой или дифференциальной. При этом предполагается, что уравнение связи нельзя проинтегрировать, т.е. его нельзя свести к виду (1.2); зто обстоятельство позволяет называть кинематическую связь неинтегрируемой связью. При наличии только кинематической связи система в любой момент времени может занимать в пространстве произвольное положение, однако в этом положении скорости ее точек уже не могут бать произвольными. )(ругвми словами, кинематическэя связь ограничивает скорости точек и не ограничивает координаты. В дальнеймем изложении ограничимся рассыотрением неиболее взжногс класса кинематических связей - связей, линейных относительно скоростей.

уравнение такой связи имеет вид ,у,е, 7, ь-о, (1.4) ч где векторы Р„в скаляр 2у являются функциями переменных г, т„,. г Рассмотрим далее классификацию связей, основанную на виде зависимости их уравнений от времени. Геометрическая связь (1.2) или (1.3) называется стеняева~ной, если время явно не входит в уравнение связи. В этом случае -~-=О, м эз а градиенты — не зависят явно от времени, уравнение связи (1.3) дБ при атом будет однородным относительно скоростей. По аналогии с этим кинематическую связь (1.4) называют стацноварной, если она однородна, т.е. 1з = о , а векторы Р„ явно не зависят от времени. Если требование стационарности не выполняется, связь называют нестецнонарной. Уравнение (1.2) нестзционарной геометрической связи явно содериит время, соответственно уравнение (1.3) этой связи будет неоднородным.

Аналогично уравнение нестзционарной кинематичесной связи имеет выд (1.4), т.е. в нем .и ь о, а Р„ могут явно содериать время. Наряду со связяын, аналитически выраиающиыися равенствами вида (1.1), которые называют еще удеринвающими, в механике рассматривают также тек называемые неудериивающне связи, анелитнческв записываемые в виде неравенств, например: ~Г(;, —,„,,-„, «м) ьо. (1 5) Если в условыи (1.5) имеет место знак равенства, то говорят, что связь непряиена, если зыек неравенства - связь ослаблена. Двииение механической системы с неудериивающей связью мозно разбить на отдельные интервалы таким образом, чтобы на одних из них свнзь была напряиена - тогда движение будет происходить как при удерживающих связях, а на других связь ослаблена — двняенне происходит иак при отсутствии связи.

Таким образом, неудерживающая связь на отдельных интервалах либо заменяется удерзщвающей, либо вовсе отбрасывается. По этим причинам з дальнейшем будут рассматриваться только удераивающие связи. 2. П р и ы е р ы с в я з е й. Рассмотрим простейшие примеры связей разных типов. а) Материальная точка М может двигаться только по поверхности, заданной уравнением „гГУ) и нлз уГл~,.гд,хд) = О, (1.6) Это геометрическая стационарная связь.

Если поверхность сама монет перемещаться как целое или деформироваться, то ее уравнение будет явно содериать время ~ГЕ. Е .) О нлн .~ГГПУ хзз хл,.хз) =О. (1 ° 7) В этом случае связь будет геометрической нестационарыой. б) Лве материальные точки М1 и М2 соединены стеринем постоянной длины е . Уравнение этой связи нмеет вид (г.— з,)'- гл ... (х,'- х,')'(: ; '.')'(;-;)Ы . (1.9) Это гесметркческан стационарная связь. В случае, когда стержень мокет изменять свою длину по заданному закону е((), уравнение связи примет вид (гз-г,) -Р =0 нли (л,-л,) (Х-х').(х,-х,') -Р (0=0,(1.9) и связь будет геометрической нестеционарной. в) Точка М движется по плоскости л,х,таким образом, что в любом положении ее скорость напрвилена на точку Х , которая перемешается вдоль оси абсцисс заданным образомя, - $ (т)(преследование) .

Это условна означает коллинеарность векторов у н ММ , т.е. УГ(г~-г~), где д - некоторый окалярвый мкокктель. Записав зто равенство в коыпоненвси глде и исключив коэфйюцкент пропорциональности, прийдем к следующему уравнению сзязи: х,л, ~4(е)-х,)х =0 илз й.у=о, (1.10) ГДЕГ",=,Г„, Гл-4(т)-.Г,. Эа ИСКЛЮЧЕНИЕМ тРИВИВЛЬНОГО СЛУЧаЯ 1(т)=ГОЛЗГ, оно некнтегрируемо н, следозательно>выражает нестационарную кинематическую связь. г) две точки М1 и М2, соединенные нерастяжимнм стержнем, могут двигаться в плоскости л,х только так, чтобы скорость середины стержня была направлена вдоль стержня (двикение конька на плоскости).