Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь), страница 10

Эти ураныения удобны также тем, что их число не зависит от числа точек механической системы. С ростом числа связей уменьшается число степеней свободы, а вместе с ними уменыается и число легранжевнх уравнений. Все.этн преиыущества по сравнению с уравнениями Лагранжа первого рода обеспечивают уравнениям Лагранжа второго рода широкую применимость при исследовании дзикений голономных систем. В заключение отметим, что лагранжевы уравнения в обобщенных координатах применимы н к движению свободных систем.

В этом случае они представляют собою нвмпактную запись уравнений дзихення в произвольной системе координат. В.уравнения движения точки в цилиндрических координатах.ПрименимуравненняЛаграыза в обобщенных координатах к выводу уравнений двикення свободной точки в цклиыдрических координатах, Пусть у материальной точны массы т обобщенными координатами слуяат цкзинщ~ические координаты а,*о, о,-в 4.г.

Тогда лагранжевы уразнеаня второго рода в этих координатах возют вид б Вт Вт бЬт Вт бп Ву дз Вя аа у сз бы ав е 4 бл Вн й, =Е с) (9.48) В рассматриваемом случае кинетическая энергия точки определяет- ся выражением (9. 41) Лдя получания выракенкй обобщенных сил представим радДУс-вектор точки в ортонормкровавнсм базисе щьэиздрических координат яг ею, я и установим значеввя проызводвых от него по цнливдрвчеоквм координатам. ИМЕЕМ а-РЕ .2Ей,ГДЕЕ Я (Э), ЯЗ Ссззе . ПОСКОЛЬКУс. =на, бУДУт сцраведиввы йормулм дз — ду — ду — à — = юе, — =яя бр Р аа =Юю' Сь Теперь ясно, что обобщенные силы, вычисляемые по общему правилу, будут равны — ай Р р ~ ЯР Гт ° 6 г — я РРЯю=РРе ()РФ.Р% 99,42) т.е, обобщенные силы в данном случае совпадают с бщэическнмв компояевтаыи силн в цилиндрических координатах.

Подстановка устаыозлезных вырэяений кинетической рнергии и обоб венных сил по сюрмулам (9.41) и (9.42) в ревеиства (9.40) приводит к уравнениям в(ю"-рв ) р~, т(рв дав) ре, ля=я', (9. 43) которые и являются обычаям уравнениями двииевия точки в цилиндрических коордиыатах. Таины образом, уравнения Лвграяка второго рода удобно применять дэя получения, например, уравнениЯ двииения сводной точки в произвольных криволинейных координатах. $10. Теорема сб изменении механической энергии 1.

В м в о д т е о р е м ы. Рассмотрим общий случай, когда на систему, наряду с потенциальными скземи, определяемыми потенциалом П, действуют еще непотенцвальэые силы Й~, тогдай;-;,— '".с,и уран пения Лаграяза второго рода (9.7) принимают зид с( дT дТ д(7 . к — — — — — — +'Й Сб=д..., Я) . (10.1) ~Й дф~ дсс- с9аВведем в рассмотрение механическую энергию системыЕ=Урн установим скорость ее изменения со временем. С этой целью умнозим каялое из урэвыений (10.1) на соответствующую обобщенную скорость и просумыируем результаты (10.2) 56 Левая часть этого равенства монет быть представлена в виде ь ьт дт,.

/д . ьт ~/дТ-,дт . с. (Л/ д~~- ~~~~./уа т/Е а 7ад~а тт (д~а т~ д~~,. /а) ' Очевидно, что что касается другого члена, то,используя предстазлениет=те.тт~тли теорему Эйлера об однородных функциях Ь~- -лТ/лт Хл),его моино преоб- аУ разевать к виду Ы, дТ д Ь дТ . д7,' т/ <П с~ ~м а 7ад)а л// а /а деа, /1т д~ д/ л т Д с/т — Л.' —.= — (/ с/ —.л Л,'ф —.' )= — (»тл т)=» — — — (т, »т.).

Такам образом, левая часть (10.2) окончательно равна ' Ьт Ьт . т/т т/ дТ ,а(' — —. — М = — — — (Т, »Т,) — . МЕ др' деа/7а т/Е с/Е ' ' ЬЕ члены правой чести равенства (10.2) предстазвмы в форме д/7 д/7 д/7 ~ ° ° л — ~~б) „лЛ/л дс, /а 4т де а а /а С учетом полученных результатов, а такие определенна энергии Р =у п, окончательно находим, что равенство (10.2) имеет вид т/е л д дт д// — -И".— (т.»Т )-— л// т// т О Ст де (10.3) Стоящие в правой части слагаемые имеют следуюпнй смысл: Л/"- является мощностью непотенциальных снл; слагаемое '~(ттттфотлично от нуля только для реономных систем, для склерономных систем оно равно нулю; последнее ие слагаемое Я отлично от нуля только в случае, когда потенциальная энергия явью зависит от времени. Формула (10.3) вырвлает следующую теорему об изменении мехажческой знерл.

гни системы. ТИОРЖМА 49. Скорость изменения механической энергии системы равна мощности непотенцизльных сил я, слоквой с характеристикой реонсмности системы~з,|т;зт.)- ~ н характеристикой явной зависимости от времени силового потенциала л~ 2. И н т е г р зл з н е р г и н. Теорема об изменении механической энергии при некоторых дополнительных условиях позволяет получить первый интеграл уравнений двивения. Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием только потенциальных сил, причем ни потенциальная, ни кинетическая энер- 57 гия не эазисят явно от времени (но система не обязательно склеро немка). Тогда дг — =о, дТ г)г»= о, — = о, ДП дг Соотношение (10.3) принимает при д о о, з с — (Е-Т-ДТ ) = — (Т - Т ~ откуда следует первый интегрел атом зид П)=0, Е = Т П - ссои, (10.5) Равенство (10.6) назыэают интегралом энергии.

Таким образом, при дзииеаии консервативной системы ее механическая энергия остен' ся неизменной. э 11. Тяяелый сиыметричный волчок Применение лагранжезых ураныений н обобщенных кооргэпгатах проиллюстрируем ыа примере дникеиия тяжелого симметричного нолчка. 1. П о с т а н о н к а задачи и уравнение д и и е н и я. Пусть тяжелый волчок - несомое гнердзе тело с осью мате- 58 Тл — Т П =оодзг (10.4) наэызаемнй обсбщенныы интегралом энергии (или интегралом Якоби). Обобщенный интеграл энергии, кек легко зидеть, имеет место и при наличии непотенциальных сил, если эти последстзия являются гя роскопическаги силами. Наззание интеграла энергии "обобщенный" сьязано с тем, что соог ношеные (10.4) не является $ыээческим интегралом знергниг хотя егз ленея часть и имеет размерность энергии, зходэщая з нее разность Тг- 7; не есть кинетнческзЯ энеРгиЯ.

Обобщенный интеграл энергии превращается и физический интеграл энергии для частного случая консервативных систем. Сясгему назьвеют консервативной, если выполнены трн требования сна склесснаына,щю силы потенциальны и потенпназьная энергия не эз висит явно от времени. В этом случае дТ, дП Т=Т=о, — =о, Х =о, — =о, г ' ' дг ' ' дг т.е. к прежним требонаниям добавляются еще услоиэя Т=Т;-о. Но тогд Тз= Т и интеграл (10.4) принимает зид )вольной симметрии - соверпает сФе)юческое движенле около течкв апо)н, лежащей на его асв и не совпадающей с центром пасс О тела.

л л Пусть дани масса волчка ля, его главные моиенты инерции 1, Тяа с а 1 - компоненты тенэора инерции для точки О и расстояние центре масс от точки опсры. установим цвижение волчка относительно ине(л)иальной свстеиы отсчета Оюс хл лЬ, начело которой соемещено с точкой опоры, оси т~, сея взяты в горизонтальной пяоскости, а ось Г, - направлена вертикально вверх. Счевицяо, волчок имеет только геометрические сании (касрданаты точки споры тождественно равны нулю),поэтоиу он является голаномпой снстеиой с тремя степеняыи свободы. Свяжем с волчком сопутствукщ)ю Систему осад О4у ч» 4ь с неровной о тачке опоры и осью с , ицущей вдоль его оси снимет)щи.

В качестве обобщенных координат возьмем эйлеровы углы Чл, Чи, Чэ, одрецеляюцие ориентацию сопутствующих осей отнйснтельно системы отсчета. Тогда кинетическая энергия тела, определяемая выражением 2 Т= ля л =1,)а м , где сэ — компоненты Угловой скоРости тела в оопУтствуцщих осях, связанные с угламв Ч формулами Эйдера л л л сс,=Ч,угпЧяуспЧ ЧябсэЧэ сбя ЧсуьпЧжбсЦ-ЧяуяЧэ, с)э Ч амЧя Чл1 будет равна тл я я Л гл . д Т=я 1сГК ууп Чя л Чц ) Цуь ГЧлГслЧя Чц) . Обобденные силы в соответствии с определениеи (9.5) определяются выраженияии алР— =-ЛЧ вЂ” ' ( -Дрд).

арс Зх, аЧ„У ЭЧ„ Ксорцинаты пентра масс в системе отсчета определяются Фо)мулами .жс с с — где ~п„ вЂ” компоненты кинеиатической ~ -маер)цы, (ассматриоавшенся в пернон части курса. Поскольку щл =ф~~ 8 . и ОпьЧп, то хе=а,(ътЧя. следовательно, обобщенные свлы имес с ют значения Я,=О, Оя=п)~фйпЧл, щл=О. Танин образом, лагранжевы уравнения гторого рода — —, с( ат дТ - — = д уи ууу)в даннаи сщ)чае бупут вада ь ачм дЧл — ~1, Ч, 5тп Чя л 1ь ( Ч Ось Чи л Чэ ) Оп э Чл] = О, (11.3) ж =О «Г-Т»Г 5»о~ боЯГ»(эЧ»(»Г»бс'6'4»)э'»»»ГЯ Рз ж»» (11.З> ~ Г (»»» Г»с»Г»»~~ «« = О, ж 2. И н т е г р и р о в а н и е у р а в в е н и й . Парнов н третье уравкеныя (11.3) сраау интегрируются: Г» ч»» Уо»»Гл» Гэ ûû Соэ он»»Г» ) О»ж <ф~ — -С», (11 ° 4) л ж с Г, Г Ц Ссэ»~~ » 4»» ) =.

Гэ»с»» = сл, где С1 и С2 - проиавольине постояннне. Нетрудно убедиться з тои, что первнй интеграл уравнений движения имеет окисл постоян- ства проенции кинетнчесного иоланта системы на ьертикзль Г. = С1, второй иа интегралов вырзквет постоянство проенцня угловой ско- рости волчка на зго ось симметрии. Интегралы (11.4) определают скорости прецессии и собственного вращения череа угол нутэции э аиде с»-сжсоэ Гэ; сж с» сгсожо% »,: ',,; —.' — ~~ ч»»».»» Г 6»»»эч э Гэ Г,У'»лот Что касается второго уравнения (11.3), то, исключая из него с поиоцьи (11.5) скорости прецессии и собственного врзцения, получил уравнение для одного угла нутэции Я (»»» - Е, » л» > ж« и, -пжс'ожтж», с Г»»гл — „5»»с»глс»»» ол»,' с,ую»Гл-»»»~6 Бс»'Гг = О. Г, З» "ю„ Г» У,п'»Гг Легка видеть, п.а после умножения нв 2 ф, это уравнение интег рируется и пряводит к интегралу ' л Й'» с»ж сокол «»' Г»~~ » „~У»»»~Р ~соэ$ = —,~ Г» =г»»»» т, (11 6) Г б»и »ГЛ которнй, очевидно, яаляется интегралом энергии.

действительно, э двннои сиучве система склероноина, сила тякести потенциальна с по- тенциалои Г« »осе~э с»сэ с~ , т.э. система будет консервированной, для последней ив спреэедлин интеграл энергии Т + П ж »ж»оэГ . Ст- свда с учетои Формул (11.5) и следует соотношение (11жб). Введем вспомогательную переиеныуп О ж Г'»»ж»Гн .