Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь), страница 6

В соответствуюэщх Осях реакции нмещт значения 31 "/ т л~ л л 1 л~ а,*де г ибоя- - ° а --и,5 м аб ч--мс,.я,-я~-~, ~Ц Я~й>5м> рл5ют= — ~,йл -Юс5влЮ~ ~ сей~ 1м~ )уе Ял е л лл ТЕЛаы О6РаЗОМ, ПО ОтВОВЕВКВ К СтЕРКВВ М, ЛЧлРЕаЮЮИИ Кадксй СВЯ- ев сохревввт своя велкчвву в еркевтацяв. Равводействуящке реавцвк в каадой ка точек вмевт реввые модули, определяемые вырекеккем е е $7.

Равыовеске проквволъвой яесвободвой системы в декартовых косрдкватех Простейвюе ввдсм двквевкя системы является ее равновесие. В етое параграйе будут получевы ураввеввя равяовескя несвободной скстемы к ксследовава корректность задача о раввовескк. 1.ураввеккя раввовеовя.Пустьвесвободяаямехеввческея система М матеркелькых точек, подчиненная у -геометркческвм в К -кввематвческвы сжва, веходвтся в ревыовесвк. Тогда коордкваты точек скстемы сохракевт постояквое звачевке во все время дввкеввя в, следовательно, будут токдествекво равен вулв скорости в ускоревве точек: л~ седат, .х"=х =о (т-г,...,л~, б'=-хдб) . (7.1) Уреввевкя двккеввя несвободной скстемы (5.4) „х =7 Е~ —. й~вг~ 5~=г„,л', Я'=дйб), и .г" (И,х,',...,.г.„)=о (л-г,..., с), (7. 2) ге~ '",))д-о (, =,...,ц еа прк раевовесвк сушественво упрекается.

)(ействвтелько, левые частк ураввеввй Лагравка первого рода обрещавтся в куль. Актвввые свлв при раввевескк ве содеркат скоростей в, следователъыо, могут за- ввсеть только ет кремовы в ат коорлвват. Ие уравяеввй кккематкчесввх скявей прк атем следует, что у юьх долкеы отсутствовать свободкые члены, ибо в протввнсм случае было бы вевоамокяо одвовремеввое обрашевке в куль всех скоростей. Таким образом, прв раввовесвк ккяематкческае свяек удевветворявтся тов- дествевыо. 32 Представив уравнения геометрических связей в виде ограяичеиий на скоростиЛ-~Ф .тэ~йу=о(к*с,„,эе), видим, что при равновесии долаъэ.

° э эй эг ч эчр Ъу но быть-ж=с Ы=~,,~), т.е. геометряческэе связи ые долины явно ду содеркать времени. Итак, при равновесии система (7.2) преобразуется к влгебрэвчес- кой системе уравнений г. гл —,",-Р~г„=о (ы-~„,. 7(б.*мб), (7 з) у Г,, гэ ) - и (м - у.- у) . Основная задача о равновесии несвободной система состоит в оцре- делении по заданным активным силам полевений равновесия и реавцвй связей. Нлн реиенкя этой задачи имеем 5 с ~у уравненай, содериащкх большее чкслозм у ~ ь неизвестных: зи декартовых координат в ~ + й мноэителей связи. Задача о равновесии системы с вдеаль- нмэи связями является, таким образом, неопредаэеняой. Она становит ся определенной при отсутствии кннематвческих овязей. В зэком послед- нем случае, наряду с,Т)э - о , равны нулю такие величины Р„~ = О, Система (7.3) при этом становится замкнутой Г +еА — „б (т щ...,н; сг=дузл, э э ° .6 ('х~,...у с=о ( =у ", Р ' и называется уравненкзмк равновесия несвободной системы.

2.Определение реакций в полоиеикй р а в н о э е с к я. Перейдем к нумерации координат точек в компонентов сил с помощью одного индекса, как и ранее половив / я / Р л( х,' =)„.юэ -~л,..., Яэ =~д„„.э,'- 'В„~л =чпл„, Ру ='Хд,т Тогда уравнения равновесия (7.4) з новых цбозначениях будут вида Ф,.ЕЛ„и„,-о (б-~,...ЗМ)~,(~,....,эб )*О С -у,...у),(7.З) где через У обозначена прямоугольная матрица, составленная иэ частных производных от левых частей уравнений связей по координатам: )) у э ~~ Ы ~, Э)е независимость уравнений, геометрических связей означает, что ранг матрицы (7 равен ч . Следовательно, имеется отличный от нуля определитель с" порядка у, составленный из ее элементов.

С помощью соответствующей нумерации координат моаво добяться того, чтобы б ЗЗ имел вид йт дЬ р75 дйу (7. 6) Щ Щ )Ь "' д)у Уравнения равновесия по отношению к мнозителнм связей образуют переопрепеленную алгебраическую систеыу.

Условия совместности этой системы вместе с уравненияыи связей и будут определятЬ положения равновесия. В силу услозин (7.6) первые О уравнений равновесия (7.5) 5У~ Ей„(5 д ОКУ:45)МОКНО РаЗРЕШНТЬ ОтвсоитЕЛЬНО МНОКИтЕЛЕй СВЯЗЕЙ Н ойредалвть последние в вкпе следувш5Х функций времени и координат: лз= — ЕФ5УН (з,5=6 ",7), р (7.7) где через ))()р» 5 обозначена матрица, обратная матрице )(Ув( Н ° Подстановка этих мнозителей в Остальные урзвненняФ5' Е л и 5 приводкт к искомым уревнениям совместности; присоединив 1 нвм урав- нения связей, получаем следуюпПю замкнутую систему уравнений дш5 нахождения семах положений равновесия: ~„7„...,7 „)=о Сл-с,...,~), 5(Ь""'755)зчз — Е4Р 05 (~~5 =~ Г5 ~'У,„,, ЬИ) .

йсзи снлм и связи' таковы, что З(.(„,(, Р„,,)5 ) чь о з(г*,. Уу, )5-, й. ) то уравнения (7.8) мокко разрешить относительно координат; это ре- шение и определнет полокенке равновесия системы. После этого фор- мулы (7.7) определят ыножители связей в положении равновесия; са- ма ие реакции определяются выражениями (7.. 9) У 5дй5 Рассмотрим пример. З.Равновесие двух несвободных точек в э л л и и т и ч е с к о й ч а ш е.

Пусть дзе тнкелые точки М,(ш„.кл,.гз)имя(я„.т~, кз ) еднмичной массы, соединенные невесомым стеринем постоянной длины Г , покоятся в гладкой чаше, поверхность которой является эллипсскдом временил вокруг вертикальной оси. 34 Стержень с мате)цельными точкамк на концах покоится под кенстиием трех сил: раннокейстяующги весов точек, напраилеыной вертикальна, и реакциэи понэрхности в его концах, какдая из которых располагается в мериде ьзьчаи плоскости, проховящей через этот конец.

Эти три силы, как известно, должны располагатьсн в одной плоскости. Легко яидеть, что это будет только э случае, когда стеркень будет расположен ь плоскости меридиана зллиясояпа - плоскости эллипса. Боли ззнть зту плоскость за плоскость .т,л, и поместить начало одсчета в нияней вороные эллипса, получим уравнение эллипса в виде я бх,-о ) х) где ох и о — полуоси эллипса (сис.9). Таким образом, уравнения связей имеют вид х з)„х ~ э ) рвзнения равновесия точек Р 4, — Л вЂ” Я вЂ” =о ЭЭ) ЭЭ.-)я дУэ 'Эх" "а,х" ' ал" и ' о б' а, ~О=),2; б' Уб) в развернутом виде с учетом уравне- ний (7.10) записываются следующим образом: з л1 Рис.9.

э й „'-Х И~( .э-х) -О, Л,Ил.'-а,)-Л И аГх~ х ) уа,, (7 11). з йл ь э об (х -г )=() яяйСхэ-х)э)+Лейбл (хл .хэ) =~аз. (7.12) Семь уравнений (7.10)-(7.12) слукат дяя определеыия семи величия: трех мнокителей связей и четырех координат точек. Определив множители связей из (7.11) и иь (7.12), будем иметь и е Я л х а а, (л, -.хх ) си .х (7.13) Аьсх -.х, 35 (7.14) я и л е л а, ол Гл, - х~ ) уол.тт ПРиРавнЯв меиДУ собою соответствУюсые выРаиениа дла Лев йоР- мулах (7.13) и (7.14), получаем не содеркащее реакций уравнение совместности Р„=Да Х,.Х,ГХ;ал)-О,(Х -К,)~Х, Укб-ау)~Х,(СХ-афО(7 16) которое в совокупности с уравнениями связей (7.10) и определяет координаты точек в полонении равновесия. Для удобства дельнейюих вычислений введем вместо ординат точек вксцентрическве аномалии Е, и Ел по формулам (рнс.9) тю=оз(т-СюеЕс)~ хр=Оу(~-~ЗЕт ) (7.16) Тогда абсциссы точек, определяемые кз первых двух уравнений (7.10) будут равна л .гт =О~Ьтле...2~=О,5*'иЕл .

(7.17) Последнее ие ив уравнений (7.10) совместно с уравнением (7.15) будет слувить дла нахокдения самих аномалий о, ГулЕл-йхлЕ) ~ол (СслЕл-Сс~Е, ) = Е, ~з(СелЕЛ-СвлЕ )=0,(бвтЕЛ-5пБ,)~буЕ ~йуЕ), л (7.18) Если ввести в рассмотрение полустанку и полураэность аномалий Ел л м Ед=. Е. (7.19) то соотношения (7.18) после ряда очевндвых преобравований мокно е ставить в (7.20) с'в с(сл,е-я с .~,)=о, уа,ляг.ей л)=Г, я — ' — л-с'- где е являетсн вксцевтрисктетом зллипса.

36 пусть зяявпсоид вращения - вытянутый ( а,> о„осе е е ). Ез усяовня А» ~:а зажяючаем, что 4 ° 0 взи м = д . Поясаеиие равно весна с - О невозможно, ибо,с существенно подоввтеяьвва величи- на. Возможно полоаение равновесия лсмг7, Яе~Е Хя.Как видно из р Р рис.9, зто соответствует горизонтельаому подоаевию м, М стернин; угол и при этом опредеяяетоя условием Ф4Я,ер(сА)=ее Отсюда ясно, что задача имеет равенне прв(зелен-ее, т.е. стераеиь додави быть меньше горизонтельной оси Зяяипса. Второе положение равновесия, обозначенное ва рис.9 черна МзЯе, имеет место прн Е е~ е~Ье с . Легяо видеть, что углы .е и я апре- деляются при этом условными (=Еа,5зл~, Е-Яа,(е-е Соя е), Стержень ыри етом проходит через йокус ачзвпса.

Дяе доиаватеяь- стза этого УтвеРкдениа обозначим текУщУю тсчжУ пгвмой МееыячеРез ,М(х~,хе)ы запишем условие жоляииеарыостя венгеров Ма (с - середи- на стержня М~Ме) и М,Л~е,тогда пояучим уравнение прщеой М,Фзв ви- де Ехе- (хе хз) ехс-(хе ~хЭ хе-УГ Отсюда, учитывая значения вырзвений е х, . х, = о, (5ел Ее ~ 5ел Е,) =,Ьг, 5 ел м але~ е хе ~хе--Яое-ае(слеЕезйеЕ')=Лое(е- лекеЪев), е хе -хт = ае(5глЕе-5злЕ,) шйот Еле с слев, х -хз =-ае(СеЕе-ЙеЕ )=Йое5елм5ейЕ и имея в виду, что дяа точки У пересечения стержня с осью ордвавт .г,=а попутны дзя ордиыаты хе этой точки сведующее вмрааевие: е ~ е е е хз хе ха+хе хз — хе ( йяВ В ) л я х,'-х, 'з~ сы.с ~. Поскольку в рассматриваемом спучае Фее Есме,зта орДиаата равна хз"се(е-е).

Но тогда рзсстоявие точны Р до центра зязвпса будет раВНО ОЕ=ае-ХЕ-а,б, а ЗтО И ЕСТЬ йсжуовсз раоотсяНИЕ. СяадОВатвдЬ- но, точка У действительно является фожусом аплипоа. Если эллипсоид вращения спяюсуют Са шоле<а), то С~'~-еб)шю,и горизонтальное положение равновесия ( с=Ф)- едныственво возможное.

По установленным значениям параметров с и,в знсцеытричесвае 37 аномалии будут т-кие известны и равны Е,:.~~е, л'-- ~.9. Координаты точек в полоненных равновесия деютск тепепь вырекекиями (7.1с) и (7.17). йто касается реакпий связей, то онк в обшем случа~ определяются через мноиители связей зависимостями Н' -еЬ„'-; . Ь даынок случае эти ":к' зевксимостк имеют вид ! ех,' л т ф 2Глз — О~1 л р,=д,=", -Л,д(к,-лт), я,=Ад „-Лдр(д.,-.к,); В этих выреиениях первые слагаемые соответствуют реакпияи чати, а вторме — реаициям стеркня. Из уравнений равновесия (7.11) и (7.12) следует, то полные реакции соответственно равныу, =0;=с, Я,'=Я .-~,т.е, вес катдой точки уравновешивается суммарной реакцией этой точки.