Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь), страница 4

При этом, разумеется, к системе уравнений движения следует добавить соответствующее число новых соотношений, выражающих экспериментальные законы: трения (закон Кулона), упругости (закон Тука) н пр. Применяя этот прием, можно добиться того, что понятие идеальности связи становится практически универсальным. 3. В ы р а к е н н е реакций ч е р е з н е о и р е д ел е н н ы е м н о ж и т е л и.

Лля класса идеальных связей оказывается воэмокным выразить все реакции связей д' общим числом 5Л' через меньшее число у~ р величин, называемых неопределенными мноиителямн. Чтобы установить этот результат, будем всхсдэть из ограничений. налагаемых связями на виртуальное перемещение системы (3.4): 'бз =О (м=ю, .,~), ~ Ее„'д~„О ()э=А", е) (4.4) Э.4 дат ч н условия идеальности связей (4.1): БР„ ° ду~ =.о. т В системе (4.4) каждое из уравнений первой группы умножим почленно на множитель 3, а каждое из уравнений второй группы - на множитель р и результаты вычтем нз условия (4.1), в итоге придем к следующему соотыошеяею; 19 х' гфт яИ,,~,~ ~янезу)'бзу дз„в Еыу мокко пркдать щ>угую фо)му, если выразить входящие сюда скалярные прокзведевкя векторов через нх компоненты: Е(Л,".— ЕА,юЗ~-„-Л'.,Мдн~~я)д'хк -О (4.6) В (4.6) присутствует ду вариецкй коордынат, из которых толь- ко и щтук незввнсвмы, а остахьные числом у ь я - зависимы.

Подберем теперь мноквтелк А, и р~,чысхо которых равно й ~ я такам образом, чтобы в (4.6) обратились в вуль козф)ицкенты прн за- высвмых варкзцыях. Это можно сделать н првтом единственным образом, ыбо дело сводытся к определению множителей из линейной слстемы ал- гебраических уравнений, определытель которой, как легко видеть, ссз падает с отличным от нуля определителем 1. После этого в равенстве (4.6) останутся только члены с неза- внсвзпви варыацыямк.

Но тогда должны равняться нулю к коэ4фыпи- ентм прв зтнх независимых варвзцыях. Таким образом, путем над- лежащего подбора мнокктелей М и/гз можно обратить з нуль все ска- лярные ксзффтпненты прн вариациях в равенстве (4.6) и, следователь- но, все векторнме козф(вцыенты в равенстве (4.5). Из этих послед- нвх условий устанавливаем, что должно быть Ят-~-А —,- ~Ы~~ЛРру (~=У." ф Р) (4.7) й' Формулы (4.7) определяют общый зжд реакцнй идеальных связей. Поскольку векторы — ануе„задаются известнымк уравнениями связей, а эхт М зты формулы выражают .юл~ реакций Я .

через уз 4 множителей 3 и ц, называемых множителями связей нлк множытелямн Лагранжа. Из выракенвя (4.7) видно, что полная реакция идеальных связей, Я„, действухмая на материальную точку 44„, представляет собой векторную сумму реакций всех геометрическвх и всех кннематнчес- КВХ Сняазй. Прн йвзтсы рЕаКцвя ГЕОМЕтрИЧЕСКОй СВЯЗИ )., = а да- ется членом )~ зт„, т.е. она пропорциональна градиенту —, а ре- Ъ ау зтз '- знцвя кывематкческой связи 7 „т .р>-о выражается вектором у 7~„, который пропорцконалек вектору ф, . Такам образом, для идеальных связей определение реакций свнзей сводится к определению лагранкевых ннскителей, 20 95.

Уравнения двикения несвободной систеыы в декартовых координатах Получим полную систему урзрнений, позволлюиую реветь основную закачу механики для несвободной системы - задачу определения двнкеывк системы н реакций связей. Затем выясним условна, при которых ета система имеет единственное решение, и в зеключенае сбсудвм достоинства и недостатки атой модели. 1.Уравненкя Лагранка первого рода. Рассмотрим дзикение несвободной механической системы,у материальных точек при наличии с - геометрических и Р -квмвмзичеамх мюальных свнзей. Подстановка в уравнеаия дзиаения несвободной системы (2.9) л„Е„Р„' <Я„ (ч=А,..., у) (5.1) значений реакций идеальных связей по йорикам (4.7) — аУ )2„= .Е Л =" 2",,ир Е, „( с - у,..., Л( ) ни~ е (5.2) приводит к уравнениям двикення т„а„=Л'„2 Л д т Ыр,лл„(С=С,...,Л/), (5.9) я Р называемым уравнениямн Лвграниа первого рода.

2.модель "несвободная система с нде- а л ь н н м и с в я з я м и". Лля несзоболной механической систе- мы с кдеельннмк связяыи оказывается возмокнвм построить полную систему уравнений лля нахокдения и лзикения,и реакпнй. В самом леле. представив уравнения Лагранаа первого рода (5.3) в проекциях на оси декартовой системы координат и прксоедкнвв к нвм уравнения связей, получим следуюаую свстему уравнений: т„х"=Г" ЕЛ~~~ е2,ЫЛЛ~~ (т С„,Х; с =к,л,б), е с у' й,.с„...,.х, )=о (ь.=~,...,р, (5.4) 1' уР х" Э~ "о (н.

г, „,, Р) . система (5.4) замкнута: оыа содерлит лл'у Л уревыений и слуквт для нехоидения такого ке числа искомых величин: дл( хоординат то- 21 Чса Х" И О Я МИОаытЕЛЕй Силва,( И 1Те . Эта ЭаааУтал СпотЕМа ураавекиФ'опредазяет математвческум модель "ыесвободыая светаю с ыдеавьвюю сиаммы". Двя реаеикя освоввой задачи в рамзал атой медали к уравневиэм (6.4) следует првооедызить сскыествые со.

свяэаю вачэлькые условвя ддк (~видай хи~, которые вводит в урзвкекзя дкф(вревдвельзым обрезом! Ф О, х яс Х тес СМ=1,...,Ж) 6 4ДЛЛ(5Л) По ыейдеиюю миоавтелям саазей реакции связей вычксляштся согласво йормулам (6.2). З.условия разреаимости освовыоя а а д а ч к. В уреваеыке (5.4) искоиые Фыкцвв - мыоаители связей и коордвваты точек - влсдат разлкчвым обрезом: еслк отвосительис мкозктекей система (5.4) является алгебраической, то по отвюеввв к коордкиатам ова будет двф$вревцзельыой.

Методы решения аигебрааческык а двй()еревцаальыыл уреввеаий существенно отличаютсы друг от друга. Пелесообразво поэтому получить двф(еренциызьыые ураввевыя для одвкк тслько коордыват. Перейдем к вумереции величии о помощьш одного иядексе, обозначив массы ю„, силы Р,"., коордкэаты а" и мвоаителв связей А, рр соответотаеюв через М, ть, р, А~, так что М, Л(л Мь Лт, Мр Мр=Мл а~,...; У Ф,,У'=4~ ~Г-Ф,У,=Ф йс з -'Ду «~~ /~1 Т~ум," /~» лу~/,~ хт Ь хе=йе хл=йз и)"Ь,. Татка в сиотеме (5.4) ураваеввя двикевия и уравиевия связей, предстазлеююе а виде огрквичеэвй ва скорости, мокко записать в следувщем ваде: М Че Ф+Л'""р~р, (т л "° бЛ') ° (5,6) ~ "Тга Ь 4 о (Я 4 р ~~1) (5.7) Пыесь ,Т - матрица (2 5), а .Т - вектор - столбец свободвых чле- У ыов. Используя введеквые обозвачевая, а текил покатая 3~„/эу =Т Ь~.,/дУ Т„, е, вектоР .~~, матРвцУ .Т и ее отличимы от вУла опыеделктель 1 шоком представить тзк: 22 у,.+ А~" ~лм 4~".П~е,.

Щ!1-:, 1~Уу.$- -------, [в ------ Фо, (5.8) р г,".. е" Ю~мг П Укаэанное выракевае определителя 1 не отринивает общности рассуздеывй, поскохьку к нему всегда мокко прийти с помощью соотввтствующей нумерэцни координат. Лаграниевы уравыевия (5.6) мозно рассматривать квк линейную элгебравчвскую свстему ураввэвкй отвосительно мноквтелей свяэей. Эта система переопределена, так как содераит .БУ уравнений дтя меньшего числа у~/с величин. усноввя совмвстности этой системы и будут слуиить уравневиями дхя нэхокденвя двзиевия.

Лля получения этих условий опредслим мноиителв связей кэ первых у+l~ уравнений системы (5.6) м у =Ф "Л6Р4 (р, -6", у () сФ ~ «) Р Р Рю Поскольку 1Фо, эти мноиители конно представить в ваде Ь=к,м„')„Х,.Ф,', о,'=у. 3, (б=д..., с.(), (5.8) .т.( где «,7,Д - матрица, обратная кващ>этной матрице Ц' ф Искомые условия совместности теперь получаются после псдстваммн юкввтелай (5.9) в остальвыел ЛХ-у-( уравнений писчее (5.6) и имеют ввд Рвч~~ 'Й ~~ Ммф Аю.

(г=~+й'6, ..ЮАР), (5.10) (5. 11) Показам теперь, что уравнения (5.10) в (5.7) вмэсте с вачвльнвэк условивмк (5.5) эдвзстзеюпп образом определяют двинские. Приведем вначале эти уравнения к вормахьыому виду. условие 1во пеэволнет определить ив (5.7) первые с 1 скоростей и ускорений через остальвме "кеээвисимые" скорости з ускоренна з вила 2, -2 А„Т А„А,-ЛАье2, А, (Р-~~(~4.-,М(5.13) Исключая о помощью етых соотношений из (5.10) "зависимые" скорости и устаревая, приходим к оледующнм уравнениям: ~6И д +В Щ О5ь, (т,б=у+Х~г, ..., ЛА~), (5 14) где не оодериаине ускорений чдены имеют вид Ф,"- Фь ~.СМ,„Ан, А нь, Вее Д ИеА,А (м-т,..., 2+/г). (5.15~ Справедиива следующая Лййй 1. Определнтень алгебраической системы уравнений (5.14) отдичея от нуля Л - Й~ <М, д'„~ ~В, ~ р о . (5.16) ДОК43аТЕЛЬСТПО.

Пусть я о , тогда однородная система уравнений .'й' /'Игбвь + Вть)4з О ГГ, б 2 та+4..., )И (5.17) имеет ненулевое решение й,ь,,,...,$~, умновим уравненмя посяедней онотемн ооответотвенно най, ,- т,„ и сдокнм результаты. Тогда песне очевщтдых преобразований, произведенных с учетом (5.15), будем иметь ,ДА(г йе+~М! „(ЕАеть2 ) а (а~ н,...~~4, х УюА~1 ...

Эл) Отоюда оледует, что данино бытьТ „ег'ьтзю=е, а Его противоречат оущеотвованню невулевого решения системы (5.Г7). Леьвэ докаэаяа. На основании лева 1 система (5.14) имеет единственное решение йр-урИ,2,24), Тр-ЖМрЕрн~Вре)Ф,(ре-~ей+а, „эн)(5.18) Уравнения (5.12) и (5.15) представимы ъ виде следующей нормальной системы Я» ~~я уравнений: Н(е ° сиз =2ь~ ~ =2т(т1 2~2е)(т,б~~~~~." ~ 9~у), 2е-'Аае(4.2) 2ь+Аь(52) И.С..., ~~О) . (5.1Э) 24 Имеет место следующая ТЮРИИА 47, Если активные силы и связи удовлетворяют следуюнкм условиям гладкости: Гияс,'г'„„,п~ес~у" ес, то существует единственное решение задачи Коши (5.19), (5.5).

Действительно, в силу условий гладкости, сформулированных в теореме, правые части нормальной системы (5.19), кэк нетрудно видеть, будут непрерывно дифференцируеьпшш функциячи, что по теореме 4 первой части курса обеспечивает существование и единственность резензя задачи Коши (5.19), (5.5).