Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь), страница 3

В частном случае склероноыной системы уравненвя для возможных перемещений (3.1) уи и принимают следуээнвй одыородный относительно перемещений вид: Я = ыг„ =о Гм=д..., Уй ~4~ и„ -о ГГ)-д..., 1) . (3.2) ЗГ. б..' " "', э 2.Виртуальные перемещении.Виртуальныы переыещениеы механической системы Зе ю-л.,эулля некоторого момента времени и некоторого ее возможного в атот момент положения называют разность двух возможных перемещений системы для етого момента и этого положении, т.е.

се~= У'з„- ГЕ, ГУГх, л~). Таким образом, виртуальное перемещевие систеыы в некотОром ее положении есть некоторая специальная совокупыость элементарных перемещений точек. Возможные перемещения систеьа,как сФ„Гу=.Г,...,,у), так кд'г„ГУ д...,д(), удовлетворяют уравненвяы (3.1), т.е. вместе с (3.1) верны такие соотношения ~' дт ~Г и~ лт сут=б (г=б,у)с ~~„'4„'лтл ГГ о Г,л=д....И.

(3 3) Эй, ЗГ Поскольку возыокные перемещения взяты для одного и того ке момента времени и положения системы, то в (~3.1) и (3.3) коэфзмциенты прп ГГ„, Г'Е„и свободные члены будут одинаковы. Почленным вычитанием (3,3) н (3.1) теперь находки, что виртуальное перемещение системы при любых связях определяется следующей однородной системой уравнений: б1„= О Г« = Д ° ° ~), Л Гд„. Рдю = б Г,4 =-Г,., Х ) .

(3.4) М, Итак, всякая совокупность векторов 8Е„, удовлетворяющая уравнениям (3.4), представляет собою виртуазьное перемещение системы. Подобно возможным перемещениям виртуальные перемещения системой (3.4) полностью не определяются, т.е. з каждом положении ые- 13 бй при этом следует, что ортоговальвый вектор макет быть проаззоль- ввм, а коллиыеарвый вектор имеет проекцвю иа яормазь, резвую Г,~~у) =-Ээ~/(т/!.двазогично, Дла ДРУгого везмовиого пеРемеЩевиа ФЕ бУ- дем вметь я г =с,' е ~ сэ г, причем (~л Е) =- д у I( ур . Теперь ясво, что виртуазьвее перемеаеиве и мемеят 1 в пелеиевви М, определяемое вырзиевкем Зй- ~Е- Р 4й-с,'г, представляет собою вектор, хасэющяйся поверхвости. Таким образом, в давнем случае связь веотапяоварва, и виртуалы вое перемещение не совпадает ви с одвим кз зозмоиыых перемещеяий. Вектор ЕЕ будет воэмозыым перемещеыкэм для "зшорок верхысстк. г е д" ~Ъ сваей" пе- М ы,т Ркс.

4 ут Ряс 3 Рт в) Пусть точка М педзеркева действию одной стэцвеварвей канематвческой связи. Тогда ее зсзмоавые перемещевия определяются урзввеыием Р су-0. Отсюда ясве, что воэмоивымк будут любме элемевтраные перемещения сй, ~'Е к т.д., ортоговельвые вектору Е Ясыо такке, что ввртуэльвое перемещение 3 у= 1г- 4 будучи резвостью двух ортсгонэльыых к Г векторов, само будет ортоговальве к Е (рис. 3 ), Следовательыо, з этом случае воэмоквые и ввртуэльвые перемещения совпадают друг с другом.

г) Пусть, далее, на точку М действует нестационарная киыематвческея связь. Тогда зозмоквые перемещения точки будут удовлетворять уравненвю Е /Р~2Мг=б, Следовательно, в этом случае воэмск- Р3 тя, моаве рассматривать как везмеккее и как ввртуальыее перезмщевве. В этом охучае связь стадеварва, и виртуальвые перемещения совпадают с веэмокммм перемещеизями.

б) Рассмотрим теперь случай, кегда точка М девается пс певерхяости у(т,ь)*О, которая сама перемещается отяосвтельве системм оточета (рис. 2). Из уравыевия для возмоавего перемещевия —.бу -бэ О а( — лу ат ат видео. что в этом случае возмоиное перемещение с(Р ие ертегеиельяо вораали, сзедовательво, с поверхвостью оио образует острий влк тупой угол.

Представим с~у в вкпе суэмы двуХ вектороз ПУ- ~,г ф,вз которых первый ертегевалев, а второй коллзвеарев к ту . Из уразвеввя для нов перемещение нз цртогонально вектору Е Рэллоикм ~й ыа состанлязкые сБВ к ~е И , направленные соответственно ортогоиально и параллельно вектору Г : Уг=ят 41. Из уравнения видно, что первая из юх может быть произнольпой, а проекция второй вдоль вектора Р - равнаЩВ„."-~/щТочно так же дкя другого воэмоаного перемещения с('г будем иметьсй= 1'Р ~г, причем (ЙТ)е -элче. Состэвив разность двух всэмокных перемещений н Учитыэаа Условна Щз)г=бУлЦ,, Устанавливаем, что виРтУальное пеРемещенив для хинного момента времени и положении м будет равно Ви Иу-оу 4'Е-4,э, т.е.

оно будет ортогонельно нвктору Е (Рис. 4.). Итак, в рассматриваемом случае кинематичвская связь нестэционарна к виртуальное перемещение нв сонпадает ни с одним из возможных перемещений. Вектор ВР будет совпадать с возможным перемещением дзя "земороаеныой" кннаматичесхой связы, для Чего следует положить .и о и фшксировать время в чксле аргументов вектора Е .

3. Ч и с л о степеней с в о б о д ы системы, Вектор вартуельыого церемеиенкя ЗИ» точкк М в декартовых координатах характеризуется тремя ксмпонентамн Зл„ З~, ~"которые насыпаются такке вариацынми координат. Очевидно, что у системы, состоащей иэ к точек,имеется нсего З,н вариаций координат. Зги последние, однако, ие янляштса независимыми величинами: в силу условий (3.4).

наклашааемнх связями на виртуальные перемещения, онн связаны о 1 соотношениями Е "Юх" -о( с д...,Ю,ЛГ~Д дх =о (в=у„„,р), (ЗЛ) че дя" уг Ранее было выяснено, что существует отличный от нуля определитель 1 порядка д й, образованный иэ коэффициентов этих уравыеный. Поэтому даыйуш систему можно разрешить относительно ~~ й вариаций, соответствующих "зависимым" скоростям, выразив их через оствльные веээнисивезе вариации. Таам образом, у механической снстемн будет всегоя Зи-у-/с независимых вариаций. Число ц независимых варыэций координат называют числом степеней свободы механической системы.

ф4. Идеальные связи 1.Определение идеальных связей.Вене была даыа классификация связей, основанная на кинематическкх признаках, которые отрмзачи оссбеыности строения уравнений сзязи. '1Б Связи можно подразделять также и по динамическим признаиам, выражзющим нехоторые свойства движения. С втой целью введем в рассмотрение так называемую виртуальную работу реакций Й ЕЙ;Й„,В зависимости от значений атой величины ч снязи делятся на идеальные и неыдеэльные. Связи, наложенные на механическую систему, называют идеельнами, если сумма работ их реакций на любом виртуальном переыещении системы всегда равна нулю, т.е.

~", Я„БР„О (4. 1) ч и неидеальными, если эта работа отлична от нуля (4.2) ~;ьч„дз„Фб т Эта динамическая классификация независима от предмэуших кинематаческих класснфикаций связей, т.е. идеальная связь, например, виет быть в то же время как геометрической или кинематической, так и стационарной нли нестационарной связью. Класс идеальных связей играет в механике особенно важную роль, ибо в этом случае лля системы легко построить полную систему уравнений движения. 2. П р и м е р ы идеальных связей.

Рассмотрим некоторые простые примеры связей н выясним, что собою выражает требование их идеальности. а) Пусть движение точки подчинено идеальной связи, представлявшей собою некоторую, вообще подвижную, поверхность ~(~, В)= о. Ранее было выяснено, что в этом случае виртуальное перемещение есть любое элементарное перемещение, касающееся поверхности в данной точке. Из определения идеальности связи р егтщ вытекает, что ее реакция будет ортогонэльна виртуальному перемещению, т.е. она должна быть нормальна к поверхности: Л-лт)'.

В общем случае реакция поверхности имеет нормальную и тангенцнальную составляю%~э, Чтобы реакция поверхности была нормальна к ней, поверхность должна быть гла)цсой. Таким образом, идельность, в частности,обобщает понятие гладкости. Не следует, однако, думать, что класс идеальных геометрических связей исчерпывается связями беэ трения, такими,как гладкие поверхности и линии; он существенно шире, включая в себя ряд других связей. В качестве иллюстраций этих последних рассмотрим следую- 17 нвй п)амер. б) Пусть идеальной является ствцвонарная геометрическая связь, «вракевмзя еобсв постоянство расстоявкя между тачками МТ и МВ.

В данном случае ввртуальвне перемекенвя созпадавт с возможными перемекензямв. Рассматривая систему как некоторую модель твердого тела, будем иметь Ыу=ыеу— - 4Й,ФшдФ.Х~ОУ ~ы Ая) где С - среднеи точка отрезка М М2, М угловая скорость тела, асс,рд- относительные радиусы-векторы точек.

Из условия идеальности связи, представленного в форме 2, бх~йудзл =(А~Я ИЕ ~йнИ (У~И ~У кР )=О ввкду произвольности величав с%с, ЫМ, вытекает, что долкны разняться куда как главный вектор, так в главный момент реекцвй ~, Л,=О, р,*Л;у, Л,-б, (4.3) Отсюда юЩве. что ЛУс= ЛУл н Всл-У))едлЯсненовательно,2,=-Я~=Лчт-г) где л — неноторнй скалярный мноквтель. Таким образом, требование вдеельвоств связв в данном случае сводится к требованию равеяства модулей в протнвеположыестн нвправлеввя реакций и их коллннеарноств отрезку» соедвюнззему тОчки.

йегко выдать, чте такого рода связь может быть реализована в ваде нерастязнмого невесомого стержня МТМВ. Действитазьно, такой стержень находвтся под действием свл -.П, н-.йл, противоположных реазцвям. Пусть ст, о„ й и 1, - масса, ускорение центра ыасс, угловая скорость и центральный тензор ннерцвн стерзын.

Тогда вз уравнений двнкеввя стернин вас"- П~ Ул, . ГТ о~) ~~лГА)~РамГ Мл) в свлУ Условкйл о, 1с=о пРиходим к Равенствам (4.3), котоРые, как уке выясннлв, обеспечзвеют реакциям тРебуемые свойства. Из рассмотренного примера следует, что идеальнымк геометричесзкмв сзязямв будет обкапать всякая неизменяемая механическая снстзма - система матервальных точек, соединенных невесомыын нерастяккмззщ стерквямв, а гамзе важный частный случай последней - абсалютно твердое тело. е) Рассмотрвм теперь ндеельнув нестацвснарвув квнематкческув 18 связь (1.10), выражающую условие погоыи: Е к=о, б,=хл, Г =й-х~, у =х~, ыл—- .гд .

Сопоставление ограничения, налагаемого связью на виртуальное перемещение Е ° дй-б , н условия идеальности связиУ се=о позволяет заключить, что должно быть Л-,УЕ , т.е. реакция идеальыой квнематической связи должна быть коллинеарыа вектору е В общем случае реакция кинематической связи будет иметь коллинеарную и ортогональную к е составлявшие. Эту связь назовем "гладкой", если ортогональнен к е реакция отсутствует. Теперь легко видеть, что идеальность хинематнческой связи обобщает понятие "гледкссти" этой связи. В целом ряде случаев связи ыеидеельны. Это будет, например, всякий раэ, когда геометрические связи обладают трением нли упругостью, а кинематические связи — "негладкостью". Однако и в этвх случаях связы можно трактовать илеальныме, если относить все отклонения от идеальности (силы трения, силы упругости н пр.) к разряду неизвестных активных свл.