Лекции Бондарь часть 3 (Лекции Бондарь), страница 8

)ПМНа 2. Прсназсдная цО ВРЕМЕВИ От СКОрсотв тОЧКа ПО 66Общавкой скорости равна производной от сеетветствузщего радиуса-Вектора цо соответствуиаай обобщевяой координате ар. ак, — — (Р=У,...,И; б-~,.", л) (8.12) ау ац Леюа следует иэ соотяовеивя (8.9) после двЩеренцзроваяия обеих его частей по обобщекной скорости ф . д)йй(4 3, Операцки дюрйеревцнровавия радиуса-вектора точки по времеви и обобщенной координате коммутативкм. т.е. — — — (т.д...,М; т-д..,, и). (8.13) ат, б Уатт 4 а~г ацг (г Составим внраиеввя у ае„а г» а ме» атт аут ~~4 д~ а~ус= а~,.э~ $гга~ вс 'ас сы вчт м ь)тпу 9т атсуг Ие равенства правят. частей етвх соотновений следует равенство их левик частей, т.е.

равенство (8,13); лемее доказана. 9 9. Уравиеззя Лагранаа второго рода В настоящем параграйе устааозш удобнне уравнения, не седериащне реакций силан и сзукащве для определенна двзкекия голономвнх систем, в исследуем свойства етах уредназий. 1. В н в о д у р а в н е н и й. Рассмотрим двикенае головенка системы Ф материальных точек, подчиненное у геометрическим стаям. Яля получеяия уравнений двзиенвя этой системы будем исходить ие лагравкевнх уравиекий первого рода (5.4), которве в данном спр чае нмеит взд (9.1) (9.2) Покааем, что переход к обобщенннм коордкнатем позволяет ысклзчить вэ этих уравнений реакцкн и тем семнм получить уравнения для аахоадеяия одного только двниения.

)(ействительно, переход от декартовнх координат к обобщениям координатам прязодкт к тотдестзевкоыу знполвеюв уравнений связей (9.2) и тем сваю умекмзает ческе уревнекнй исследуем~ сиотемы. Дюл преобразозанвя к обобщенным кеордккатвм уравнений (9.1) умноинм кзкдое из нил скалярва на вектор зт" и просумввруем полученные результаты по всем точкам системы; в результате будем нметь ют бт д г ч " дсс- с Полученное соотношение уае не содерккт ревю(ий. В сюмю деле, ыспользУЯ Ранее Уотановиеивый РееУльтат (8Л) Зла-О(л 4...,зе))мссззу дкм, что содеркавие реюпюк чзенм образщвтск.в~нуль ЛЛ Ы='" — "=Г˄— -О.

а~ 39. Ву. йит др- .с "дзкг Преобразуем тепе1,ь остеввееся вырввевке. Первую сумму правой части (9.3) обозначают следузмвм обрезаю (9.5) и назызвот сбобщеыной силой. Что касаетса левей части равенства (9.3), то, используя выравение кинетической энергии овстемы дТ з' =Ел„ч„и применяя кинюзаткческие лювв (8.12) и (8,13), ее меач но преобразовать к удобному киду Л1,з„— — = — 2 п,у, — — л: ~м, ы„ и, аи„п ау„, т дй с~'69~ м „" "'а~~ ~ " "мз 69~ (9 8) I —,аР. др. и' дт ВТ = — ~ л„ры —, — ~~ л„р„—" =лс „" "'а~ т з 'з9 пт ье асс ' Подставляя результаты (9.4)-(9.6) в колодное равенстве (9.3) к имея з з~щу, что анелогкчаые сооткеаеывя магут бмть нелукавы длк любых значений о от 1 до и, прикодвм к уравнениям ат ВТ д9~ д9е — — — — =а Ссг 4..., и) У з (9.7) называемым уразнеявяыи Лаграыза втсропо рода.

Оии были уставовиены Лагрзнкем з 1788 голу. зтв уравнения озуаат дза налоидеввя фП- зцийо .и)ю'4 и), определнвщкл двккеыке системы. После отнскаквя дзииевия по уравкенизм (8.4) воино кейиз з,гз„й), откуда простзм юврреревцвревюаем получить ускорение а„з„. На конец, из уравнений двввезкя е„а„7„Р„; т 4...,Л()в катерки активные свлы Р известны, мовко оцредазить реакции Р„~п„о„-у„' Р А-,я), т.с.

полностью реаить задачу. 45 Яла записи лагранкевмх уравненвй в явном относительно функций. ),(й),, )„щ)виде киветвческущ энергию в обобщенные силы следует представить в обобщенных координатах. 2.Выракение киыетической энергии в обобщенных координатах.Подстевимввыраиение кинетической энергии значения скоростей по формулам (8.9), тогда будем иметь Песке очевидных преобразований этого выраиения найдем, что кн ветическая внергия будет слеЛУищей функцией вРемени , обобщенных координат в обобщенных скоростей ,' Т(~,~,~) =дЕа ~ а +Я,а а. ~а, (9.8) где полокеыо т- Т„.Т.Т., (9. 10) иэ которых Тя - квадратичная, Т - линейная, а 7' - форма нуле. вой степени обобщенивх скоростей: Тл= — ~~ а а Чт" 2Га уа, Тс-ас, (9.П) Как следует из полученных вырщзений, представление кинетической энергии в обобщенных координатах зависит кзк от выбора обобщенных координат, так н от вида связей.

В частности, для склерономыых систем время не входит явно з вырзкения радиусов-векторов точек через обобщенные координаты, поэтому †"вп(з ),...,а). В этом эе случае, очевидно,а; ро ~у,а -о, а, а(П;т г, „л), и вырехени кинетической энергии существенно упрощается: Тй),р)-ТлЦ,~)=ус~а Гу)ц.цт . (9.12) 46 (9.9) а„(т,~)-Бм„~" э — ''а ~'~)=~а ' эс',а~~~)=я~.м ° 8 а Легко видеть, что а а, т.е. матрица ковффициентов йа () симметрична. Формула (9.8) йсказывает, что кинетическая эыергия является квадратичввм полиноыом обобщенных скоростей. Энергию Т мсино представить такие в виде суьщы трех форм Такам обрезом, ианетическзя ввергая свлеровомяой системы валяется ивадратичвой дормез обобщеввых окорестей.

3. О б о 6 щ е и в ы е с а д и. Иия устааезвеяиа звреаезвй обсбаеэвмх свл з обобщевиых иоордвиатех эемеюи ввачале, что авт тивные силыУ,(й1,7)могут быть представлевм теиае в заде ф(вящий Ей,1,к)*у(р у,ф. Что касается проиэводвмх эйух-, то свв зависят от тех яе аргонавтов 4, ~ , что и раюц~сы-эейтсры точек. Из вмре аеныя (9.5) теперь уствэааэвэаем> что обобщеввые силы будут бвюь циями времеви, обсбшеыввх коордвват и обобщевиых свсроотей.

а(щу,~)-его й,й) — '-~- дг,й, ) ч " ' ' дус. (9.13) Лая выяснения мехаиического смысла обобщеююх свл рассмотрим в обобщенвых косрэиватэх выреаевие работы аитвзвых овд за Ъвртуельном перемещении системыМчТЕ;К>,Посиольву эвртуаэьвое аереммщеэие есть разность двух эоэмоаэых ыеремещеиий оэччм'э„-э(гч, а последние определяются зыреяевюва то эвртуаэьйое перемещеэве аредставюв теиае в виде яивейвей все~ бинэции вариаций обобщеивых иосрдюют д~е, Ф~( -сфг 6гч хч — 'до ('М Г„,ЯЕ), (9.14) м 99~ с Таким образом, звртузльибе церемещевие Ру„является звртуаиьннм двщеревциалом, т.е. двйферевцваэом щувюзп э„я~)при йаясароэаввом ("эеморояеывом") времеви. Геперь реботу8А мовво преобразовать сдедувщэм обреэем1 гА ~ту гу )чар дЬ) д д,й г (9 19) Отсюда вадим, что з зыратявии работы зелвчивы й язюются иеэйчмциевтамэ при зарвеоиях абобщеивых иоордивет подобво тсму, Иаа обще вые силн сэуяат иомЫэщиевтвюя при зарвецвях деиартозвх иоервиНат.

Этс ОботсэтазъотэО И Даст Оовсваззс Заэмзатэ ЗЕЛВЧВИЫ Юе. обсбшенвыми силзмв. Иэ выреиевия (9.15) ясно такие, что размерность обобщеиыей сизы (я . определяется раэмервостьш соответствующей обобщеваой иоорвиматы а .. Оне долава быть такой, чтобы провэведэяве $3~,имедо равмерность работы. Земстве, что дпя фактического вычислевия силы Й .вместо общей Формулы (9.13) в ряде случаев удобнее применять следующий прием.

Системе придают такое виртуальное перемещевие, пры котором полу- чает прирещевие только коордивата»»с., а остальные координаты сехравяытся ыеиэмеввыми. Тогда впртуельяэя работа активных сил, ъычвслеииая ыа таком специально выбранном перемещении, будет рэв- ваХ~ =О у~т, откуда сила находится в виде а ЕА4/$1» Рассмотрвм вилы обобщенных сил: а) Дрте)йд~~ае сиэы. Если обобщенные силы не эависят от обобщеи вых акарастей»р(т,у) и существует»руивцвл Пй,ч) такая, что силы рев вы ъэятым се эвайом мвыус проиэводвым от нее по координатам а~=- — (к- П,, я), аП (9.

18) бу те савы Я иаэыээвтса потеацыальэымы, е»йтэъция П - сстеяциэ»мм саэ вли потеациальяой эаергией. для потеициэльпых сил виртуальная работа (9.15) имеет ъырааевие КА=~а К~ --~ — г~ =-гл, ап с" с с ой. т.е. ова рэъиа вэятому со эваком минус виртуальному дащыревциаэу петевюиэльиой ввергая. — ЗП Заметим; что если потевциальяы обычяые актиъвые силы 1»„=--~ > те потевциазьюаю будут и обобщенвые силы.

)(ействительно, ~~-=БР— "=-Л! = —" -- — й=т,...,»»), — д-., ад аг аП ч " ду„т»»г„»)у (»ц и потеицвэл ебебщевиых сии пелучается вэ исходвого петевцэала эа- мевей перемеввых п(ц).п~~,к,((,»)Д; обратвое ие утверядевие вооб- ще иеъарве. ъ),Щйс»~стуесю» е саэ(ч Обобщеняые сиды называют гиросвопичесив- мв, сола раева аулы их моююсть (9. )7) .»)(" ~й о =о. о' »б Моищость обебщеыиых сил вообще отличается от мощности обычных »юлХ*Щ»„. В самом деле, виртуальное и воэмоивое перемещевие тачая съаэаяе ээъвси»встьы Йлл(,-»д»4(, поэтому иэ условия ) р„' дэ„ = 1т <р я следует В случае силерояомвых свстем э'" =(» (т ~ »»), поатоыу для ыих ас 48 обе мощности созпаивют Рассмотрим гироскоп. Ранее было выяснено, что на него действуют силы с глазным моментом, равным Йр=1<а, а~,), где 1-осевой ма~акт инерции гироскопа,аю, м Юз - соответственно скорость прецесав и скорость собственного вращения гироскопа; полнея скорость вращения при этом определяется выракенкем се=оою «М Для гироскопа (склерономная система) змеем ,т =ЕтЕ„' ч„- ГфГот~х„) ат М, 1Гсо~+от )(йсао)з) О, т.е.