Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 8

сравнивая затухаюцае и гармонические колебания, видим, что у гармонических колебаний размахи не меняются со временем. Период Т гарзонических колебаний равен уь †" . Представив вырэкение (9,32) периода затухаюцих колебаний в виде раца, получим соотношение мазду периодами 7; а Т: Т,=Т~у -ухЛх) т 1. Отсхяа ясна, что относительное увеличение периода за счет сспроткю лепна при Щ «1 будет иметь поряцок квадрата отношения "~», т.е. весьма мало. Таким образом, наличие малого сопротивления супественно изменяет картину собственанх гармонически колебаний: оно незначвтельно увеличивает период колебаний, по ннтенсввно гасит сэма колебания, 4 Собственное апе ио аческое еяие Исследуем собственное дввкенве точки под действием восатанавлвваюцей окчн в болыпой силн сопротивления.

Сопротивление дввиевию называют бсцьивм, если лгх . В случае пМ корни (9.8) харантеристического уравнения будут разлнчнае отрвнательвыми числами. Обозначив через о~= у'Р'-~, будем иметь для них внрэаенкя Л =-лтс), Лл---/г-о). Ураннение (9.23) собственного дввкения в этом случае будет вида. у -лц, ея -е» ~ „ап -м( .х,= — е 1о)х, ог та ).(в; лт,')1е -а ). (9.39) Если воспользоваться соотноиенвями, определяьщвми гаперболичеокие функпив ь -и =ХАМ, то уравнение двюхевия воино пренотавить в форме и'~ах х -Е~ (~'АМ -'~ — х М~ай Полонив, наконец, д,'=БМ В, '~ ' =БА,б, пряцацам усавнеиш давления слацухмай компактнай вид: -лГ .х,=бе М йл ~а). (9,39) Па(шметрн б и б определяюгоя аэ (9.39) через вачальнне даинне по формулец (с «лл ) -«>~х» тл"»« ' (9 40) Заметам, что уравнение (9.39) можно получить и йз следующих сообрэкенкй.

Порви Л, и Лл в рессмзтраэземом случае получаптся вз ссстэетстэуэвщх корней э случае малого сопротивэеная, если положить л=-«м . Полагая еще «=-»е, нейдем, что дююекке будет определяться уревненюпю (9,30), (9.31) в вэде -и» х =-ае Ал«(««(«б), а= —,т««лг )л ю«г, ф~»е)ч — ~.. (9,41) Из формул Зйлерэ (9.28) вытекает, что тригонометрические функция мнимого аргумента связаны с гвперболическюю функцияма действительного аргумента посредством соотвовеквй Ссс«'«=«4«, .8М«М-«Ам, «~«М= УМ с. (Э.42) Коли воспользоваться зтвык соотяовевюив, то легко задеть, что формулы (9.39) и (9.40) следуют аз соответстэумэих фо)юул (9.41).

Ток кэк «с 'л» то нз уравнения давками з форме (9.37) отчетливо видно, что собствеяное двакенае точки с течением времеви неогрююченно затухает, стреыясь к нули, т.е. колебаний в этом олучве не будет. Такое движение неэывзпг впериодаческвм. 1рвфик функции (9.40) в эавасювсти от веаичивы начального о~ клоненвя в начальной скорости эмеет ввд одной из крююх, изображенных вз рис.З (иэв крквнх, полученных иэ нэх зерквкьвнм отображением относительно оск Е ). 0 та>с, ч;со х,'>о ч,'>о » « '! >(з+ Рис.З В другом сзучае прв л=«корав (9.8) харэктериотичесаого урзэненэя оудут одвяековы и отрицательны Л/«Ля=А. =-д.

Собствеюве дююевве точка п)а этом определяетоя уравнением (9.26) в ваде > «« -«»Е т,«~Х ('~ ° л,')1]Е . Двикенис, описюиемое этим уравнением, токае апернодическое. Так как с ростом времени г'"~ убывает быстрее, чем растет ~ , то функция .г) убывает, асимптотически стремясь к нулю. Таким образом, и в атом случае собственное движение точки будет затухаюпим апериодичесхим движением. Еартина двшкения качественно будет иметь такой ке вид, как и на рис.З. Итак, собственное двкзенае точки будет незатухзюзвм колебанием только при полном отсутствни сопротивления движению. Наличие же сопротивления, пропорционазьного скорости, приводит к затуханию собственного дввжения.

Это затухание протекает весьма интенсивно, так что при достаточно большом времени после начала движения собственным движением точка допустимо пренебречь. На основании этого результата можно упростить исследование общего движения точка, огрзннчивпись исследованием вынужденного движения. 5о Вын энное вижение п ействием ической возы ей силн для выяснения вида вынужденного движения точки, лаваемого общими йюумулами (9.24) и (9.27), рассмотрим некоторые частные ввды зозмущаюзах сил. Остановимся вначале на исследовании простого и в то же время весьма интересного случая, когда возыущаищая сила изменяется по гармояическому закону: у(О=я Мя(р1+д) = —.ф — г ) (9.43) Рассмотрим отдельно случаи малого и большого сопротивлений.

При и Х, т.е. при мелом сопротинления, корни (9.8) ха)вктеристичесиого уравневвя раэлвчны Л =-чту.г, Л =-п-з.г, л =уй-К т ' л Вннувденное двииенае при этом определяется йюрмулой (9.24) в виде хг "~г~тг ля-г) -ькф-г) ф646 -~фГ~~) л;- ~ /е" Аялй-т)йл(рт+дУг=-„~~ ~г (е -е ф -г,Ь Произведя интегрирование покаэательнйх функций в последнем выраженви, оудем вметь , „у+~ г И сргМ, -М у ьг> -)ягела) ), —. ('~ — Ф ~$д а-сМр)( / л.,у„,, ( у,, -а$К(НЖ -с~й4 у т -л!-~~Яд) !1Р~М~ — к -г /- . ~~ -4' л-г'(юр) ~ сНЯ>р) Последовательно упростим зто выражение.

Приведем вначале правую часть равенства к общему знаменателю, имея в виду, что ]и-у(лр)]]ли(л-р))=Р рл-пар, ]а-~ар))]а )(л р)) л+р эйнар, ]и -с(л р)]]п э((лр)]]п ((л тр)]]он (к~р)] =(бар') л э яе~о~, -лЕ н соберем затем вывсте члены, содеуээамив мнокатель Г э в итога надаем т -а( л л / ~ГГ('~~ -ем~'~)1 т ,р ](~.л~рл~.Якр~~ол(йаф ~(ьл(л-ф ' змр4л-рл)л+4плрл! ~ -(яре яер)((и~ у(хднф ~ (о- цсбр))е )- уф~4 -дф~)) -()~~р ~йлр)((л~](лр)Е ~(а-с(лр))е )~ л л . ~о" ) с(~мнЬ ~ т(Й тр -лай(пм(л р~е ~(а-с(л.р)]г ]! нерегууппиронка членов н использование фо)зэул Эйлера даве х= л л л ы ]Й эр 1улр)(коек(л()-(лр)уа(л(М' -(к' ф4,Ыр)(а(ЗОН-д)-(Л+р)Ъл(Н-д~)] + -(Ар~+Ьфпвцру.4~к-р) Я ))]кб.р~Улр)]е ЯуУ ФМ+р)И сММ~.

представки далее функцеи аргументов. Н е о через Функции аргу- ментов.Ы и д по изнеотннм тригонометрическим фоувулам и приве- дем подобные члены, после чего оудем иметь Яе l +](44РЛ)Л вЂ” З~Ру~беф/ЬЭ~Л~~т ](и ЬР )Йф64-.У РГЕУ(Р(а)~. наконец, полонин )м рл ь.у =с'оФЕ, хЯлб, )/= 9.44) 6)сэта* ' 6мьму ' эг ' ' найдем, что вынуккенное двинские точки определнется уравнением .Г~ =-На ЛшМк)божа( — ~тбМ)~ула9е)ллАНАоlф +~)-б). (9.45) Б этом уравнении пеозое слагаемое опнсызает затухамзие колебание, происхолпэме с собственной частотой л, а второе слагаемое- гармоническое колебвнае, происходящее с частотой воэмущеищей салы о .

Устеяовзм далее характер вянузденяого двзаенвя точка при больном сопротивления п>Г. ПРИ Л>Х КОРНИ Лг В Л ХЕ(мятЕРяотнЧЕСКОГО УРЕВНЕНКЯ РЕВЛЯЧНЫ л=-и а~, л =-и-ы ю=у4л-гг т л 7 (9.46) и вннуглевное двваенне точка определяется той зе фо(музой (9.24), что к ярк мелом оопротквлензя. Ранее уяе отмечалось, что значения корней (9.46) моаво получать ие энвченвй корней яры мелом сопротивленка л,= -и -(л, л =-и - л , если в последках полозить л=-м> Следовательно, ввыузяеяное Давзеяве ври больном сопротивления л> Х опяснвветоя уравнением (9.45) после замены в вем я нв -й>, т.е.

уревненвем ~Г й~-4' ж Ф (,~~СМ~-Ю,й~~~б))й> 4ь~4 й~ М Замена тркговометркческвх функций >етвмого аргумента через гяперболзческке функция действнтельного аргументе но боумуляы (9.42) преобрввует урввневзя вынулденвого двакевяя к ф>(ме, яе оодеравщей мызных велачан х,=не [йище-ему+(Яхтмяб)~щ.ьйм))йафийлрук$в)(9.47) Поскольку п>а), то очевидно, что нервнй член в атон уревневзя оякснввет еяераодвческое евтухещее дввяекае( второй зе член оврвделяет гврысаячеояое колебевае, проясходящее с чвототой воемущввщей скан. Наконец, для звякай граница больного сопротквхення п=Х корав Л, к Лл совввдввт друг с другом и резвы Л,-Л -Л.=-А.

Внвуядевное двзаензе точкя опредехяетоя нра этом выреяекаем (9.27); для гврмсввческой воемущеищей свлы (9.43) сто вн)маевке выест ввд. бе с~ г~ кг ~б>гиг) -МРт~е! — ) й-т)я ('я -е )м. т- ят ./ Перемноанв еоквевтеяьаае фуякцяк я нрвыеязв метод нн Собирая вместе чхевн о ыноазтвяямз г, будем вмять ~-Р ~~(йр)а -(Ьр)а ~г-у;-у~бУ-47)а -У+Э)Г Я е —,— ~~И ф г -(~+ар) г Л,р! Перегруппировка членов и использование айлеровнх формул дает л = — ~-я ~1~мз~3 рад)+ л — л(<~-"р (днд-яфрсоф4~+ 'Р,-Вл '((йцР )% М"ф-~Мж«н«~)]~. Введем теперь величины Н я б, согласно форцулем (9.44); в свау ревенства и -4 . эти формулы првмут вид Хщсц Ир 4 Луб = —, рыб = —, и= —.

„,я л ' ~л~е ' еа~ Тогда уравнение вынукденыого дввкения воино предстввить в следующей компактной форне: л,=-На ~1(ГДлВ~ссГд)+Як(д-с3+Нйа(р~ В-б). (9,48) Поскольку а ~ убывает быстрее, чем растет 4 , первый член в втои уравнении описывает затухвмцее апериодвчеокое двякевие; второму ве члену соответствует га)ввническое колебевие с чвототой возмущамцей силн. Таквм обраеом, при нкцичии сопротивления вынуаденное двцаение точки, обусловленное действяеы гармонической ноэмуыамцей силы,предстакцяет собой суперпозиныю некоторого ватухамЦеГО Дникенвя, внц которого зависит от величины сопротивления в одного и того яе прв любом сопротивлении гв)щонического колебенвя х НАя(р1 ~с~-б), (9,49) частота которого совпедает с частотой воемуввцщей силн.

Тек как еатухвзщее двнкение убывает очень быстро дике прк незначительных силах сопротивления, то по истечении некоторого промекутке времени им мозно пренебречь и исследовать установваайся рекам, ОнаоннаЕМЫй Гярыоыыясонныы Кснсбявящця (9.49). Всмцуищмцая СИЛа Кая бы навязывает колебаниям точке свою частоту. 6 . Вын енине колебания и и величии с п тявлевия, рейонас~ Рассмотрим особенности вцщуяденного гармонического колебввия (9.49) г,=Н5~,<равд-е), Н= а л л. рл) .«„лрл 'г ~'-Р (В.ВО) цознщцакщего под действием гармонической возмущамцей силы. Ие формул (9.50) ясно, что амплитуда вынукденных кслебянвй Н, е такие селяченп С', хора«терязухщая сдвиг Фазы вынукденных колеоений по -5!- отношению к 4азе возмущахщей сялы, определяются только характеристиками дейстэуцких сил и, следовательно, нс зависят от начальных условий движения.

Если ввести обозначения л И = -иле .Г л то эти величины можно представить в Форме (9.Я ) Отсщна видно, что амплитуда зынулденных колебаний и сдвиг 4аэ зависят от двух безразмерных парвеетров: относительной частоты эозмущацкей силы .у и коз44ицнента сопротивления ы Исследуем изменение амплитуды эынухденныч колебаний в занискчости от иэмеыения .г для л го, считая параметр к Фикснроаанным. Праде всего ясно, что при л-.о , «=Н„ неэависньв от величины к устанонзм энстремуыы Функции Н(л) .