Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 3

(3,1) В кинематике было установлено, что скорость а уокоренае точки относвтельно всякой, в том чноле внерцввльвой, системы отсчета епределяетон соответственно через первую а вторуы провзюдвые пло времена от редвуоа — вектора точка в этой системе с ="тй, а =Я В скэу этих соотвсяенай, жкок (3.1) монет быть предотяваеа в ване т — л~ =Г(г, т,с7-). (3,2) Это равенство в является ди44ерэвцваэьяж уравнением дэааеввя свободной тоща в векторной фо)ээе относательно ннэрцкаэьной састемы отсчета.

Око связывает меаду собою векторвув фувкцыв у(1) н ее первую в вторую производные по времена. В теорак дяффэренцвальвнх уравненвй порэдком уравнения назывввт порядок входящей в него старээй производной. Согласно этому определенны, уреженае (3.2) является двфВеревцаакьвим урежанвем второго порздка. 20, е евка во Кек всякое векторное соотяоаенае ° освожое уредненке двввмв— ка (3.1) в фкксароввнной координатной системе эквивалентно трем скалярным уревввмвж. Установка вэд этвх пооледжх. Пусть выерпванжсй окстеюй отсчета яжяетск некоторая ортего- ВЕЛЬВЕЯ КРанспэыэйнаа Сыотеж Кссрдкнат Ц„щл, У .

КРВЮЛВНЕВКНЕ кссрнвввтн ~„~„,~~ связаны с декартсвыык косравйвтэж лн.гл,лл -13- посредством соотношений .~ы = "- Ф ~ 9 9з) Считаем, что зти функцвв в области своего определения трнвды непрерывно дш)яеренцкруемы и удовлетворякт услонвш функцвональной незеэвсшезстэ ~с9,,9л,9,) В коорцвнатном базисе кркволвнейной системы а,, рл а, входящие в (3.1) векторы мовно представвть в ввде рээзовенвй: ГдЕ т' и' а', Г' ~Ы ы!,2,3> ОбсэыанаИЕ фкэкязонйз Ксыцсяэйтн ы соответственно радиуса-вектора, скоростя, ускорения к силы. Так как у ранних векторов равны одноныенные компоненты во всякой системе коорцвнет, то венторное равенство (3.1 ) в системе 9,, 9, 9 энвввэлентно трем соотношениям: та' = Г'~Г. г' а') бы=да,у).

(3.3) В нннеыатвке было устзновзено, что элементы координатного бвавсе определяштся выракенююк у ду бн= яд.у) Ф 4- д9ы в которых коэр(шцвентн Ламе явцяштся известнымв функцнямв обобщеяных коорцянат: ~.Ж 9. 9,)- Е('9.) Поэтому фязнческве компоненты радиуса-вейторэ могут быть вырзвевы в юще следуицвх функцвй обобщенных коорцвнат: т 19,9 9)= 7 У л — -- — Я вЂ” ~ (о=цду) у м~" у а ' Что кзсэется фкзяческях коййон7йтов скогрос7й н ускорепю, то овн определяштся через обобщенные скорости 9 в обобщевяне ускорещвя (~,(гочка ввд велвчвной означает, нэк обычно, двф)еревпвровеняе по временн) следузююа кквемэтнческвыя формулэмн: а "~ 9„, -У 'уу„~(я Ж9 39=9.)9 С учетом всех этвх ээвнсвмостей легко устэноввть, что фкзвческие компоненты свлы будут фузкцюпа вреыены„обобщенных коорцвнат в обобщенных скоростей: И 7 ш ) = г /1,9,9) ~ы" ~~О Зцесь символы 9 и 9 означвзн соответственно тройки аргументов 9 9ю9з 9 9л 9з Таким обрезом, уравненвям ~З.З) мозно придать ющ с т)л 9 'у( Я(Х 9ы ~ 9е)9с).

Г ~19,у) Г~.лц4(3,4) -14- полученные Урезненяя называют двф(ерекцяазьн>еэя урввзеныямв дввкенвя точки в ортогоналмс>х крзволякейных коорккнатвх. Система (3.4) является ззмкнутой: она содервыт трв уравнения к слулвт для определения трех функцвй с =у„>() >ь>-ьдл). Если устенозлеяя ззмкнутзя скстемв дйфференцввльных урвввеввй, опнсывапзкх некоторое явление, то говорят, что поотроевв мвтемктвчеокзя модель данного явленяя.

С этой точки зренвя урвкнеывя (3.4) определяют математическую модель "матеряэльнея точка". Уравнения двмэеякя (3.4) выполвявтоя з провзвольнсй ортогональной криюлынейной системе коорявдат. Прв рмпеявк кекой кабо зедвчя обычно выбирают конкретный вкд координатной систеэз> вз тех сообрзкенкй, чтобы в ней некболее просто вырввазяоь кс>як>кенты сняв, Из ортогональних крыволвнейкых коорккнвтных смогем вэоьаэ употребительной является цвлкндрвческея системе. Семой унотребвтельной является прямоугольная декартове свстемз кооряквзт. Ниве мы приведем ввд дыффереяцвзлъных уревненвй двквеняя точки в зтвх двух системзх. Зо. ьные ненвя вкве з Првмем, что ортогонакьной крвзолвяекяоя системой коорввввт яв- ляется цвквдкрвчеснвя система:с,= э, с„= е, с>„= л . Тоща, кек быво устзновйено в ккнематвке, коэф(ицкеяты Лвме вмевт эввченвв, Л, 1, Я, = т, Я,=1. Еслв еме црняять для компонентов овлы в цвлвкдрвчеэ.

квх осях обнчвые сбоэнвченвя Р =я> > Г=Г, Г Г~, то урввыенмэ (3.4) после очеакдвых уцроаенкй срйиут вкд т(т- > У~) = Р Р >, В, л, т, а, л), (3,5) >ч(тля>В)рр>(1 ля э яд) -.>л а,ьв,л, т, в',л). Уравненвя (3.5) называют двф)ереяцвваь>па>я уревненвямв дввке- нвя точкв в цвмв(ярвческкх координатах. ввкенвя в екз о косоййуатй)( Рвссмотрвы другой частный случай, когда а качестве ортогональной крвюлвнейкой свстемы взята пр>в>оугодьнэя декартова светою: у, =л, с у, с> ьл.

В етом случае воэф(мцвенты Лвме, как взвеотно, обремзвтоя в едвнвцу: Л>=1, Лл 1> Л, 1, к уревненвя (3.4) о Учетом обознвчеякй Г"=Р', Р' = ~~, У'= Г~ яркнкмввт вдд -1Ь- тл =Г <Г,.х,~,л, л',у,л), пи~ =у' (дж,у, л, х 5' л) (3.6) тл =Р~ (дл,ч,л д У Д) Уравнения (3.6) называютбя ди44Френцкальнымн уравнениями двнке- ния точкы в декартовых коорцинатах, 0 помонью индексного обозначения коорцинат л=л„у..т,, л:г, эти уравнения могут быть представлены в следующей коипактной 4ормеэ тл» =К «,л,х) Г~=ХД3) (3,6') где положено Г„» Г„(»»1,2,3), а снмволыл а х означала соот- ветственно тройки аргументов л, лл х н 5с.

Естественные ьнне вненвя викенвя. Лля полученвя днрререяпиальных уравнений дввиения точки в какой-либо ортогональной криволинейной системе коорцинат, входимэве в векторное уравнение движения (3.1), векторы раскладывалиоь в коорцвнатном базисе атой системы. При раосмотрении ряда вопросов оказывается удобнее полвзовзтьоя двуреренпаальнвми урзвненяямн, полученными разложением векторов в естественном базисе, связанном с траеитораей точки. Обозначим, кэл и в квнематике ° через г,, с,, т» орты естественных осей. Тогда прецстазления радаусв-вектора, скорости, ускорения я овлн в естественном базисе будут иметь вцц Е=,Гг т, с» х.с„" т, а» Еа„9~, Р»х Р'„Е».

В свау 6сновного закона"дняамйки (3.1),"вектор произведения масси точки яа ее ускоренве равен вектору скин, понтону будут ранам и соответствумцае компоненты этих векторов в естественных осях,то есть ~па» =Г Г1'та с» ) Г'=ЦД4 (3 7) Естественные компоненты скороста и ускорения определяютоя следуцмими кянематическвми формулаэвэ: где д — расстояние точки, т.е. взятая со завком плюс или мвяус длкна дуга тРаектории, отсчитываемая до данной точки от некоторой 4аксврованной точки, принятой за начальную, а * - кривизна траекторви. Для получеавя выралеввй коыпоневт т' воспользуеыоя разлсменаем элементов естественного базиса ч;, ~., г, в базисе,Г,ул,Х; прмагугольвой декартовой састеын коорцинат т»ю.у Х» Ф-цм). -16- Влеоь ) -матраца зыуезеетоа чеРез ейлеровы Углы (4, (~л, Я, определящве о(иевтецав еотестзеанык осей отвосателью осей докер С- зсй сабтеыы, согласно 4ормулвм (10.9) чести 1: ° р)4сср(~ -д;,(4бет(л ал)4 А ~на)ранрби~усч4,4е(43~9~ 3.3) 1~„/= вЮЮдл) -.( )4 ~„счн)9 —.ьчмд а бирс» лм «,Ьеа Ф -.

Ал(7 %А'тз «'Ф» жчр Теперь ясно, что естественные коюовента рвдвуов-конторе аюмт мцма 1 ~ 1 ° т; = ~у~,г у' т (;кур ~ь л,уз) к, следовательно, яыипиоя Фуйкцйвмк декартсзыл коорцювет точки а ейлерозых углов. Врию а ресотоянае авееаы еезаоеюомав:х ю(С), г-гю. Внмепрвзедеяяые состаовеная покеокяат предстезвтз естественные компоненты снлы в заае ФуакпЮ Р~й. те,п')-р "Ухабу)- Р„Ол~л) 6~ лд4 в придать урелнензнм (3.7) одну аз сладулв(ик Форм: л5 р~ (г,х,)~,Л, лсл — =~Г (л, т,)е,3), ..с ~-е .~ „1л„,с-с „) ~3.9) с = у ей,х, К у), с Р ~ ~д.г, (4 ф .

урезйеаня (3.9) зеензеки естеотзелий1в дввмммеозм~а дн($а)ми- цзельвнмн у)мзневввык дисковая точки Естественные урезвеиая сблвкеат 1мдом оообевисстМ. Ие вик, в чеотноотз, звлво, что бане)мвкмпй каповент овны зоец(в резни Ну лз. 3то означает, что траектория дзакуцейся воД деаотвием овны)Р овободвса точка тексла, что ооптмккоевмаяся паоскость зовце со- де)наг з себе ету сазу. )(Рутой особенасстьа урезаеазй (3.9) яалн- етоя то обстоятельство, что снз обрец(вт везмимутуй свстмф~.Д~Й- стзательво, етв урезневзя сзяэызвпт кадку собов восемь 49зкпаз: у', »,,ле у лт.(дл),е двккеиЫ зоего т)а.

лля пост)ламин модели "метерввпная то ив" саотему естествевимк урелмапй веобзспвмо зевнуть, кобелин к вви нексстеиаке урезкеазя, содеркапее те ие 49мкцаа. В квчестле атак посла(нкк мокао веять киваатаческае урию ненни (10.11) и (10.12) первой частию л Сербе'М(4-ЬЛФС™(ФД Ю лл' М» ц, ~|ЩРоЦтбсбргаЩ.З рл с~~ с ефР~ (3 10) 'лщ дл)~ де(л, "6~~ -у-лф~л а"б. -17 Последние урззненвя содеризт новую тункцяю л — кручение траектории Нтск, система урззненкй (3.9) и (3.10) заюшяутз: з ней девять ;Охпшенкй, содериащих левать йункпий: »,»,л, (.... « »»з) Ютестзенные дшэяения двккенвя особенно удобны для использования з тех случаях, когда иэ каках;либо сосбрсаений заранее известно т,"векторна точки.