Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 4

В этих случаях она нередко позволяют получать эесьыэ экьектн'е решения различных задач. 6~. Основные з зчк внаыики то'ав. йв(берез~шальные уравнения дзвиенвя точки дают зозыолность ре- шсть дзе основные задачи - тек называние пряную и обратную зада- чи лкнеынки. В пряной эздзче по иэзестчпа» уравнениям двшеения точки опреде- ляется дейстэуюзая .нз нее сила. В обратной эедзче эздзюг силу я нечзльное состояние точка и определязю уравнения двккеная точки. К зтвы закачав сводится решение шногих иятересвях а званых меха- нических проблем.

Некоторые из ник будут рассмотрены з лальнейзем. Пряная к обратная зеКачк не Равнозначны по трудвоста . Если пер- вая аз нкх решается сравнительно легко, то вторая зесьыа трудна, в зналиткческое ревенве ее з общин случае неизвестно; его полно найти при честных видах свл, но деве з этих случаях.решенае задачи требует значительных усвлай. В салу отмеченных особенностей вто- рая задача является в давешние главной, 9 4. Опредешенне силн по зз(ппп»сну двикенвю 1с. 0 еленке силн з завасаноо от в ва Рвссыотраы теперь подробнее прзную эздечу данаизза.

Будем всходить аз того, что для точки вассы т задано двкювке в какой кабо вне(юяальиой 6астеме отсчета, например, в ортогональной криволинейной систеые коорпвнет с,, с», р с помощью уравнений лввкед =у„ж (' = »д4 (4.1) Отнооательно $увкцвй с„( ( ) предполегеем, что ова дзвиды непрервно дюйфереяцаруеиы. Покзиеы, что зтнх двнянх достаточно для яазюшденик свин. й фй р нц рован в шенк урав вай (й,1) н ходки обсбщ нные скорости а обобщенные ускорения точки з виде с =у„(( ),у„-рб -18 (ю =(,2,3). 3янотаЮ, Чтс уСЮОЗая НЕ фувКцаи ~,(Ю ) ОбЕОПЮЬ- чнзепт суаестзозенае а непрерызнооть скорости в уокореная з забой момент времени.

В скюу уравнений (4.1), будут вззеотзюаюк функциями зреюенк токае козф)ум(кенты Ламе Л„(() Л Еч (()! (ю 1,2,3). Обрешеясь далее к да$$еренцвяльннм урезвевкююм дзааеиая тоаи з ортогонельных кРизолинейнык кооРКЯизтех (3.4), найдем, что компоненты свлы опрюиелавтоя кек фркцав нреююена пооредотасм аирмюеиайю У,'„Ф='сю1~~~ "ЛЛ Е(т у Я "ЕГ ~ю~~е1 ЮЫ ЮД4 (4 2) текам обрезом, по напевной меоое в уразненамю двавеааа одиоенечно определяетоя з кяяднй момент еревана дейстнумювя аа точку сале, 2о. Оп ел е о а н Форнуян (4.2) ПОЕЗОЛянт ЗЫЧасяатЬ свау З Лпбай ММЮМЮт ЗРЕМЕВаю однако оня ннчеююю не говорят о фюмючеокой пюмрове овны. То есть етв формулы не ссдерюет наневой мяфюрмкцва о том, зависят ака вет селе от полоаенвя точки йлк от ее окороотк, ккн от того в другого вместе.

С другой стороны, рьзревая, ивпрамер, еезаоаюоота ф, ~у,((), с, = ю,( ( ) относительно времена, монне понукать ввреаеаая времена чеРез координату с, иле окоРооть и, а, олниозатяюьио, уотеиовать эезнскмссть сипы от полонения точка ваа от ее оиороота. Текам образом, з рассмотренной ситуации возысавн различные ям(вменив днв сняв, в нет оснований преюпюочеоть одно аз иак другому. чтобы иметь зомяавость одаоевечио опредеемть зенон дяк сады, т.е.

опреаелать Р кяк фуавцаа г, ю в юг, мено, сквеинеетсв, видения чвотного двавеная точки; требуетоя задавать достаточно аарокяй класс днакевай, е змеино, дзинькая, еезасюекее от енота ароаззольныю параметров. В самом деле, пусть динкеяае точка ендеао в заде $,=~„й,бу, .,А,) Гс ЛЮ, (4 3) где г'„(~ =1....,6) - провеволыюне пе)мыетрн. Будам очатеть, что эта Функция дневки непрернюмо дафререяпарумяю в текозм, что отзвчен от нуля опредеавтель ююнь кебы Ж'ю пе,бю,~'ю,ююмФ (4.4) 'сгде, действуя мвюеаеяокеяяювю спооосом, уотеяозаы дая компонентов силы вырванная (4.2), аевнсаюве от времена в от азота параыетроз: ,г = ~ 0,ю'..

.с",) (ы= (дМ . (Я,Б) -19- Раосмстрзм овстему нести урэмчензй, состомзум вэ ураввензй (4.3) и сзекущах урввзенай, получеввнх даЩюревцарозэнвем (4.3) ио времени: О,= У„ИД,,О.) Г -ЗДВ Уозопве (4.4) опеопечкнеет реэреаююсть зтоп сиотюю отвооа- телькс зэюэюв су (» 1,...,8). Фектачески реэразеп сэстему, юм(у чюч ээюнюеостз с'„~с„' ( т,Д,ф ) ( У чХ ° . ° °,8).

ИсзлачаВ, ийкскем, С ЮЗКЮЬВ Этпк ссстнсеювай зэ (4.3) пзремэтрм Ф, уотэзсчюм Зэков длн силн в ЮЮО Р' -Г (У,р,ю) (ас- ддл) Получеююе Фюрмуаз ревене звучу, 3эмэтюч, что если дзппепае ччуюп днуме(зюэ а п)юзюиадт, напри- мер, ВВ зоордаюювой позертзсста уо ччэЫ', то,очевидно, юо во зое зреюч дзвнэвзп 4)э о, ф; о, Ф М ф,сл) га АМ, (4б) а тоща аэ 4юрпю (4.2) зптекаэт, что тРетзй юиюоиезт ок.' том- ДООЧЧЮППО РЭЗОП ВУЗВЧ Я~ 'О И этом случке длн устекопзевюч ЗВКОна Веаэаеван Силн достатсч- зо ээдеть четирезпэрзмет(ечеоззй класо дзаиенай у„Я,( м,п„пл, С .сУ) ( с =1,2), псдчакезвкс уолозаи ~й.й~.Ы Ю~. (4,7) л~ю,с~~,юю эу) Нэйстэательно, первне пзэ коююнента сала, согласно (4.2) а (4.б) ° Оулут спрппелптьсп вМРвкю~юпю, ээиномзюю от зремева а от 34' .

гй,'.. к'И, ьп„п,Д)= ЕМУ„' у~- Е(дЗ~У„- 3 — фУ1 мбд). Внрээав пареветра Чсреэ Зрюм, Зссрпзпетк И скороотв зэ сиотэчЮ урююеазй )(с ~„И,сс ОЗФч су), 9.с Я~йбс~ ~ЪЯ..оч) 4-4Л), что Вмщу )ОВОзап (4,7) зсэтда мозно сделать> псзГячлю ЗЗВВсююстк си~ ф( т ° )ь уЯ~ф ф~ ф ул) ( Р а1, 2,3р4) ° О ПОМСВЬВ Псторкз уотэшэ лазеэтсп псксчюй Зенон Взмепезю% скзп В заде ~~"-Г„'И,ц,.ц,,д,,4л) Ы-да), Уу "Э. лпзлощчпс, прв обвею)юсм двина(аа точна, прозюлюпюем, онн- ием, щоль ксорзмютпсй ливии ),, достаточно зэдэть дв)чюрамэт(ю- ческвй клесс дзипепзй О, )~,й,п~,с,), подчинив сто уолозав ф~ фо.

(4 8) Тоща аоксмэп звмспюю)юсоть длн оаэи устююкзззпетоа фэр~.леан 3;" т(Ц, +ф ф= у*74,д,ф), ю,"-ю;.с, -йа ,С е,- =г~ ч~ Соотоявная г, кэк легко э|деть, песет смысл удвоенной зелнчвны ;екторноа скороста. яя осяозвнкк второго ээконэ трэекторыямя планет являются конвэескзе еченая с общзм )опус<в. Помещая нэчэяо цилиндрической сиосемы косрканпт з этот осыка Фокус, мокко представить урэвненвя копкческвх сеченвй э энде 1 "его !а~,б) (6.2) Состояныые Р в г носят неэзанвя соответственно переметра а скспентрксктетэ конвческого сечения, онв определяют конкретный эяч сеченнч; юстояннея зе «опредехяет рэсполокенве коначеского сечевая отяосатехько полярной осв.

наконец, по третьему векову для всех плэвет постоянно отковечне а — сс с(, (6.3) :ДЕ череЗ а Обознвчеяэ болваня полуосЬ орбвты плэнеты, э через Т - нервов сбращенвя плеяеты вокруг Солнца. Уравнение ',6.1) с учетом рэлевстве :..2) янтегрвруется в определяет зеввскюсть мекку временем к пслярньм углом» Е-(69 р,б я с) ° Я Я= сеют, (6,4) .,яя резных твпоз орбвт эте эаввсамость зырзкзется через эленеятчрвме фуввцав по раэяачяым Яо)ззудем. Формукм (6.2) в (6.4) явкямтоя урвнкенвянв дзккеяня пкаветы в сольркых кооркяяатэх, в кото)щх арена н полярный угох поневялась .. лама. Эта уравнения соде)мят пять параметров: м,щг, (, р .Однако пе все ока яезэвасав Лейотвателъяо, вз формул (6.4) ввдво, что период обременяя плэнетм моает быть зыревен через зтк ве ппрзметры.

дреме того, параметр акккпоа р и его зкоцеятрасвтет е сэяэыкн с полуощщв млвпсе а к й эеквскмостяма ,с= —, г= — - —; а= — — б= — (6 6) ~а~я бя,с Р а ' а ' у-гх ф~2 Ссетозетельно, третвй зеков (6.3) связывает пять пареметроз одным ссотноаенкем, так что везаваааэкав будут только четыре аз нвх,валркмер, с е г д гакам образом, кмьзерозы закова опредехяэм четырехпкреютрачеочкй клесо плесках дяавевай кээяет.

Опрекелктель (4.7), согяаою невесткой теореме авекяэа, ноак» предстепэгь э ваде прокэведеввя авух опредакателей Мт,В т, в) т)Гт,в,т,в! ЭГт,т.те,т„> ,Зс,е,г,л) дат,ц т„ф) габте,ц 4) связкам с ыеремавиымв к г, тв, тл Так иск неременные т,в, т, в зависимостями т=т, в=всВ, т--и, в'- —, т У те тл то первый ыз определителей о учетты (6.1) разек т)('т, в, т, в) с'" вгт, с, т„т,) = тт что касается второго определытеая, то, асыоыьеуя еезыоатеоти (6.6), (6.4) и формулы, полученные даффереяцвровавяем этик зависимостей по углу В, будем иметь ы ,~, , > А~,,со Р Таким обрезом, оыределктаыь (4.7) а данком случке отличая ет яуля Ф7,в,т в) гс т в~с,е, с, 6 вл' Следовательно, постоянные м,т, с в 4 могут бить имревевм ча рез величины г,в, т, в 2о ел е и о Займемся тенора онрадмекыем иакова дыя свин, дейотыумаей ва станету. Воопользуемм длк етого дмфферевциальыата уравиеквае дикаенкя точка н цадика)ычеокид коордюатак (3.5): "тЯ-тВ ), Р' -"сс!'тв~втв) ~» стл (6 6) В скт)' условия Л О, осевой нотюокект силы равен нули; р„-в Далее нетрудно убекатьоя и том, что выполвввсть иакова виоцадей (6.1) мечет эа ообои обреямтне ы куль траисиеровлтвого компонента сати.

Дейставтмыв, и.-= — ~т в)=- уу =а ст,т и т тс стт т Н Наконец, для аичвслевая оотазиагооя радиального коытовемта силы перейдем а анракекни (6.6) от цереметыой т к переменной в . Исаользуя зеков яиоиадей, легко колонны формулы сут ' в с(т т ту' и —,тв о тл,тр — г,тв т сх т тз с помощьв которых выракеыие для силы всяко представить в Форме Рйс" с,» / (Б.7) Полученное уравнение ыазнвашт 4о)юулой Бане.

Эта 4ормула позволяет з4фектизно получить закон для снлы. В самом деле, в силу уравнения орбиты (6.2) справедливы равенства е с~~ т 1 — — — »ты~в») Р Р ,~в т т поэтому сюю (6.7) будет равна ЯФ Г=-,»»вЂ” » т т» Р (6 8) Таким обрезом, параметры планеты воиии в зырзкеыие силы в виде некоторой коыбивацви, обозначеююй через,и . Для 4зксироваыной планеты все параметры, а сющовательно в,и , имеют постояныое значение. Для окоюательяого решения задачи следует вы(азить постсяннуш ,и через обобщапюе кооркннаты в обобщенные скорости.