Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 7

Составим диф(вреицивльное уравненве двиаенвя точки л с, =-бх,—,ал, "Ся) После деленая на массу йредставвм уравнение двикения в форме л тялх .~лил =у(~), (9.1) где введены следушние обоэначенвя: Хл с, Я„~~г тб) Ж~~ (9,2) Коэф)шциент Х характеризует восстаиавлзвешьуш салу, коеф)ицдент а - силу сопротивления, а врличина ЭЮ - вомеущююуш силу. Начальные уоловея двикенвн аыешт шш( х,бо)= х~, хуго) = су, (9.3) Лействушцая сила у;--бл, -,а.т, ' аа) непрерывна по времени а непре- рывно дифферевцаруема по координатам и скоростью. по теореме 22 задача Коша (9,1), (9.3) в атом случае имеет едякотвевное решение, Соотношение (9.1) предстевняет собою неоднородное линейное дшр- ференниальное уравяевае второго порядка.

Пусть х,~ является каюю- либо его частным решеююм, а л и х,"- суть частные ремнями одно- родного уравнения х,тЯяш,+,(.х, о, (9,4) соответотвушцего уравнении (9.1). Тогда общим решением адяородноТо уравнения (9.4) будет линейная комбввацвя двух его частных реиевю( -хт бгд~ +~яхт .

(9.9) Общее ке решенае исходного уравнения (9.1) складывается из его частного решения а общего резания соответствухмего однородного уравнения, т.е. равно -х~ =() хт + 'л~~ (9. 6) где сешл - произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям (9.3).

Частные решения уравнения (9.4) юкио искать в виде л;=н где Л - постоянный параметр. тогда л,=ле, т,=л л, и уравлс - .~ м пенне (9.4) прнывмает ввд ел'У~ Ясл Лл) =о . Отохца следует уравнение Л"-Ялл.Ял =, (9.7) называеюе характеристическвм. Норки характеристического уравнения имеют значения =-ат)Л л-ял" ьл (9.8) Если зти корни различные л тл , то частными решениями (9.4) будут функции х,'=е ' ,х,"=е~л~ , а общее ранение (9.5) представится внракением г, = (', ы ' ~сл с""', (9.9) Если корни (9.8) одяааковые ,4=Лл=л, , то этим присном получаем только одно чаотное решение т, =рл ~ .

Однако нетрудно убедиться в том, что в етом случае решением (9.4) будет такие функцвя . '=]ыЛ'. / )(ействительно, простое вычксленае показывает, что х, =е"'~(у 'Л.й х,'= е ЛЛМ.+Л,'д Следовательно, х',~-Ящ тЯ .г ны (Я(Л а]~ЦЛ, ~ЯлЛ,М)]=о, л ЛЯ так как существование кратного корня Л, характерастического урав- нения (9.7) вчечет за собой выполненве тоадеств кул,) = Л~ ЯлЛ,МО, У' 6),)аЯ(Л, п)ьа !9.10) Етан, прн равных корнях характеристического уравнения общим реше- нием уравнения (9.4) будет мцмиение Л) =ГС', Я ])ЕЛЛ (9,11) Для отысканвя частного решенвн исходного неоднородного уравне- ния (9.1) воспользуемся методом вариециа постоянных.

Согласно ето- му методу, нукно в общем решении соответствухщего однородного урав- нения считать с', и Ял функциями вршеенн и подобрать вх так, что- оы удовлетворялось уравненве (9.1). (9.16) При л,Флт везем х,"=б,г«~ сне "л, х,'=л,с,е~Ал гае~~) ~4г"' ~сдала( ((одчиним яскоьпю Щункция с',Ю и су0 условию бчн« ~бяи ~ ью (9.12) и найдем вторую производную .г ' . С учетом (9.12) будем иметь Х, = Л,б,я тЛ С,г ~Л,бЕ Л,4Е я лу л ллз 4г лз$ Снося зыракення л,', .т,' и Р; в уравнение (9.1) я производя при- ведение подобных чкенов, найдем Л,з . Лет с,л,е ' 'с,лке =,[к). (9.13) Равенатза (9.12) и (9.13) предстазияют собой систему двух ачге- браических уравнений относительно иеличян с; и с~, говение системы имеет вяд г -ляг б,= — е '7Ю, сУ- — Е убб .

«" а А-ле ;(нтегрнровением этих зависимостей получаем дая вскомых функций с,б) и ели) иыраарння т ,, ) ) [ -л~г )с - ...т) у [е латук)Ыг, л,-лл/ ' ' 4-лил О о в которнх постоянные интегрирования взяты равными нулю. Такам обра- зом, частное ревенко х,' мозно взять и езде о л,п-т) ллц-т) д =л~ ([е ' -е л )ума'г (9.16) При Л,-Л =Л, аналогичный способ дает .х,'=[с,+геене~', л','=и ~с,+)на+ба л.Ц-бя01, покатая д,+)с', =о, находим с учетом этого уояовия хне" [б+л.д) б,,ц1, х",-е [л.[кб лд л.сл))+41.

Теперь уравнение (9,1) ддя а доотаиит другое уравнение дди 6уавций г,г(), ск®: б у®. 4) (9.17) Из (9.16) в (9.17) оразу находим осознавания -«( — лл б =-[Н ~®, 4 чв ОП7; их интегрирование дает с СЮ=-/те «сот)оу, с~И)=/е огг гг. о о Решение г' ыоано представить теперь в одной из следуцмкх форм: / с с лд ' -л„т -л,ч .т,'=е 1-)'тг "уатт~~/е 'ум)от)' (9.18) нлв л,'= / (ц-т) г 9Ф)т; (9.19) Итак, для слувя различных корней характеристического уравнения (9.7) общее решение уравнения (9.1) имеет шш( л,=с)е ' олг' „— „)(г ' -г ) ут)м- (9.20) лл л г ) Г л,ш-т) л,я-г) В случае ке равных корней соответствуцщее решенве будет вдца л,р ' 4Ш-т) х, =Т~аачл 1П т)н )наг (9.21) определим постоянные янтегрированвя по начальнмц условием (9.3). Рассмотрим вначале случей л,Фл . Тогда двикение точки описывается урэвнеяием (9.20), а ее скорость имеет вид л,) Л ) ~ р) лЛет) .л Л-г) .т,=ЛЛС)Е ' Л Гци" „— ц)('Л,Е -Л„т )Ут)от В силу условий (9.3), велнчйны с) йг определяются вз уравнений Л, =бган, и =Л,С, Ллсл и вмеют значения шал,х, у ц лц- Ь лл-лц Решеыием задачи Коши (9.1), (9.3), следовательно, будет функция ), Лл) Л,), Л) Лц( Л!Г1т) Лц~т-т) с ;=л л )л,"(л,л"-л„ы') к(г -е')+~(а -Я',)УЯФ~(9.22) Первйе Ьа члена правой части о х, =л —, (' и, Яг — ла ) с~ (е е -щ л))', (9 23) а л) )ц ЛЛ лл( глл обусловценные действйем восстенавливамцей силы и силн сопротивления, называют собственнны дцнкениеы точка.

Последний ке член ) г' л,И-т) ~(7-т) .х,= — / (а — Р )уж)суч (9.24) 4 лц,l вознвкает за счет действия возмущацщей снлы, его называют вынукденным двикением точнл. В другом случае при Л,=ЛЛ=Л, двнкение определяется уравнением (9.21 ), а скорость — внрэленяем .г',=(' +л,(с, г))) лл3еллй')1) л.и-т)) Постоянные с', и гц находятся нз условий (9,3) в вике а о о .г, Ш =о — Л лл. Таким образом, решение задачи Коши (9.1), (9.3) в этом случае будет иметь ввд х, =Л.х,'+Я'-л,х,'Яе~ +~И-г)ел'~~ В~фг)лг (9.26) В получеявом уревяенвы соботвеввое в внкуадеввое дюиеывя точка спределявтоя ооответствевяо вы)аяэщввю: х,=Ел,'а-л.0+ ц()я~~, (9 26) х,=~ Й-т)п ' угг)4г. (9.27) Текам обревю, уставовэев следущюй реэупьтвтг пра дейотвав восстввевкюыпщей, то)щоэяаей и воемуавмэей овл, ююревлевввх вдоль некоторой п)акой а начальной скороотк, ккуаей вдоль атой прэеой, точке совериеет слозыое прввлввейвое двакевве, предстеаляхщее собой суяе~аоэзцив собствевных к вввувдеявых дввкеывй.

Найденные ураввеявя дмюеяая поэволявт ээкэвчвть, что характер дюиенвя точки суыестввнно ээвасвт кев от экечеаай коэррацаеытов восстанавливающей к торвэящей оак, тек а от ющв воэмуыяхщей скпв уФ) . Попелем, что п)щ определеюпщ эввчеввях эткх велачыя точка ооверюет колебатеэьвое двакевве; в другкс ке счучвях дввщ:вые будет вметь еперводаческоа характер.

Вначале асследгем сооствевкое двюввке точка, е затем - вывуадеввое двакевве. 3 Иэучем собственное двкэевве то пю в олучве, когда вв вес меесте с восстенавлявехщей былой дейотвует мелея сала сопротывлввая, Сопротввхевке двакеввв назовем малым, если л<Х . В этом случае корав (9.6) хвректервствчеокого уреввеыав будут реэлвчювю в вщюлексвымы.

Полакав .г=у'лл- л, представая ых в 4о)ще А -а+ с',и т л -л-г.г. л Формула (9.23) определяет ообствеввое дввыеыве точки в ваде сгР -тлг ьэ( -ай ,г,=л —,, ~(лх,'(а +е )+брег,')(е -~ ). С ~омояьв Фо)мул Вйлера ( ~ -ЕО( сас "фС Ы +Ы -Ж'е(т~~, п -е Ф Я(А'с ( (9 26) уреввенае дэаыевва моаво преобрвэоветь л; = е "(х,'~'облб + ~,е йл~-г4. (9 29) Если эае полоаать ,х,' астлы ( — -~ =дОщ~Ы, г'~~ лх то уревяевае дввкеаыя правят оковчателющм "~~~ -«Г .«, = а « эча Г«(,ы), (9.30) в пото;ой величины а и .~ определяются чсрсэ начальнне данные ьыГлчениямн Пэ вида уравноняя ~9.30) следует, что опнсываеьюе им собствен- нос двиксние точки будет колебательным, так как синус есть функция периодическая. Иаличие в уравнении ынокнтеля «приводит к тому, что разыахи колебаний убывают со временем, стремясь к нулю. Поэто- му эти колебания называют зэтуюэаамк, Таком образом, под действиом восстснаапимгслей и малой торыозя- пей сил точка совершает затухашиие иолсбэния.

рэссиотрим харчкте- ристикн эстухэпяих колеоанк(. Пеличину T= (9.32) )йлел явияюиуюся периодом тригонометрической части уравнения (9.30) не- знвают периодон зптухааиих колебаний. ( з вырзвення (9.32) видно, что период зэтухатшнх колебаний вполне определяется харэктеристи- кеми сил и самой точки, следоютельно, от начальных условий движе- ния пе эатноит. Это свойство колебаний называют изохронностью. Ко- з(пзпщент при синусе в уравнении (9.30) -лг Л=ае (9.33) играет роль амплитуды колебаний.

Эаметим, однако, что эта величина не совпадает э наиболышш|И ОткЛояЕННЯМИ точки В Соответотвуюпяе ьюыенты времени, будучи несколько больше их. действительно, при ааибольшем отклонении скорость точки обращается э нуль, поэтому соответствуюлие моменты времени (' определяются из уравнения -лг г =а« ~«до~(лУ+м)-аАл(«/~ )=о в виде Уу(Ж ~ ~)= -,—, (9.34) Следовательно, Аа ~.«у+~ы) . л «», и максимальное отклонение бу- дет равно -лу .« /г,"/-а« " -лР Поскольку .гав«, иэ последнего равенства вытекает, чтоа«, ст,'/. доследуем характер убывания со временем размахов колебаний.

Оора- тимся к соотношению (9.34). Легко видеть, что если оно удсюлетво- ряется в момент Р , то оно удовлетворяется и в ьюмент Ф"=Фг Ь= Ф и $Т, . Поэтому модули ~х,'! и )х,у / дв)х последователь- ных ыаксимальнгх отклонений будут веять значения )=~)=с«-"~ «и у «ыу .шя.лы~туг),с~ у 1~« lлт -44- Следоэатэльно, ) /И~ /~ -~~Т, ! т.е. величины максимальных отклонений затухаюпкх кслэбзввй убьют по закону геометрачеокой прогрессвн, т.е. взсьма быстро. Энамзна.- тель отой прогрсссва ео 'называют декремэнтом колебаний. Ооответствзнно величину (Лче '(=ЛТ, называют логарв(мвчеоквм декремев- -"/я Т и том.

"АМПЛИтуда" А В йаэа Лт т С ЗэтуХамэаХ КОЛЕбанай, КаК ЗтО Окэдует аэ формул (9.31), эавасят от параметров задача а от начальных условна. Уравненае двэкенвя (9.30) позволяет эаквкмать, что-ае л -л1 .у -о лл,~ал ° Линии л,=ае в л,=-аг нааывают амплатуднмэн. Очэнвдно, что графак эатухаюцвх колебаввй располагазтся мзацу амплнт3о~- ними лннвямв( ого вад показан на рнс.1. Рас.1. Рас.2 Рассмотрнм прецельаьв( саучай собствэнннх колебзввй, когда оозщотавленне дввазввю отсутствует. Тогда л-о; прв этом ю-.(, к уравнение колебаний (9.30) првввмазт м(ц' л, =аял (л( тм), (9.36) где, соглаоно (9.31), 'Ф -Р;, (9,36) Урввзннэ (9.36) опрацакяэт веэатухахщаз га)ввввчэоннэ колабаная с амплитудой а, круговой частотой Х я начальной фазой с График гармонических колебаний имеет взд обычной синусовдм; он изобразюн на рис.2.