Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 6

Подстанозка выраиений (8.9) в уравнения (8.7) приводит к частному рщзению системы уравнений (8.4), удовлетнорямзему начальным условиям (8.2), в инке с,=у,~ту,у) Ф= ,'Х.~). Таким образом, диКеренциальные уравнения совместно с начальнымз условиями, как и утверхцается теоремой 22, определяют единственнсо дзииение точки. 40 Инте азы ений зикения (в'=1,2,9) 0;-нн цз способов решения основной задачи динамики основан на отыскании так называемых интегралов системы дифйеренциальннх урав- чензй (8,4).

зависимость вида с~цс,ф) =и Р сс~мГ, обязательно - ;сркащая хотя бы олпу скорость и тскдестиенно удов- л:тю,ряюьел п(а любом рекении «) = у„ я ( с =1,2,3) систеым урав- к=ний (8.4), называется первым интегралом стих уравнений, Система первых интегралов )за,с,с) = ся (~- хяц. -, Е) (8,10) -=отсс чечззксвиой по координатам и скоростям, если отличен от з .. ~чцконзльный определитель ')~Н 'Ф, Ь.'|~,(юЮ (8.11) "Ъ 9л Тз.9г.9яф) :слп гвкиы--пбо путем получена система вести независимых парных гпг'тр.-озс: И,10), то, разрезая их относительно координат и скорсо- тзц, что , таку (8.11 ) полно сделать, получим из них общее сешенив урс ч.нис хзижения и скорости точки и захе ~ =д а,сь,с' ), д =ф, И,с'е ., е) йтьЯУ).

йо общему ке ранению и начальнны услоииям, как было прод".цснст- рпрсссно всюе, определяется единственное двакение точки. К некоторых случаях общее рещение системы уравнений(8.4) ыоиет быть установлено иным путем. Трк первых интеграла (я~т,с,с)=г ~8.12) наэнвешт незазаоавма по окороотям, если отличен от аула функцио- нальный оцредецатець 4Ы .Ь ьцс ес В этом случае систему (8.12) моаво разраавть относательшз сиороо- тей и получить эависвмоотв вада Ъ-ф «,~„фл,~„бябя,б,) (. 1,2,3) . (8.13) Таким образом, знание трех неэависаацх первых автеграаов системз уравнений (8.4) позволяет заменить интегрвровавве снстеиы трех уравнений второго порядка интегрированием систецац трех уравнений, но уле не)мого перника, и тем сава существенно црсдввяутьоя цо пути получения общего решенвя исходной системы. Первый интеграл уравнений (8.13) ам~,~~ д боа.ф) ш, и б Ф, обязательно содерашцвй хотя бы одну коорцкнату, называется вторым интегралом уравнений (8.4).

Система вторых вятегралов Ф(2,У„Уя,У„4ьая,с') =В ( с =1,2,3) (8,14) называется независимой нри отличном от нуля определителе ~~~,а Ф~ ~й" 9 9! Система трех неэавасмиых вторых интегралов определяет общее ре- шение исходной системы уравнений в мш(е С,=) ад,С,,б,,бьяк,я) (Е (,2,3) и совместно с начацьннм~ условиями (5.2) позволяет получить единст- венное решение обратной динамической задача. В заключение отметим, что отыскание первых и вторых антеграаов имеет еще и то манов аначение, что для реаеная рида конкретных задач механики оказывается доотаточнвм найти только некоторые аз нас (иногда дэие адин), что оущественно укрощает цродеоо решения. 5о Решение об гной ачи с использованием естественннх вязкий Пусть эодзны сиза свошев еотественныик комцонентвма, маооа точзэ ц цц(иыотры, опредашппцае ее начальное состояние: Р' =Г (4л,ф(л), ~п,х',~ф,у,З' (я=1,2,3) (8,15) ,:атеем, что функции Г~~'дл,му) двзады непрерывно дифферевщв; ешы.

Воспользуемся естественнюа дмрферендаакькцмв урвиыенввма дввкенвк: динамическими (3.9) и ккнеметкческвми (3.10). Пк основании третьего димюического уревыения о=~~' ('щ~, м, у) (8,16) семь функций 3,«, у (м =1,2,3) свяккнм меиду собой соотноиеююм Следоветельыо, ие етых функций незввиоюю только весть. пусть выполнено условие ~~/ яс .

тогда зквасимость (8.18) щи позволяет определить мл кэн непрерывно дмр)еренцирущяув функции $ = $ у~« . «л,«л, Ь ф, г) (8.17) Теперь нетрудно усмотреть, что второе динамическое уравнение и одно из квнеметическвх уравнений гР=~"и,«,~,у), '~~ = ' ь ° рессмотреююе совместно с ооотноаением (8.17) в о другюю уравнениями (3.9) и (3.10), определязн, вообще говоря, кривизну и кручение в ююе следухщих непрерывно дмр)еренцпруеюа функций; К КЫ«ь«л,«„~ф,ф,у), Л=«(У«~ гл «юф,ф,)) (8.18) Остевеюеся естественные дмрреренцвельные уравнения мозно пред» ставать в виде следуылей нормальной системы: Ыс ) е Ых, с7Т мУ ~ ' Ж и 'е г и (~~' (8.19) ущ = г — ~ ~ ~ ~=жсф~мт +лмфсю(филя Я-=Г-.ГсУ~«.Ь ф, 8.,-'= жмУ « в которой величины с е, мл, Г а л определены ооответстиенво формулами (8.15), (8.17) и (8.18).

Толовая не силы обеспечивают непрерывность прквнх частей сиотеыы (8.19) по времени а вх непрерыввув днфферевцвруемооть по «,,«л, «, (4, (~л, л . В свау теоремы 4 правой чаоти, существует едннотвевное реваае системы х=«„~З) Гы.хщл), У,=7)б).Ч,=У,и>, «-ЗО), (8.20) удовлетворякщее ыачаюяпю уоковюю (8.15). Зевиокмооть маяку временем и рксотоююем уотавквкивкется антегрировением равенства ) «р): ~ с~« Аг) ' (8.21] Дли вехсзщщюя естествевюа уравнений оаюй триектореи подставам величины (8.20) в фориулы (8.18), тогда получим г= л(у), «Р) ° Наконец, уравнение дввкенвя по траектории волучаетоя обрмвензем ееввсвмости (8.21) в виде г=у(Ю .

Текам обрезом, эвдвчв ромене: по силе к начальному состояния точка устепозхене ее т)маиоуая в уравнение двакензя по траектория. Если нснпонентн силн веденн кек двеадн непрермено даффер4ццаруеине функцвн другах переменках Гесс,х,у,у), то рмеенве еадвчп проаэводптоя внелогачно. Однако теперь удобнее поаьвоввтыа еотеотвенннмк уревненпама в другой форме. Твк второй ейаеров угол, краваенв к кручение неходатоя ие уревяеянй =~ Н,,ДУ), хР-Р'К,д,х), Д=хм РК, (8.22) в вяхе непрернвю дзфферевцвруемнх функций схедуаанх переменках: у„=Ч«х, оЧ,,у), Г=хя,.х,Ч,.

д,у), м-.гй,.~,у,ф,4. (8,Ю) Нормельвув систему уревнамй (8.19) возьмем в фо(ме — = Ъ (мааса~~-ялгфобуд Ооа~, (8.24) -у~~= Хулсят~ев(ф~авнРРйу(фдл(6) Я=у~ - с~~хы'Ф ~~=зл'"6 ь' б. В свау юходвнх двнюм я еевясеюстей (8.23), условна теорема 4 ввполненм а в этом случае, так что оуществует едвнотвеввое реаевав задачи Ксан (8.24) п (8.15)1 х х,Ю Фс=бд У), ~4=4%, фаей), х "Утй). (8 25) Уревневае днзкеяая по трректорва нехсдптсв теперь квадратурой р-~1аМ.

(8.26) Что квсветоя к)мваевн в крученая, то ова опреденавтоя ве (8.23) а (8.25) в мще фующвй времена М*ИО, «-РИ) . )(вя ювучевпп еотествеввнх уравнений треекто)мк з обнчвой фо)ме сяедует обратвть функцаа (8.26) 1=(Ж, попке чего проотой подстеяозкой ввйдем; е=тм, м -.~л). ф 9. Лваееяае под подоткнем воостеавзааавмаей, тормсвяпей и юемумп33аей оях. Рассмотрим )мд преверов реаевая обратной евдвча дпввнзяа, представнямавх а оемоотсятеаьвнй нагорно. Нечаев о п)оотейнего превхавейаого двввеввя. Еокеаем, что в ряде случаев нрм дейотнаа Зв точку восстанавлавзцщей, тормозащей к вощцущамцей снл она сонеркает прямолинейное колебательное двкценке.

Колебания представляю один из наиболее распространенных видов движевия. Изучение свойств колебательного двикения важно для понимания многих механических н физических явценкй. Весьма важна роль теории колебаний и в инженерном деле. В настоящем параграф будут исслацованы некоторые вазные особенности простейцих задов этого движении. 1 условие и олынейностн викения Критервй првьюлинейности дюецения точки устанавливает следую- щая теорема. ~Тео иа 23. Чтобы дююение свободной материальной точки было прямолинейню, необходимо к достаточно, чтобы действуцщая сила име- ла постоянное направление, а начальная скорость быца направлена параллельно сжце или равна нули.

Доказатецьотвз. Будем рассматривать движение точки относительно декартовой системы координат х„лл, л, в наптщввм ось хт так, чтобы она проходила через начальное положение точки в направлении начальной скорости. Тогда при прямолинейном движении точки ицоль оси т, во все время дююення х„=.т, -о .

Следовательно, жц= х = о, и из дщрреренциальннх уравнений движения получаем, что Р' = тх = о, ~~= лы = о, Я т.е. что сила должна быть направцейа по осн ж~ . Йтак, необходи- мость установцена. Достаточность. Пусть сила и начальная скорость направлены вдоль оси г, . Тогда у' =у'вщ и .хл=ж =о . Из дщИерендиаць- ных уревнений двкцеыня имеем х =о, л„- о ° Интегрируя зти урав- ненвя, получаем .т„=г, т,= пл В силу начальных условий с,=гл- = о, следовательно, л,= о, л, то . Иытегрнруя второй раз, находим х =~', л,=б„, т.е. траекторией точки являешься прзмая линия, парал- лельная оси .т, . В частности, если в начальный момент точка нахо- днлась на осн л,, то с' =г„= о, и траекторией точки будет осьщ. Теорема доказана.

2 П ейное зижеыие точки по ействием восстанавлива ей то ей а воз ей снл Рассмотриы дввкение точки масси ж , когда на нее действужт восстанавливаыцак и зозиущащцая силы и сила сопротивления. Восстанавлимщцей называют силу г' =-сИ , направленнув и неподв1юному центру 0 и пропорпнональнув рассТоянию до этого центра. 3та сила стремятся вернуть точку в пояснение О, где оюю равна ну- ли, т.е. восстановить полоаение равновесия.

К числу тюсю ски от носятся, например, упругие салы, еленушкин закону Гуин. Сила ооаро- тнвлепкя Я = —,и Р вропорцнонельва скорости и неяртвлена против двнкения. Зтв села тормоаат двнкеыие точка. Такой закон сопротив- ления имеет место прн неболышк скоростях давленая. Нвконецл вое- мущашхея навввавт силу 6= ай), нзмеюмюушся с теченаем времюю.

Сне нарушает, "воемушает" то двикенве точки, которое она првобрелв под действеем восстенеатввашхей свлы и силы сояротяеления. Фувкдиш а ® полагаем непрешсюой. Будем считать, что все силн: восствнакиивюшюя, возмувяхщея и свлз сопротивления - направаены тяоль оси х,; крае того, прююм, Чтс В Нанахивмй МОМЕНТ 1ес тОЧКа НЕХОДИЛаСЬ На ООИ Л, В ПОаО- кении .с,' и.двигалась вдоль атой оси со скоростьв Н' . На осно- вании теорема 23 хватание точки будет прямолвнейюю и будет проио- ходить вдоля оси л, .