Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 9

Экетремуму н соответствует экстремум противоположного типа подкоренного выражения У( )е(у-.у5 1ы"д . Вычисляя производные от ) по Л , будем иметь ('=(~л(лл «-д~л)1 ~'=с(лх~-(у-ук~)1. Функция ( имеет экстремум пра ('=о, т.е. при ~,=о и приял=~~-.Р Пусть сопротивление достаточно мало, так что рс у , т.в. лк — ~» . Тогда оба корня ~, и Лз зещественны.

По знаку второй признанной Р у"(л) =-у(у-д~л)(о, уу(яд=г0-ук ) ~о устанавливаем, что у' достигает минимума э точнв .и и максииума з точке Я, , причем ( =,((л,) =~, ~,„=~(л„) = М~- Ь. Следозателыо, амплитуда Н при д, имеет минимум, а при Х максимум, и эти экстремумы имеют значения и =и /( пил о т мел Луф' „е7 На интерэале л, <щелк произноднан ('» о, следовательно,Функция ( убывает, а аьщлйтуда /( растет. Напротив, на другом интер- зале,у еле, ('~о, поэтому ..астет (, а убызаетН .

Наконец, при .у — , ,ч-ц Что касается влияния сопротивление на амплитуду Ф , то из Формулы (9.48) нщкно, что при данном н амплитуде будет тем меньше, чем болвпе к . Если сопротивление не является достзто во ьщгпы, так что Кг(уй., т.е. при л э Ое, имеется только одна зкстрщэ ьчь-52- ная точка л; . В ней ~'>с, следовательно, Функция~ достигает ыянвмума ~,.-.~ц)=~, а аьаьхятуда,Ч - маковы)сза Н -Н,, дзя всех полокятельннх л, ура, поэтому с ростом л дл) моно- тонно растет, в аыпхятуда монотонно убивает ° стремясь к аулы. График Функции Н~гр) при раззнчных значенвнх ы, даваемой Фор- мулоя (9.51), показан на рис.4.

И/н, 3 4 о д я о " о 1 Рве.5 иэ граФмка вняно, что безрззые)мвя амплитуда выкраденных колебаний ~~~, прм ям(, т.е. при малых частотах возмущамаей саян, првыерно, равна едяняце; пря лМ, т.е. цря больных частотах воэмущвмаей силы, она блквка к нулю, н только пря Х-у, т.е. пря р-(, амплитуда ПН, ревко возрастает до больных нелв ин. йзяение вовраотавяя аыплктуды вынуэдэнннх гв)моняческнх колебаний пря чаототе возмущакщей силы, бнязкой к частоте соботвенвых колебаний, называется резонансом. Прк реаояаное возыущакщая сиза действует "в такт" с соостзенныыи колебаниями точки, что приводят к особенно сильному ее раскачиэанню. зсследуем теперь сдвиг Фаз б, определяемй Формулой (9.51).

При л=у имеем ф~б=-, б- '~';, т.с. пои резонансе сдвиг баз равен уя для лэбого зн;ченяя с; прн лес и при Л=, токае неээвяснчс от ы, нахоша;;о)- с,, (-Рн . Постээгля проз водную убекцаемся в том, что оне половктельна прк лхбых значенвях л к ю, следовательно, Б монотонновоэрзстаетот нуля до я о ростам л от нуля до бесконечности. Зевкскыость сдвиге фез с от параметров л к э, давееыэя фо(мулой (9.5(), представлена на рис.5. Кэк видно кэ гребэва прк мелых частотах, т.е. при л «), дезы выяугдевных колебэнвй к возмувдищей силы црымерно ссвпэдэхп) прв я=у, т.е. прк резовзыое, эти фезы сдвинуты на /я, а при большых частотах л») сцлвг фез првблицеется к тг . Грефвкв фуыкпвй (9.Я) покязывеют, что в олу яе змлсго сопротивления в области, достаточно удалевкой от резокввса, значеквя Н к Е весьме мазо зэвасят от ы . Это позволяет прк малом сопротквхевкк к пры Х, энэчвтельыо отлвчащемся от ецвнвпы, ве учитывать ылкяыве оопротввлеывя ке эцкивтуду и сдввг фыэ вьауюжеязых колебелвй.

7 . с Заметки, что прк отсутствии сопротввлеяця, т.е. прв я=и=о фо)мулы (9.51) для Н к б првмваат ыцц о прк у<у Н= — = б= 'Ъ п)м (9. 52) а-л'/ ил-рФ ' т.е. кмпцктудв Н к сдцмг фез г стэкоыцтоя реэрывэымв фуыкпвяыв. Прв резовевсе, котервй вмеет место п)а я=с, Н- ы выракеыве (9.50) для выыувцеввых колебэкзй теряет смысх. Одвыко прв оа сутстввв сопротиепеюи, оба члене в фо)муле (9.45) для вывувдевкого дввкевкя будут гермоввчеоквмв волебэывямк, поэтому выыуздеккые колебаввя в етом случке следует определять выревеыкем Г = — у ~-(йлс~аолГГ ~-ф сея/АлН)+Ам(р(+д)1. (9,59) Я / йцр Иолы имеет изото резонанс, то р=,(, к вырекевве для выкукдево ноге колеоевкя представляет собой яеопределевность вдца р . Раскрывэя неопределеявость по вэвестясму преввлу (зэмеыяя чвсхвтель к знаменатель кх прояаводвыми по р ), нейдем, что вывукденыые колебания прк резонансе будут определяться уравнением -г = ~ ~-~ селд5~пН "ГСФдх+с61 = хбеятлийЛ~СЬФ42(9.54) Я зк, зынувдеыное колебание прщ отсутствии сопротюзценвя сущестсенго отличается от соответотвувцего колебаввя прв наавчвк сопро"квлспвя: если при п~' размехк колебаний были хотя к зкэчвтель- нымн, но огранвченнюзн, то прв л-в онв могут быть сколь утодзо болымма, бла4годаря ланейной занасмюств от времеви "амплвтуды" колебаывй /ц .

Графвк резонаноного комбанка (9.54) для случая сЬЯ~~ покаавн на рис.б. Рко, а Вс Пнекйй. Рассмотрнм вне характер двакенкя точки при отоутстввв ооаротввленвя вблизи реаовавоа. а вменно, будем очатвть, что чвототв зынулденных колебаний мело отлвчаетоя от собственной частоты, т.е. разность Л-р=р зеоьма мала по сравнению о Х Примем для простоты (ассмотренвя, что начальнан фаза Ф= ул. Тогда уравнение взмувденных комбанка точка прв отоутставв аопротавнення (9.53) примет внд Л~= — з (борр( -Сю~уе). у~р ы силу ыалостк величавы р, будут справедливы соотношения )л рл=(л-р)и р) =ц (И р) = ьр, ~ р(~.,и й~ ~~-5)уу ~~-я~и~Ц( С учетом этих соотношений уранненае вынунденных колебавзй мовно предстазнть в форме л,=А<Оупй(д АЯ=щйпф.

4 (9.55) Поскольку ~~» значительно менызе Х , то функция А (( ) изменяется со временем медленно по сранненвм с функцкей НоХР ° Поэтому за время одного пернеле ) = ~~» функцию А (т ) мокко раосметрызать кек постояннув, прн етом кожбанвя х, -Ау и (( моано трактовать как гармонические колебанвя с "амплитудой"А . "4мплатуда" А ( г ) медленно изменяется со временем от нуля до нанболь- -55- ней величины ~Л~с, Колебания такого типа называют биениями.

Их график показан нэ рис.7. А, ~ х= — Я Рт АЯ. ( Рве.7 9 Внн евное з евве ействкем и взвольн пе во ческе вс ей силы Резонанс я. -го Яйййвв Рассмотрим теперь вынукденное двккение точки, даваемое фореулвыы (9.24), (9.27), в болев общем случае, когда возмущавцвя свлв 7(г) является лхбой непрерывной периодической функцкей периода Уьу~. Прн весьма общвх дополнительных предполокенвях, нэпрвмер, Р' требовэввв кусочяой гладкости, фувкцвя 7п7 разлагаетоя в абсолютно к рявномеряо сходящейся ряд Фурье: 9Ю= А Г(д С601Р Втъит 1 ) (9.66) =я з котором коэффвцвевты определяются через сему функнвю фо)ээулээа т г А=-е-I (т)бсдРртсй (7=64 .) В=4)агг)йа~ргс(т~~=хд...). с т.)Ч ,)'у Если ввести обознеченвя Аг=4ус'4 Вг =~с''ы4 то ряд (9.56) мокко представить в более комнектной форе: о(т)= — +7.» у (~рт+4) .

л с (9.67) Первое олвхщемсе ряха "Ул не играет сущеотвевной роли, поэтому в двэьвейвем нрвмем А, а Отдельные члены реда (9.57) нээываютоя гармониками: анвчеввям У =1,2, 'в т.д. соответствуют гармсввкк первого, втоРого в т.д. порядков. Пусть для онрэяеленноств сопротввлевве мело, т.е. а'Х . Тогда Лок э-щт гя, н ввнуздеввое дввэенве определяется формулой (9.' 4) з мю(е -л( х,= — ' /я л «-г)ул.) тг.

(9.68) Известно, что если нее чненн ряда умнокнть нв одну к ту ке огРа- нкченнув в реосметрвьмемой облеота йункпав, Равномерная сходюость сохреяяетоя, н ряд асано яочневно внтеграронвть. Следокетеяьно, выреаенне (9.68) еквкваневтвр оледумнему Равенству: .х =2,' — / и Зы,н«-т)дс«рг.с~)ат. т .,/ Квдпнй кз ннтегрниов в етом Равенстве точно такого ке тапа, квк и интеграл, рассютреяннй ь пункте 6. Испольеуя прамевенвю там способ интегрированна, получаем ((ЯЯж(4~,)уЕ,Н~ <г-~,)/А я( ~аевлЕЕНЗЫУ-б,)!'У~//.Уп(УФ'4 Яс)~ г с ~ ~ с где 4 Явер l~ = (се = Ф=44 ..) . ' ~Я ЯТБ*~Р' из это ремеякя вндво, что тек ке, кек в в сьучве гермонкчесной нозмущеимей силн, двв нервах слнгеемнх полученного внрвкевая со временем стремятся к нулю, а устеяоввнвееся двяненве точна опреде- ляется 4юртулой -х =,), Н Ам ((р( "д' - е ) .

(9.60) Анелогвчннм способом мозно уотеноввть, что а прв болюса сопротва- ленкн двнкенке будет скнеднввтьон нз еетухвзцего двккеввя, которое бнстро убивает, к ае нееатухепнего дввкення, опредедяеюго карава- нном (9.60). Таким образом, фо)ееула (9.60) определяет уотввоваюееса кюум- денное двяненае точки вра прояевояьной перксднчеокой юамуеЮанй силе а при лабом сопротнвлеван. Это дннкенае яаняетоя оуперповадкей гврюнячеокнх колебаний о чвстотема кретннмн р, соответотвуа- щнх герюначескнм состевщпмнм воем)щМваей анан. Боли собственная чеототв равна частоте одной аз гврюнан возму- щающей силн, т.е. у=гр, то я(,, я и,= = 4(, 4=-, и ~ -я гармоника рессютранвемнх вннузденннх колебаний будет „г -" х Ап('И / — /й) г М м (9.6() Из этой 4юрмулы следует, что амплитуда с -й гармоники оудет тем болыце, чем меньше сопроривление а .

Если еще величина Ф~ не слшпком мала, то дробь Ф/у„,~ будет весьма большой. Зто явленяе резкого воз)истекая амплитуды 1 -й гармоники занузданного колебавия пра собственной частоте, совпадаюцей с чаототой с -й гарьюники возмуыапцей силы, называют реаонансом у -го порядка. Все частоты р, определящцне йореулой р=г~~ ( у =1,х,...), называют критическими частотами возмуяаюцей силы. Соответствумцие им колебание называют резонансными колебаниями. Обычно значительными бывают только резонансы ниэивх порадков,.

так как при большвх значениях б величины Я,, как правило, весьма мацы. При резонансе У -го порцдка все гармоники в 4ю(эцуле (9.60) будут малы по сравнеавю с Г -й гармоникой; пренебрегая имк, придем к йормуле (9.61). Следовательно, пра ярко внраиенноы резонансе с -го порядка вынулденные колебания будут приблиценно гармоническвыв. Тес)щя занузданных колебаний выест мвого званых прилояений з раэличыых областях 4иэыка и техники (акустика, радвотехника, сейомог)е4шя, проблеем виброзэщиты разлачных сооруиений и т.д.). При этоы широко используется явценае резонанса, повисающее даие при малой величвне воыауаамцей сизы получать иытенсввнне внвузденные колебания, а танке другое вязкое свойство агах колебаний, повволяхщее, наоборот, даве прш большвх эяачеыиах возыущаацей силн, сделать ашлитуду вынудцевиых колебаний очень юлой за счет такого подбора собственной чаототм, чтобы каходатьоя вдали от резонаноа.

9 10, Злектромехавические анвлогвв В данном парегрвфе будет установлена аналогия в протекании мехеваческкх и электрических продеооов, называацая электромеханвчеокой аналогией. Злектроыеханвческаа аналогия ооношцна на сходстве двЩереацвацьвых уравнений, описнвашцих мехаавческое двииеыае точки и процессов.