Лекции Бондарь часть 2 (Лекции Бондарь), страница 5

Однако оиазюаетоя, что всего этого делать не нукяо, так как )- явпяетоя постоянной величиной для всех планет. Для установления этого 4шкта воспользуемсн третьем кеплеровым законом (6.3). В силу постоянства секторной скорости,период обращения планеты макао определить как отношение плошади эллипса, описываемого планетой, к ее секторной скоростк. Имея в вюу, что плошадь эллипса равна ~ б , а постоянная с имеет смыол удвоенной секторяой скорости, будем юють »заб т» — .

с Заков (6.3) мовно теперь представить в Форме а~ аа" п»,и — — » — = — = По»Р»' . т Я Ф~М~» МРР ФЯ» ОтКуда ВЫтснаст; Чтс ~месс»С1 . Сящ(сватзхзыс,,и ЕСТЬ ВЕЛа:- чюю, одинаковая для воех планет и поэтому ююет зависе ь только от паранетров Ссююа, ее вазмвашт гауссовой постоявыс олина Бекон нзменеввя скиы, действухщей на планету со стороны Солнца, таким образом, установлен и имеет ввд (6.8), т.е. зта сила пропорциональна маоое планеты н обратно пропорцкональва квадрату ее расстоанвя до Соююв.

Зо. Зенон всеми ного тяготения Пз среч ш)щего легко вывести установленный Ньютоном закон всемирного тяготения. Согласно закону (6.8), оила, с которой Солнце действует на конкретную планету, равна по модулю .Д"=Л ~ (6 ° 9) Предполаг , что сила, с которой планета притягивает Солнце, определяется подобным же образом, получаем =Л -у ~Б 10) где м — масса солнца, а л - постоянная )пусса для планеты. по закону равенства действия и противодействия Л!е! ЛМ Р* =Г или тл тя откуда Л! — — = сссл! -Л! )т Иэ последнего равенства следует, что отношение гауссовой постоянноц любого тела к его массе есть величина постоянная; она называется гравитационной постоянной и обозначается через у' лт! =уT~, Л =ут .

Подставчяя это значение,и в внрзжение (6.9) ичл значение Л в выражение (6.10) и обозначая Г'=Л" -Г , получиы У х (6.11 ) Эта сормула выражает закон всемирного тяготения: два тела притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и сбрауно пропорционально! квадрату расстояния мезду нвэв, Закон тяготения бык выведен на основе эмпирического изучения движения планет.

Однако он окаээлся справедливым не только длл Солнца и планет, но и для всех беэ исключения материальных тел. ( 7. Закон изменения силы, обусловш(ваюцей круговое движение Рпссмотрны теперь пример определения силы по движению, заданному естественнны способом. Пусть для точки масси л . известен двупараметрическвй класс круговых движений, опрсдсляе!л!х )рави пнями ,3'- !!!, Л= Л ~ г с и= сопл!, т" говд! (7 1) ! !;Ппсцип ст!), Лг!), лс!) в данною случае анплитические и удов- - 9- летзорявт условии (4.16) с 4ЖЙ.

— ' до. б(ц г),Е" Естественные даййереяцивльвые уравяеквя дзжеызя (3.8) позволяют устаяожть вырзвеязя для компонент силы, соде(ыяияе дза паоаметре и кЯ: Р =гпл'=с, Р =т43 =т — ° Г о. е .и ил е я д ' з (т.2) Отзыва видео, что яри рессмзтркженом круговом днаеввв точки действ)ыимя свив постоянна в кепрзвлева жоли радиуса круге к его центру Чтобы установить закон для силн, возьием уревяеывя (4.16) с~ху сягл с(~Рр сй гз ' ат )з ' сы — =3 С~и, — = у,я~с ~, — = я( Эти уражеввя представиыы в форю стяс ь 'ь — '=.Есс), —, =ЯАп~, — = д я легко ватегрврузюся. Возьмем решжве оиотеж х =,Е.й ы а, х =-Рав(~ б, ы=-= —, (т.з) Ф И т з ' л з ' з я я содерзщее, наряду с пареыетрвма с" и Я, проазвсльвые постояивые а и б, Условие (4.19) выполвево ~р ) д('с; Я, а,б) Слеяоватечьяо, величаев с, Я, а и Б могут быть вырекевы через 1,х~,.гл, (4 в 5' вз (7.3) и УРзввеввЯ У=с..

Этв зквиоиыости выеж зид и=-3 Р - —, а=.т, — — Аяа й-.т + — щщ. ); ° (~ 6 ° ь Тыквы обрезом, закон кзмекеввя сизы будет езде =о, Г =гп —, Р' -о, У е 3 Я~ е и т ' з 4 6. Определение двивевия по издевкой окзе Ресоыстрж рмзевие обретвой задзж дввзмики двумя способами, используя или двййеревцвельвые уреввеквя двикеиия в ортогоаазьвых крвволвяейвык кооряякятж, кая естествжвые дар)ерем(жяьвые ураз- веввя. Наивен о первого споооба, 1о Поствясиие об ой Лвжеяке точки будем реосметризеть отыооитеяьво векоторой орто- -3(ь- тональной саотемы коорцаыат с, ол 9л .

Такой системой, в чаотноо- ти, макет быть цилиндрическая илй декартова систеею. Исходам ив того, что известен закон изменензя силы, дейстзузюей на точку мао- сы, и, кроме того, задано начальное состояние точки. Это оз- начает, что заданы, зо-первых, физкчеокие виюоненты свв как фуы- кдни времена, обобщенных координат и обобщенных скоростей Р~ = ~~ С~, У, ~) (с =1,2,3), (8.1) причем предполагаем, что зти зазкоююсти яиюююоя непрерызвымв фуаздаюца всех а)мументов и имеют веарерывнне производные по юере- менным ) и о' . Во-зторнх, з начальный момент времеви у-о изда- ны координата и скорости д ~о)=у', д Го) у' (о=1,2,3), (8,2) опредеьяюцйе з зтот ыомент состоание точки.

Задача состоит в том,чтобы ао зтам данным определить днаневне тсчки относительно данной коорцаютной систеыы, т.е. найти фувацка: у-~.ю ( .1,2,3). (8,3) 2с С естзо е отвеин о ь н ешшед~ш, )(ля решения об)ютной мдачи воспользуемоя дшйферевцавньююп уравнениями дввкеная точка з ортогональных криволинейных координа- тах (3.4): ~Я ~п ~~Я„+ Уд Е(Т вЂ” Я, — б — ~~)~~= Г, ЯЯ4~) (8.4) Гай I.РМ, Так как масса и сила авданы, то и и У„' - известные величавы. Кроме того, в фиксированной коорцюютнсй свотеме щозфюцашентн даме являются вззеотювю непрерывно двфререндаруавюв фувкюшюзк ебобщеи- ных коорцинат.

Следовательно, ураннеаая (8.4) язлаютоя свотемой трех дифференциальных уравнений второго порядка, з которых неиавес- .тнымн функциями келяцюоя обобщенные коорцннаты дюцарцейоя точки, а аргументом — время. Текам образом, реаение обратной задачи двнамики сводится к ин- тегрированна зван)той системы двф(юренцвальных уравнений. Выяовим разрешимость этой математичеокой задачи. Уравнения (8.4), как легко видеть, могут быть разрапены относи- тельно обобщеаннх ускорююб( и представлены з виде — ~~ы=б Ф,уф( с =1,2,3) . (8.5) -31- Правые части этих равенств являются известивши функпвяьм и определяются выреиеваэыа л / дан дЯ ) . х .хдз/ у.(Т,~ ц) = — „"- — „, 2. ('~; ~„-,— у.)~. Уравнения (8.5), Рассматрэваеэве совместно с уравнениями ( с =1,2,3), (8.5) представляют собою нормальную систему шести дв)царенцаальных Уравнений первого порэдка отяосительно функций с ~~), с ар (« =1,2,3), для которой зависимости (8.2) представляют собою начальные условия Итак, определение давления точки по заданной силе и начальноцу состоянию сводится к решению задачи Коши.

Условия на сапы обеспечивают непрерывность правых частей сиотеыы (8.5), (8.5) по времени и их непрерывную дифференцируемость по кооркинатам с и скоростям д . Следовательно, выполнены условия теоремы 4 части 1 о существовании в единственности решения зцэачи Коша в некоторой окрестности начальных данных.

Поэтому существует единственный набор функций д„ й ), д (т ) ( к =1,2,3), удовяетворяацих оистеме (8.5), (5.6) и начальнйм условиям (8.2). Эти функцаи и определяим двнкеаие точки. Тахвм образом, приходим к следуюпей теореме. Теойэый 22. Если задана масса точки, физические компоненты силн как непрерывные функции времени н непрерыаао двЩеренцируемае функцаи коо)щиват и скороотей, в начальные условия, то существует единственное решение систмэы уравнений (8.4), удовхетворяюэее уоловаям (8.2).

Заметим, что рмзрээпвеэсть аедачы Коша вообще не означает воэмоиность получения решения в виде аналитической формулы: достаточно табличного представленвя фувкцвй. В общем сэучае эналвтичеокое решение задачи неизвестно. Это реэение мокко, теы не менее, устано. нить прв чаотвом ваде свх, что будет продемонстрировано в даэьнейюем. Кроме того, всегда воино резить задачу, опи)мяса на методы численного интегрированна уравнений, а получать резание с трепу~ мой степенью точности. Эо. Раэь нач словий Выясним, какую роль играют начальные условна в определении двакения точки.

Ко сале, дейотвущэей ка точку, и ее масое вполне определяются дмфреренциахьные уравнения двикеная точка. В коорцвватах ~, ул, уэ она образуют систему трех уоаиаенай второго по- -32- рядка (8.4). Из теории дзфференциаяьвых уравнений известно, что общее решение такой системы оодераят аеоть проиэвольвнх поотоан;- ~с 9с СЕ,с~~ б~) бе= ьл„М. (8.7) Наличие в правых частях этик уравнений яроизвольаэх параметрюв говорит о том, что под действием данной оилн точка осущеотавяет яе какое-то одно определенное двинские, а аскет сове)нщть цеднй класс двнкений. Изменяя постоянные сс,се, каадый раз будам по- лучать все новые уравненвя двииенвя аз этого класса, и вое ови происходят прн действия на точку одной а той ае сяэы.

Физические причины этого факта состоят в том, что как показнив. ет опыт, точка под действиеы приязненной силы двикется по-разному в зависимости от ее исходного состояния. Так, например, под депо~ эяем собственного веса тало ыокет соверэать прямолваейиое аиа крш- эоляяейяое дэвяение, смотря яо тому, бшэа ли вертикальной илы на- клонной к горааонту его начальаея скорюсть.

Таким образом, одних двфФеренцзазьных уравнений зще не доотаточ.- но для определения уравненвй ливневая точка. Чтобы сцапать оправ нуш задан динамика ояределеаной, нуано задать еще такие дополни- тельные условия, которые позволили бы юв(екать иэ атого класса дви- кений одыо фактически реализуемое двзвение. Роль таках условвй и нграшт начаэьэые условна (8.2), эадавкне начальное шслояение и на- чэльнув скорость точки. Начальные уоловвя позволяют найти постоянные интегрирования и тем семам конкретизировать дэняение точки. Действительно, взяв про- изводные по времени от фуякций (8.7), получим обобщювые скороота а = о ('Г,с',,,с',) Ф=ИЛ4.

(8.8) Подставив затем в урввненвз (8.7) и (8.8) начвльнае данные (8,2), получим шесть алгебраичеоках уравнений для опредевения азота вели- чин С', с",, у'=у Сс,б, б,), ~'=д (ос, с,) С =САМ. Решая эту снстещу, определяем йоотояывые иатегрировзыия в м(яе б„= б„(~)', с') ("=~ .. б) ° (8.9) Решение системы существует, ибо ее функциональный определаталь ~% Ч. 4Ф с .а> раненотио кулю опрзцелителя означало бы, что независимые друг от друга начальные координаты и-начальные скорости оказались бн связанными некоторым соотноюениам.