1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 9

0<а(п. Величины (а, Ь) и (а', Ь') двух углов аЬ н агЬ' от прямой а до прямой Ь и от прямой а' до прямой Ь' считаются равными, если множество всех значений (а, Ь) угла аЬ совпадает с множеством всех значений (а', Ь') угла агЬ', иначе гогоря, разность двух любых значений (а, Ь) и (а', Ь') углов аЬ и а Ь' кратна си (а, Ь)ж(а', Ь') (снос)и). (13) Сумма и разность величин (а, Ь) н (а', Ь') углов аЬ и а'Ь' определяются так же, как сумма н разность величин ориентированных углов. Однако во всех соотношениях между величинами (а, Ь), (а', Ь'), (а", Ь") и т. д. углов аЬ, а'Ь', а"Ь" сравнение следует брать по модулю и.

Например, если прямые а н Ь взаимно перпендикулярны, то (а, Ь)— : — 'в (глоб и). 2 Для двух любых прямых а н Ь имеют место соотношения! (а, Ь)+(Ь, а) =0 (тос1п), (а, Ь) — (а, Ь)==-.0 (гпоб а). Замечание, В дальнейшем слово „угол" употребляется н в других ситуациях, например: угол между двумя направленными отрезками ОА н О — это угол с вершиной О, на сторонах р н д которого лежат соответственно точки А и В; при этом углом от направленного отрезка ОА до направленного отрезка ОВ считается ориентированный угол рс).

Далее, угол между двумя векторами а и Ь вЂ” это угол, вершина которого берется в любой точке О пространства, а стороны р и с) идут соответственно в направлении векторов а н Ь (заметнм, что здесь угол определяется неоднозначно, однако все полученные таким глава ы пяоствптиа вопгосы образом углы равны, иначе копгруэптны). Илп еще: угол, который вектор и образует с осью ! — это угол, вершиной которого является произвольная точка О осн 1, а сторонами р и д — соответственно луч р, выходящий из О и идущий в положительном направлении осн 1, н луч д, выходягций нз О и идущий в направлении вектора а. При этом ориентированный угол ро называется углом от оси ! до вектора а, И здесь определение угла между вектором и осью неоднозначно, по все получаемые в соответствии с этим определением углы будут равны между собой (конгруэнтны).

$ !7. Теорема Шаля для ориентированных углов Пусть р, г), г — три луча, вьгходяи!ие иэ точки О, лежаи(ие на ориентированной плоскости. Тогда (р, д) + (д, г) = — (р, г) (гпо0 2н). До к а з а те л ь с т в о. Предположим сначала, что лучи р, д, г попарно различны и пи один из пих не является продолжением другого. Обозначим через ао а,, ач соответственно главные значения углов рд, д» и рг. Случай 1, Луч г) проходит внутри угла О 9 рг (рнс. 3!). Тогда сумма величины угла, образованного лучами р н 1, и величины угла, образованного лучами д н г, равна величине угла, образованного лучами р и г, Г т. е. Рис. 3! )сс,(+(сс,1=', а„!.

Случай 2. Луч г проходит внутри угла р! (рис.32), Тогда, на основании уже доказанного (р, «) +(г, д) с— : (р, ф (пю<1 2н), (р, о) — (г, о)=(р, г) (гпос!2п), (Р 9)+(Ч г) = (р г) (пюб 2п) или Но так как углы !и), о», рг имеют одинаковую ориентацию, то а,, а„ а, †чис одного знака, а потому из последнего равенства следует, что ах+ аа = аз и, значит, (р, д)+(ц, г):=(р, г) (пчоб 2л). % )7. тсОРРИА п)хля для ОРиеитиРОВАпнь)х у! лОВ 49 Случай 3, Луч р проходит внутри угла с)г (рис.

ЗЗ). Тогда (с), р)+(р, г)== — (с), г) ()пос(2а), — (д, р)+(с), г)=(р, г) (гпос)2л), (р, )у)--, '(су, г)=— (р, г) ()пос)2п). Случай 4. Лучи р, с), г попарно различны, ни один нз них не проходит внутри угла, образованного двумя другими н ни один из пнх не является продолжением другого. В этом случае ! аь)+ ~ аз) +) аз) = 2п, причем числа а, и а, одного знака, а а,— число знака, им противо- Ч Рис. 39 Рис. ЗЗ Р Рис, 35 Р Рис. 34 Случай 5. Среди лучей р, 4), г есть совпадаю)дне. Пусть, напРимеР, совпаДают лУчи Р и )7.

ТогДа аз=О, аз=а, и, значит, аь+аз=аз положного (для случая, изображенного на рис. 34, а, > О, а, ~ О, а„< О, а для случая, изображенного на рис. 35, а, < О, а, < О, а, > О), Таким образом, имеет место одно из двух равенств: с"ь+аз аз= ~ 27) или сх, + аз = а, -и 2п. Отсюда (р, с))+()7, г)=(р, г) (пьос) 2п).

«в а в а 11 ОРОС ГВПШПГ ВОПРОСЫ т. е ( р, у) + (д, «) = (р, «) («под 2л). Аналогично доказывается это равенство в случае, если совпа- дают лучи у н «. Если совпадают лучи р и «, то а,= — а, а,=О н, значит, опять а,+ах=о . Сл уча й 6. Один из лучей р, д, «является продолжением другого. Пусть, например, луч р — продолжение луча «.

Тогда либо аГ+а,, = л, а,=-л (рнс. 36), либо Гх, +а, = — л,а, =л (рис. 37), значит, либо Гх,+а,=«г„либво а,+Гс,=а,— 2л. 0 р Из обоих равенств следует, что рв (Р Ч) +(Ч «) =(Р, «) («под 2л). Следствие. Пусть (, т, и — три луча, с« имею1цие общую точку О и лежащие па ориенРис ЗЗ тированной плоскости. Тогда р ((, т)+(т, и)=((, п)(той 2л). (2) Теорема 2 (теорема Шаля для прямых).

/ 0 Пусть а, Ь, с — три прямые, лежащие на ориенЯ~Е тированной плоскости и имеющие общую точЕе Г ку О; тогда (а, Ь) (-(Ь, с)=(а, с) («подл). (3) Доказательство. Пусть р, у, « — соответственно лучи, ле- жащие на прямых а, Ь, с и выходящие нз точки О. На основании теоремы Шаля для углов (р, д)+(д, «)=(р, «) (пюд 2л), следовательно (р, д) + (д, «) = (р, «) (пюд л). Но так как какое-нибудь значение (р, у) есть одно из значений угла аЬ, одно из значений (ц, «) есть одно из значений угла Ьс, а одно из значений (р, «) есть одно из значений угла ас, то из последнего соотношения следует, что (а, Ь)+(Ь, с) = — (а, с)(«под л), ВИ. ПОЛЯРНАЯ СПСТЕИА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ $ 18.

Полярная система координат на плоскости Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если эта плоскость ориентирована, на ней выбраны точка О— полюс, луч Ох, выходя1ций из точки Π— полярная ось и масштабный отрезок. 118 поляР114я спстсмл кООРдипхт и8 плоскости 51 х, у соз 1( = —,, з)п Ч1 = —,, откуда х=г сов 1р, у= г з)п 1р. г=)' х'+у', Так как (2) х, у соз р = =, 3 1п 8р = )г 88+у8' )г х'+у8 (3) Пусть М вЂ произвольн точка плоскости, не совпадающая с полюсом (рис. 38), Первой полярной координатой точки М, нли полярным радиусом, называется расстояние г от точки М до полюса О.

Второй полярной координатой точки М, или амплитудой, называется угол 91 от полярной оси (от луча Ох) до луча ОМ. Для полюса О счита1от г =-О, гр — любое число. О В некоторых вопросах (например, при задании линии полярным уравнением) удоб- Ря с 38 но полярному радиусу г припись1вать знак; именно считают г с.О, если амплитуду гр измеряют от полярной оси до луча, который получается продолжением луча ОМ за точку О, Полярные координаты г, ч1 в случае, если для первой координаты г допускаются и отрицательные зпачсния, называются обобщеянымн полярными координатами. Пусть на плоскости введена полярная система координат.

Введем декартову прямоугольную систему координат, принимая полюс О за начало координат, и за положительную полуось Ох— У полярпу1о ось. За ось Оу примем ось, которая получается поворотом оси Ох вокруг точки О на угол -1-90', т. е. положительное направление па оси Оу выбирается таким. чтобы угол 8 от осн Ох до оси Оу был равен Ф -1-90', Масштабнь1й отрезок поляр- О е пой системы координат примем и за 1 мас1птабный отрезок декартовой сиРис. 39 стемы (рис.

39). Пусть г и 1р — по- лярные координаты произвольной точки М плоскости, не совпада1ощей с полюсом, а х и у — ее декартовы прямоугольные координаты в указанной выше системе. По определению тригонометрических функпий имеем и а а ° а 11 ПРОСтЕПЕ1ЯЕ ВОПРОСЫ Формулы (1) позволяют вычислить декартовы прямоугольные координаты х и у точки М по ес полярным координатам г и 1р. Формулы (2) и (3) позволяют вычислить полярные координаты г и 1р точки М по сс декартовым координатам х и у, Отметим, что формуль1 (1) верны и для обобщенных полярных координат (т.

е. для радикала г'х'-~-у' во всех формулах (2) и (3) можно брать и отрицательное значение). й 19. Полярная система координат в пространстве. Полярные и сферические координаты Рассмотрим в пространстве ориентированную плоскость П. Пусть Ог †о, перпендикулярная плоскости П и пересекаю1цая ее в точке О, а Ох — луч, лежащий в плоскости П и выходящий из точки О. П Выберем масштабный отрезок. ~+ Ориентированная плоскость П назы- вается экваториальной, ось Ог — зенит- 1 ной, луч Ох — полярной осью, а точка х 1 Π— полгосом. Совокупность этих элементов назыРис 40 вается полярной системой координат в пространстве (рис. 40). Цилиндрическими координатами точки М, не лежащей иа зенитной оси, называется упорядоченная тройка чисел р, гр, г, где р и 1р †полярн координаты ортогональной проекции Р точки М на экваториальну1о плоскость (в полярной системе экваториальной плоскости с полюсом О, полярной осью Ох и выбранной единицей масштаба), а г †координа- и та на зенитной оси Ог проекции 1~ й точки М па зенитную ось (рис.

М 41). Для точек зенитной оси считают р = О, ф — любое число, а г определяется так, как указано г выше. О Заметим, что при помощи цилиндрических координат не уста- У Р Р навливается взаимно однозначного соответствия между множеством г П всех точек пространства и множеством упорядоченных троек Рис. 41 действительных чисел. Сферическими координатами точки М, не лежащей на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чисел г, гр, О, гдег— длина отрезка ОМ, 11 — угол от полярной оси Ох до луча ОР з Г9, пОляРБАя спс ГЕЯА КООРДНПАГ В пРОстРАГГствв ГР— проекция М на экваториальную плоскость), а — угол между лучамп ОР и ОМ, который принимает значения в интервале ( ",,"'), — — — ), причем считается, что 8=0 если точка М лежит в 2 ' 2/' экваториальной плоскости, 0>0, если луч ОМ образует острый угол с зенитной осью, и 0 < О, если луч ОМ образует с зенитной осью тупой угол (рис.

42). Если точка М лежит на зенитной оси и не совпадает с полюсом О; то считают, что Гр †люб число, а 0 = + — или 0 = — — в зависимости от того, совпадает ли направление луча 2 ОМ с направлением зенитной оси или противоположно ему. Для полюса считают г=О, Гр и 8 — любые числа. При помощи сферических координат не устанавливается взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.