1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 12

Значит, сумма квадратов расстояний от гочнв М до точек А, В, С имеет наименьшее значение, сслв то1ка М соопадает с точкой Мо (иначе с центром тяжести системы равных масс, повешенных в точках А, В, С). Илгеет место (и аналогична доказывается) следующее положепие1 сумма М1М'+ М2Мз+ + М,М' имеет минимальное значение, если гочка М совпадает с центров тяжести системы л равных масс, помещенных в точках Мв Мз, ..., М„(точки Л(2, Мз...„М„могут и не лежать в одной плоскости). Пример 4.

Составить уравнение линии, произведение расстояний любой точки нагорай до двух данных точек Р, и Г, равно данному числу Ь'. Р е ш е н и е. Пусть расстояние между точками Р и Г, равно 2а, За на. чало О декартоиой прямоугольной системы координат па плоскости примем середину отрезка Р,Р„а прямую Р,Р, с положнтельныи напранленнем от О к Ра примем за ось Ох, Точка Г, в выбранной системе координат имеет координаты — а, О, а точка Г,— а, О. Согласно условию задачи МГ,.МГ,=Ьв, нли МГе МГв=Ьв.

Применяя формулу расстояния между двумя точками, находим ЫРв = (х+а)в+ уз, МР~ = (х — а)в+уз, и соотношение МРз ° МРв =Ь' принимает вид 1' в [(х+ а)'+ у') [(х — а)е+ у') = Ьв (хз л- у')е -[- 2а' (уз — хз) = Ьв — ав. Линии, определяемые этим уравнением, называются овалами * Кассини. Изображения их (для случаев а > Ь, и=Ь, а < Ь) даны на рнс. 48.

Если а Ь, Рис. 48 т. е. если произведевпе расстояний от точки М до точек Р, иРв равно квадрату половины расстояния между точкачи Р, и Рв, то овал Кассини называется лсмпнскатой Бернулли (рис. 49). Уравгшнне лемпнскаты имеет вид (хз — 'уе)е=2аз (хв уа) Составим уравнена лечпискаты сше в полярной системе координат, принимая точну О за полос, а положительную полуось Ох за полярную ось. * Овалы Кассини не всегда являются о в а л а ч и в собственном смысле этого термина (выпуклая замкнутая дания).

3 гь с. медееов 55 Р з а ч с Гт! ЛИг!ИИ ПОВЕРХНОСТИ И их уРЛВПЕННЯ Заменяя в уравнеп Гп лечннска«ы х и у их выражениями через полярные координаты х=г соз !р, Ц=Г з)п ф, получим Г'=2а'Гз !сов' ф — ыпз ф) ИЛИ Г=а Р' 2соз2ф и При изменении ср от — — до 0 фуп кция и Р 2 соз 2ф возрастает от 0 до 4 Д а $' 2, а при изменении ф от 0 до + — эта функция убывает от а )Г 2 до О, по- 4 лучается петля, расположенная в первой и четвертой четвертях, прн измене. Зп 5п нии гр от — до — получается другая петля, расположенная во второй н 4 4 третьей четвертях, симметричная пер- У вой относительно полюса. Значениям !р, для которых соз2ф<0 соответствуют мнимые значения 0 фупкпив )Г 2«оз 2гр, следовательно, эти«! х значенняч гр не соответствуют никакие щчки лемнискаты.

Ч го касается построения овалов Кассини, то точки этих линий удобнсс всего с«ронть, исходя пт геометриче ского определения липин Рнс 49 Ураввенпя линий иногда удобно составлять в полярной системе координат. Рассмотрим следующий пример. Пример 5. Лана окр)жнасть С диачсгра ОА =-а н на ней точка О, Во! руг точки О вращается луч Пр !)усть прямая, на которой лежит этот луч, пересекает окружность в точ«с Р ))з э!он прямоп от точки Р в яаправлении Т Рис 50 Рвс 5! луча откладываем отрезок РМ =Ь Составить уравнение линии, описываемой точкой 54 (рис 50) * Сокращая на Г'. мы не теряем полюса, принадлежащего лемннскате, так как прн ф = — из уравнения Г=п РГ2 сов 2 ф находим г О. 4 з22 пРимГРы пост!или!гии ур'!Вигиип 'игипи Р е ще н ив Пр!шсч точку О за полюс, а луч ОЛ вЂ” за патярпую ось Ох.

Пусть г н гр — обобщенные полярные координаты то !ни М, а гм гр — обобщенные полярцые коордиваты то !ки Р. Тогда +ь Но с!=и соз !р, где ф — угол от оси Ох до вращающегося луча '. Позтому полярное уравнение дапиай линии будет г = а+ и соз ф Эта линия называется улиткой Паскаля.

Строить ее проще всеГо исходя из геометрического определения (рис. 5!). Рнс 52 Пример б. Рассмотрим окружность радиуса и с центром в начале О декартовой прямоугольной системы координат. Введем полярну!о систему координат, принимая начало координат за полюс, а за полнрную ось — положительную по:!уось Ох (ориентация плоскости определяется выбранной декартовой системой координат, а масштабный отрезок декартовой системы координат берем в качестве масштабного п н полярной системе).

Пусть х и у †декарто координаты произвольной точки М окружности, а и и ! †полярн координаты той же точки. Тогда х=и сов г, у=из)п (, Зп Зп Р2 и)'2 * Если, например !р= —, то соз — '= — — и г,=— 4 ' 4 2 2 , зто значит Зи (в соответствии с определением обобщенных координат), что при ф= — ' отре- и )гг2 зок надо откладывать на продолжения луча ОТ за тачку О. Так именно ! и строится точка Р линии, соответствующая положению луча ОТ в слу, !с, когда угол от полярной оси до луча ОТ лежит, например, в ивгервале ( —, и) .

глаза ги линии повнпхности и их у лвнвния гле параметр ~ принимает зсе значения от 0 до 2п Эти уразпення язляются параметрическими уразнепнячи окружности. Пример 7. Рассмотрим на плоскости снопа дае системы координат; лекар. топу прямоугольную и полярную, находящиеся о том же отношении друг и друг, что и з предызун1сч примере пиралью Лрхичеда называется линия, уразнепие которой а обобщенных полярных координатах изеет зид где и — фиксированное число, отличное от пуля, а г и ( — полярные координаты точки (г — полярный радиус, ( — амплитуда), парачетр ( принимает асе дсйстзительные значения (рис 52).

Параметрические уразпення спирали Лрхичеда а указанной выше декартовой прямоугольной системе координат имеют зид х=а(соз г, у а(а!и д Строить спираль Лрхимеда проще всего исходя нз ее полярного ураанения, 3 а м е ч а н и е. Составим параметрические уранисния траектории, описыааемой точкой М з следующем сложном дзи кении: точка М движется раппа- мерно со скоростью о по прячои, проходящей через полюс О, а прямая разномерно зрагцается з плоскости зокруг точки 0 с углозой скоростшо ш Примем за начало отсчета зрел|сии тот момент, когда точка й( была и точке 0 и нредпологкнм, что з этот момент вращающаяся прямая созпадала с осью Ох. За зремя ( точка М вращающейся прямой пройдет путь, разный г=-оП а прямая повернется на угол ф=шп Тзкнч образом, полярные координаты точки М: х г=ой гр=шй Отсюда 05 5М г=а~р, ч Рис.

55 о где и= —, т. е. точна движется по спирали Архимеда. Уравнения г =од ф = го( яаляютсн парачегрическн ~и уравнениями спирали Архимеда з полярных координатах (счнтаем, что з этих уравнениях параметр ( принимает зсе действительные значения) Пример 8. По пряной ( катится без скольжения окружность радиуса а, Составить параметрические уравнения линни, которую описывает произаольная точка катящейся окружности (цнклонда) Р е ш е н и е.

Пусть Сз — начальное положение катящейся окружности, Язв ее центр, а Π— точка, з которой эта окружность касается прямой ( (рис. 53), Примем точку О за начало декартовой прямоугольной системы координат, а прямую Л ориентироьапную з сторону даижепня, за ось Ох.

Пронзэольпое положение катящейся окружности обозначим через С, ес центр — через Л, точку, а которую перейдет точка 0 окружности Сь, когда эта окружность Сз займет положение С, обозначим через М и наконец точку касания окружности С с осью Ох обозначим через 3. Пусть Р и Π†проекц точки Л( соотзетстзепио на осн Ох и Оу. Прозедем через точку Л оси Л'х' п А'у' соотзетстзеппо параллельные и одннакозо напраеленные с осями Ох и Оу Обозна|из через ( =-(ХМ, И5] значение ориеитирозаиного угла от направленного отрезка (уМ до направленного отрезка ! ЗЗ. ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ УРАВНГННР.

.Ч5, имеем: Тзк как ')=(™, М~8)+(Ч., Жх) („.-т 2 ' !'ЧМ )ур') =(ЛМ, !Ч~')-р(!Чх,ур ) + и и 2 2 то координаты оР и туз!) проекций направленного отрезка ЛМ на осн Ох н Ор (соответственно параллельные осям" Лх' и ~Чу') будут БР = и соз ~! + — 1= — аз!п (, 2/ туз О = а соз (! + и) — а сов ! и потому координаты х и у точки М: х=ОР=Оо+ЯР=а! — аз!и (=а(! — ип !), р = ОМ = О~Уц+ Л,Д = а — а соз ! = а (1 — саз 1). Уравнения х=а (! — з!п !), р =а (1-соз !), где параметр ! принимает все действительные значения, и являются параметрическими уравнениями циклокды (рис. 54), Рис 54 Наглядное представление о циклоиде мы получаем, наблюдая за движением какой-либо точки колеса, катящегося по прямой.

П . ПОВЕРХПОСТИ И ЛРП!ПП В ПРОСТ!'АНСТВЕ $ 23. Поверхность и ее уравнение Определение понятия поверхности еще труднее, чем понятие линии, и останавливаться на нем мы не будем. Уравнением поверхности в общей декартовой или в прямоугольной системе координат называется уравнение г" (х, у, г) =О, Так квк оси Ох и Агх' параллельны и направлены в одну сторону, то угол от оси Ох до направленного отрезка ЧМ равен углу от оси Чх' до того же направленного отуезка. Аналогичное заключение имест место и по отноше- нию к осям Од и )ур . Г а па а с!! ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УР\ВНЕНИЯ тп которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности н не удовлетворяется координатами точек, не лежащих па поверхности. Аналогично определяется уравнение поверхности в сферических координатах г" (г, гр, О) =О н в цилиндрических координатах г" (р, гр, г) = О.