1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 11

(32, О) и ( — 8,0). 14. Относительно общей декартовой системы координат даны вершины А (х„, дд), В(хз, д,), С(х,, д,) невырождениого треугольника АЗС. Пусть п, (Ъ, у — барицентрические координаты точки М относительно треугольника АВС. Доказать, что декартовы координаты точки М выражаются следующ>ши формулами: х = их> -р рх, + ух„д = ад, + рдз + уд,, (1) Обратно, сслн а+()+у=1, то то >ка М, декартовы координаты которой выра>каются формулами [!), имеет барпцептрические координаты а, 5, у. — + 18. В вершинах невырожденного ориентированного треугольника АВС помещены массы >лм т„и>з. Найти барнцентрическне координаты центра тяжести этой системы материальных точек относительно треугольника.

тд лщ тз Ота. а= р= у= Отсюда тд+тз+та т>+те+та тд+тз+тд а; !): у = тд:тз.'тз. 18. Относительно невырожденпого ориентированного треугольника АВС заданы две различные точки Р (о,, 8>, у,) и О (п„))„уз) своими барицентрическими координатами. Точка Л! делит направленный отрезок РО в отношении л. Найти барицентрнческие координаты точки М. Отв и= д+ з р=йд+— йз у=Уз 1+2 ' 1+д ' !+л 17. Относительно цевырожденпого ориентированного треугольника АВС, лежащего на ориентированной плоскости, заданы три точки Р(ад, ))д, уд), 60 Г ! а в а г! ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ с! [ам ра, у,), В(а„рв, уа) своими баринентрическимн координатами. Найти РОВ АВС в частности, найти необходимое и достаточное условие прггиадленгности трех точек Р, О, гг оююй прямой, РОВ (а! )1! Ут( )аг )), У, Оагв.

== — ~ а, ))а Уа~) ~ае йт У, =-О. АВС !8. Найти в плоскости Ока точку, равноудаленную от трех точек! А (1, 1, 1), В ( — 1, 1, 0) и С (3, 1, — 1). Оглв ( —, О,— — ) . 19. Определить внутренние углы треугольника с вершинами А (1,2, -4), В(4, О, — 10), С( — 2, 6, 8). 893 23 36 Оп!в А =агссов ( — — ), В = агссов =, С =агссов = . 9!) 7 )г Г! !3 )! 11 глава т ЛИНИИ, НОВИГХЫООП1 И ИХ У1АВЫВНИЫ 1. ЛИНИИ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ ф 21.

О понятии линии и ее уравнениях Понятие линии является одним из самых трудных понятий математики. Общее определение линни дзется в специальной математической дисциплине — топологии. Оно было получено лишь в 20-х годах текущего столетия советским математиком П. С. Урысоном.

Не останавливаясь на определении линий а, мы дадим лишь определение того, что называется уравнением линии. Определение 1. Уравнением линии в декартовой системе «оординат называется уравнение Е(х, у) =О, (1) которому удовлетворякип координаты х, у всех точек этой линии и только координаты таких точек. В частности, уравнение липин может иметь вид у=у(х). (2) Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение гр(г, гр) =О, (3) которому удовлетворяют полярные координаты г и гр всех точек этой линии и только координаты таких точек, В частности, уравнение линии в полярных координатах может иметь вид (4? л=, (гр) ' См., например, А.

С. Пар хо» е п ко. Что такое линия. М., Гостехив. дат. 1954, нли П. С. Уры сон. Труды по топологии н другим областям математнни, т. 11, о канторовых многообразиях, ч. 11, канторовы кривые. 62 Г л а ла ггг ЛИ!гИИ, ПОВЕРХНОСТИ П ИХ УРАВНЕНИЯ Определение 1!. г)аралгегггрилгескилги уравнениями линии в декартовой сисгпеме координат называготся уравнения вида х = х (7), у = у (Е), еде функуиа х(7) и у(7) имсчопа одну и ту же ооласть определения, калсдолгу значенгао !' из этой области соогпветствует точка М (х(!), у(()) расслгатриваемой линии и кажсая точка М эпгой линни соответствует некоторолгу значению л' из области определения фунгсг(ий х(~) и и (г), т.

е. для любой точки М линии найдется такое значение !', что х(!) и у(7) будут координата,ии точки М. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах. 2 22. Примеры составления уравнений линии Пример 1. Рассмотрим окружность 5 радиуса г с центром в точке С(а, Ь) заданной относительно декартовой пря; оугольиой системм координат (ряс. 46) Йусть М (х, у) — произвольная точка плоскости. Точка М лежит на окружно Рис. 47 Рис.

46 сти 5 тогда п только тогда, когда расстояние между тачками М и С равно радиусу г окружности 5, Расстояние между точками М и С равно аа-у'р*:д л.г„— лгт поэтому уравнение окружности 5 имеет внд гг(х — а)'+(у — Ь)' =г, или (х а)а + (у Ь)г ге или (х — а)з+ (у — Ь)з — ге = О, П) В частности, уравнение окружности радиуса г динат имеет вид (рис. 47) хе+ уа = га, нли х' )- уа — г' = О, с центром в начале коор- (2) (2') з 22, примеры постлВления УРлпнсний 2!иний ез Уравпепие (1') (и (2')) называется нормальным уравнением окружности. 3 а м е ч а н и с. Пусть М(х, у) — произвольная точка плоскости, а А и В— точки пересечения с окружностью 5 врат!ой, проходящей через центр С окружности (1') н точку М, Тогда, выбирая нв этой прямой положительное направление, имеем (х — а)' + (у-Ь)з — г'=МС' — гз.= =- МС" — САз = Л1Сз — СА'— =(МС+СА) (МС вЂ” СА) = =(МС+ СА) (МС+СВ) = ~МА МВ.

Произведеииео=Л4А МВ равно произведению МР М(), где Р и Я вЂ” точки пересечения с окружностшо 5 любой секущей (~га которой произвольным образом выбрано положенное направление), проходящей через точку М; оно называется степенью точки М относительно окру>янсен! 5.

Таким образом, леван часть (х — а)з+(у — Ь)2 — гз нормального уравнения окружности 5, где х и у — координаты любой тачки М плоскости есть степень точки М относительно окружности 5: и = (х — а)'+ (у — Ь) з — г', Если точка М лежит впе окружности 5, то координаты гМР и М() направленных ненулевых отрезков МР н МЦ имеют одинаковые знаки, значит и > О, а если точка М ле,кит внутри окружности 5, то и ( О; впрочем, зто ясно и из того, что а=-МС' — г'! отсюда также следует, что если точка М лежит вие окружпоств 5, то се степень относительно этой окружности равна квадрату длины отрезка МТ, где Т вЂ” точка прикосновения к окружности 5, касательной к ней, проведенной нз точки М.

Если точка М лежит па окружности 5, то по крайней мере один из на. правленных отрезков МР нли М() — пулевая н, значит, а=Π— степевь точки М, лежащей яа окружности относительно этой окружности, равна нулю. Пример 2. Составить уравнение линии, отношение расстояний каждой точки которой до двух данных различных точек А н В равно шолу т — одному н тому же для всех точек линии.

Р е ш е н и е. Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, принимая за начало координат середину 0 отрезка АВ, а точку А— за единичную точку оси Ох; тогда координаты точки А будут 1, О, а коордипаты точки В будут в 1,0. Пусть М (х, у) †произвольн то'н<а плоскости. Опа будет лежать на дан. ной липин тогда и только тогда, когда Л(А — =т, нлн МА'=-лРМВ', Л(В или (х — !)'+уз=тз [(х+!)э+уз[, или, считая т т 1 после ряда тождественных преобразований, получим Это уравнение является уравнением окружности * с центром в точке /1+ тз Д 2т С [ —, Оу! и ради).соп г= тз' ) [ 1 тг!' ' Эта задача была рассмотрела Апполопнем в работе о конических сечениях. Поэтому окружность, определяемую свойствам, укаэанным в условии задачи, называют иногда окружностью Апполопия.

Г.1 о во 111. ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ И ИК УРАВНЕНИЯ Пример 3. Найти геочегрнческое чесго точек, дтя каокдой из которых сумма квадратов расстояний до трех данных гочек А, В, С равна данному ЧНСЛУ Вг. Р еш е и не. Введем на плоскости декартову прямоугольную систему кооРдиват, ПУсть хо УП х,, У,; хл Уо — кооРдинаты точек А, В и С. Точка М (х, у) прпна1шеоквг данному геоче1ри:1ескому месту тогда и только тогда, когда (Х вЂ” Хг)2+ (у уг) -! (Х вЂ” Хз) -1- (У вЂ” Уз)2+ (Х вЂ” ХЗ) + (У вЂ” Уо) =в1, или 3 (х- ', ' ) +3 (у — ', ' ' ! + — (2хз+222 вс2Х вЂ” 2х,х— хл+хз+хо'12 .

1' у,+Уз+Уз'12 ! -2хахз — 2 хохл+ 2у, гг 2у „+ 2у2 — 2угу2 — 2 уз уз — 2узуг) = ю, нлв З(х — ' ' ) +3(у- — г '-'~ + — [(х — хз)2+(Уо — уз)2+ х1+22+хо'- "у У1+уз-ру,,лз 1 ,) + (хз хВ2+ (уз уд + (х «2) + (ул уз) ) = "и или окончательно ю а'+Ь'+сз (х — х )2+(у — уо)2= —, 2 3 9 где х,+хо+хо хо =— 3 Уы! Уз+Уз Уо= 3 а а, Ь, с — данны отрезков ВС, СА и АВ.

Таним образо11, если а' "- Ь- -'- с ю< то данное геометрическое место пустое Если а'+ Ь'+ с' В1= 3 то данное геометРическое 21есто точек содеРжит только одпУ точкУ М,(хо, У). а2+Ь2 1 с2 Если Гл > ', то данное геометрическое место тачек является окруж- 3 пастью с центром в точке Мо(хо, уо) и радиусов г= — )/ Зш — (а'+Ьз+сз). 2 ' 2 2 3 Заметим, что если гочки А, В, С пеколлквеарны, то М,-точка пересечения медиан треугольника АВС, а а, Ь, с-длины его старой. 3 а м е ч а н и е, На основании предыдущего а'-1- Ь'+ сз, а'+ Ь'+ сз МА'+М Во+ 1ПС'=3 [(х — х,)'+(у — уо)2) + ' ' =3 ИоМ'+ — ~ — —.