1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 7

Применяя теорему 1 Шаля для точек А, В, О, А„ будем иметь АВА, + ВОА, + О А А, = А ВО. С другой стороны, ориентация и площадь треугольника не меняются, если одну из его вершин переместить по прямой, параллельной стороне, противолежащей этой вершине, следовательно, АВА, = АВ,А и предыдущее соотношение примет вид АВ,А,+ВОА,+ОАА,=-АВО. Применяя теорему 1 для точек А, В,, О, А„получим АВ А +В,ОА +ОАА,=АВ,О (12) и так как В ОА =О, то из соотношений (11) и (12) следует, что АВО=ВОА,+АВ,О= А ВО+АВ д = А,ВΠ— В,АО= АгВпΠ— ВтАпО, где А, и В,— параллельные проекции точек А и В на ось Оу параллельно оси Ох.

з !4 ОРиентиРОВАннъ|я тРехгольник 37 Применяя формулу (!0), будем иметь АВО = — А,У, — — ' хзу, = — '(х,У, — х,У,). 2 з д 2 Пусть, наконец, точки А, В и С занимают па плоскости какое угодно положение. Тогда АВС = ВСО+ САО+ А ВО = х, у, 1 Ьо хз Уз , 2о з Уз , ~о ~ хд Уд Зо хз Уз дд Уд хз Уз з з ~,х —,у — у, АВС= —, х,— х, у,— у, Следствие 1.

Площадь Я треугольника АВС, заданного своими вершинами А(хд, у,), В(х„у,), С(х, у,) относительно общей декартовой системы координат, вычисляется по формуле Уд х, х, у, у, х, уз 1 = — ото!( хз Уз 2 х,-х у — у! з з з! Я= — шод до 2 (13) (шод) — знак модуля или абсолютной величины). С л е д с т в и е 2.

Лля того чтобы три точки А(х„уд), В(х„уз), С(х„у,), заданные относительно общей декартовой системы координат на плоскости, принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство кду 1 1 хз Уз =О, или хз Уд Уз хз хз Уз Уз С л е д с т в и е 3. Пусть А (х„уд) и В (хз, у,) -две различные точки, заданные относительно общей декартовой системы координат. Тогда, если точки С(х, у) и С'(х', у') лежат по олпу сторону Отнимая из элементов первой и второй строк соответствующие элементы третьей строки и разлагая полученный определитель по элементам последнего столбца, получим Р з а э и П ПРОСТНЙШМГ: ВОПРОСЫ от прямой АВ, то определители х' у' 1 х, у, 1 хз Ув х у 1 х, у, 1 х, у 1 где йг=ггттдзз — р'„, причем дгг=ОЕ'„дзв =ОЕ„'утэ=ОЕт ОЕ, соз от (оэ — угол ьгежду осями Ох п Оу).

Таким образом, формулы (7) и (8) можно записать в виде х, у, 1 х, у 1 хз Уз — р' у АВС=— 2 — )гк тг — хз Уг — Уз АВС = —, хз хз Уз Ув соответственно изменятся формулы (13). $15. Ориентированный тетравдр. Ориентированное пространство.

Объем тетраэдра В эгогг параграфе сформулируем определения н основные результаты для тетраэдрон, аналогичные результатам предыдущего параграфа для треугольников. Доказательства этих положений могут быть даны аналогично тону, как это было сделано в й !4 для треугольников. Однако проще всего эти результаты гголучаются пз 5 4! н 42 (смешаггное произведение трех векторов). Тетраэдром будем называть четыре ггроиэгольньге точки А, В, С, 0 пространсгпаа, Если этн точки А, В, С, 0 пе принадлежат одной плоскости, то тетраэдр будем называть невырожденпым, а если онн принадлежат одной плоскости, то вырожденным, Объем вырожденного тетраэдра условимся считать равным нулю. Ориентирсеанньгхг тетраэдром АВС0 называется упорлдаченнал четверка точек А, В, С, Тэ, В обозначении АВСР ориентированного тетраэдра порядок имеют один н тот же знак, Еслп же точки С(х, у) и С'(х', у') лежат по разные стороны от прямой АВ, то эти определители имегот различные знаки.

В самом деле, если точки С гг С' лежат по одну сторону от прямой АВ, то треугольники САВ и С'АВ имеют одинаковую ориентацию, а если точки С и С' лежат по разные стороны от прямой АВ, то треугольники САВ и С'АВ имеют противоположную ориентацию. 3 а м с ч а н и е. Площадь Вэ масштабного параллелограмма записывают в виде З !3, ОРР!ем Гигоилнный тктрлэдр точек определяется порядком их записи: Л вЂ” первая точка,  — вторая, С— третья, Р— четвертая.

Если точки А, В, С, Р не принадлежат одной пло. скости, то ориентированный тетраздр ЛВСР называется псвырождеиным, а если точки А, В, С, О принадлежат одной плоскости, то ориентированный тетраэдр ЛВСР называется вырожденным, Пространство, в которол! задан невь!рожденный ориентировинный тетраздр Е,Е,Е,О, называется ориентироеаннь!в!. Если в пространстве введена общая декартова система координат, то ориептируем пространство тетраэдром Е,Е,Е,О, где Π— начало координат, а Ет, Ез, Ез — соответственно единичные точки осей Ох, Оу, Ог. Рис. 29 Будем говорать, что невырожденный ориентированный тетраэдр АВСР пространства, ориентированного тетраэдром Е,Е,Е О, ия!ее!п положительную ориентацию, если теп!раздры АВСР п Е,Е,Е,О имеют одинаковую ориентацию, Если же тетраэдры ЛВСР и ЕхЕеЕзО имеют противоположну!о ориентацию, то тетраздр АВСР имеет отрицательну!о ориентацию.

Определение одинаковой н противоположной ориептапий двух ориентированных тетраэдров дано в дополнении ! в конде книги. Можно пользоваться и следующим наглядным определениеч: ориентира. ванные тетраэдры АВСР и ЕхЕзЕ,О имеют одинаковую ориентаии!о, когда обход контура треугольника ЕтЕ,Ег, если смотреть на плоскость Е,Е,Ев с той стороны от плоскости Е,Е,Е„, где располозкеиа точка О, кажется происходящим в том же направлении, в каков обходится контур треугольника АВС, если смотреть на плоскость этого треугольника с той стороны от плоскости АВС, где расположена тачка 0 (рис. 29].

Если же указанные обходы Г в а в а !!. ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ производятся в противоположных направлениях (однн — по часовой стрелке, другой — против часовой стрелки), то будем говорить, что тетраэд ы АВСР р ры н Е,Е,Е,О имеют противоположную ориентацию (рис. ЗО). Вместо вершин 0 и О можно нзять две другие с однпаковыч номером, например С и Е„, и сравнивать направления обходов треумольников ВАР и Е,Е,О, рассматривая их соответственно из точек С и Ем Если направления этих обходов одинаковые, то тетраэдры АВСР н Е,Е ЕзО имеют одинаковую орншпацню, а если противоположные, то тетраэдры АВСР и Е Е Е О и отивопол р лож! ую ориентацию Читателю предлагается убедиться геометра.

и т т з имеют рис 30 чески в толи что данное определение одинаковой и противоположной ориентаций двух теграэдров нэ зависит от выбора вершин (О и О, или С и Е, илн В и Е„или Л н Ет). т в Вырожденным ориентированным тетраэдрам никакой определенной ориеацни нв приписывается (ни положительной, ни отрицательной).

р н- П сть ст усть пространсгво ориентировано тетраэдром Е Е Е О; параллелен! п р р, О „, ОЕ„ОЕа назовем масштабнывг, Выберем масштабный отрезок з з ед гп и за единицу нзвверенйя объечон примем куб, ребро которого равно масштабночу отрезку (единичный куб) Объечоч АВСР певырожденного ориентированного тетраэдра АВСР, яаходяшегося в пространстве, ориентированном тетраэдром ЕтЕзЕаО, называется число, абсолютная величина которого равна объему )в тетраэдра АВСР и которое пояснительно, если тетраэдр АВСР имеет положительную ориентапню и отрицательно в противном случае. И гак, !АЗС0Р(=(г, п ичем АВСР О, р >, если тетраэдр АВСР имеет положительную ориентацию и АВС <О, если гетраэдр АВСР имеет отрицательную ориентацию АВСО 4 14.

ОРИпИТ11РОВАННЫЯ тнгРАЭДР Если тетраэдр АВСР-вырожденный, то его объем считаем равным нулю: АВС0=0. При перестановке двух вершин ориентирона44ного тетраэдра его орнента ння меняется на противоположную, поэтому АВСР= — ВАСО ВАРС= =- — РАВС и т. д, Теорема ! (творе»а Шаля для объемов). Дхя пяти произеольнмх точек А, В, С, О, Е ориентированного пространства имеет 44есто соотношено» *: А ВСЕ -1- ВАРЕ+ СЕРЕ+ АСРЕ =- АВСР. (1) Теорема 2. Если относительно общей декартооой сис4ПЕММ КООРдинат заданы еери4инм тетраэдра А (хг, уг, г,), В (хз, у,, гз), С (х„уз, г„) н 0 (х,, уз, 24), то х,у,2,1 Хг уз 24 Хз уз гз 1 АВСР= — з б или Лг Хз — уз АВСР= —.

х,— х, б Хз — Хз у,— у, г,— г,1 уз у4 24 24 уз — у„гз — г, (8) где (го в объем масштабного параллелепипеда, т. е. параллелепипеда, ребрами которого служат масштабные отрезки ОЕХ, ОЕ,, ОЕз осей хоорднваг. Э4от объем Уз может быть вычислен по формуле "з= Рсй АВС+ ВАР+СВО+ АС0=0. Ориентированные грани АВС, ВАР, СВО, АСР образуют ориентацию поверхности выролсдевного тетраэдра АВСР, Теоремы Шаля для площадей и объс»ов относятся к элементарной геометрии (см., например, Ж.

А да и а р. Элементарная геометрия, ч. 11, стереометрия. А!., Учпедгиз, 1938, прибавление О— о понятии объема, стр. 498-501, где изложено элементарное доказательство теоремы Шаля для объемов). * Условимся считать поверхность тетраэдра АВСР орнентиронанной, если ориентированы все его грани, притом тан, что ориентации двух любых граней порождают иа ребре, принадлежащем нм обоим, противоположные ориен4ации. Для того чтобы ориентировать поверхность тетраэдра АВСР, достаточно ориентировать лищь одну его грань, так как ориентация одной грани порож. дает в соответствии с принятым соглашение» ориентации всех остальных.

Таким образом, поверхность всякого тетраэдра АВСР можно ориентировать только двумя способами: АВС, ВАР, СВР, АСО и ВАС, АВР, ВСО, САР, Порядок первых трех точек нзждого слагаемого левой части равенства (1! выбран тан, что соответствующие этому порндну ориентации граней тетраздра АВСР образуют ориентацию его поверхности (в правой части в»есго АВСО можно записать ВАОС нли ЕВРА, или АСОВ).

Отметим, что теорема шаля для площадей (й 14, геор ма 1) может быгь ззписаиа тах: г 4 4 4 4 п. пиостнпдпин вопросы 42 яд4 удд ьсдр у= Иы уы Ыз: Узд Ызг Узд (а) а числа утз определяются соотношениями удд=ОЕ',, 64,— — ОЕд, у„в= ОЕз, ддз=ОЕ, ОЕз саз доз, дрз=ОЕ, ОЕз сов юд, узд — — ОЕзпОЕ, саз юр (6) (вз — угол между асами Ох и Оу, эд — угол между осями Оу н Ог, юз — угол между осями Ог н Ох) Из дсаремы 2 вытскают следующие следствия. . Следс та не 1. Если в пространстве введена общая декартова система координат и выбран масштабный отрезок т для измерения длин, причем куб, ребро которого равно масштабному отрезку т, служит для измерения объемов, то объем тетраздра АВСР с вершинами А(хд, У,, г,), В(хз, уь гр), С(хз, ум г,) и 0(24, уд, гд) вычисляется по формуле )Р = — У пшб з' у 6 где у- квадрат объема масппабпого параллелепипеда — вычисляется по формуле (6), причем дйз вычислнются по формулам (6), Сл е дс т и и с 2, Для дага чтобы четыре точки А (хи щ, г,), В(х,, Уь г,), С(х„уд, г,], Р(хз, уз, г,), заданные отд4ОСН~ЕЛь44О Общей декартовой системы координат, принадледкали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство АВСР=О, т с.