1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 8

! хд-х. Уд-у, 2,-2, хз — к, дрз — У, 72 — г, =О. 24 Уз Уд гз — 24 илн Сл е дс т в и е 3 Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы трн точки А(х,, У,, гд), В(хь Уз г,), и С(х„Уз, г,), не принадлежащие одной прямой. Тогда, если точкн Р(х, у, г) н 0'(х', у', г') нежат по одну сторону от плоскости АВС, то определители х — х. у — уз г — гз — х,— 24 Уд — Уз гд гз хз — кд Уд — Уз 24 — 24 х, у, г,! хду,г,! Дз 464 х,у гр! Х,У,2,! хз Уд 74 ! Х, уз 74 ! 24 У4 74 ! — хд — хд уд — уд гд — гз ( (7) или У= — 4поб хр — хд ур — уд гз — гд, (8) у 6 хз — 24 Уз — уд 24 — 24 х у г ! х, У, 7, 1 хд Уд гд 1 кз Уз 24 1 х'у'г' ! хт уз гз ! х, у, гз ! Хз уз гз х' — хз у' — у, г' — гз х,— х, у,— уз г,— г.

хз уз уз гз — гз имеют одип и тот же знак, а сели точки 0(х, у, г! и х!' (х', у', г') лежат по разные стороиы ог плоскости АВС, то оирелелигелп Ь и ап имеют протипоположиые зааки. $ !6. Углы 1. Определение угла Углом называется совокупность двух лучей р и д, выходящих из одной точки О. Точка О называется вершиной угла, а лучи р из)— его сторонами.

Если лучи р и о совпадают, то угол называется нулевым, а если один из них является продолжением другого, то развернутым. Углы обычно измеряют в радианах пли градусах. Если угол измеряется в радианах, то его величина :р принимает значения от 0 до и (величину 0 имеет нулевой угол, а величину !с †развернутый), Если угол измеряют в градусах, то его величина принимает значения от 0 до 180' (всличипу 0' имеет нулевой угол, величину 180' †развернут угол). 2. Ориентированный угол.

Его величина. Равенство, сумма и разность величин ориентированных углов Ориентированным углом рд называется упорядоченная пара лучей р и д, выходящих из одной точки О. В обозначении рд ориентированного угла порядок его сторон определяется порядком их записи! р †перв сторона, о — вторая. Пусть на плоскости, ориентированной треугольником Е,Е,О, лежит ориентированный угол рд с вершиной в точке О, отличный от нулевого и развернутого. Возьмем на лучах р н о соответственно точки А и В, отличные от вершины О угла рд. Будем говорить, что ориентированный угол рт) имеет положительную ориентацию, если положительную ориентацию имеет треугольник АВО (т, е. если треугольники АВО и Е,Е,О имеют одинаковую ориентацию), Если же треугольник АВО имеет отрицательную ориентацшо, то будем говорить; что угол имеет отрицательную ориентацшо.

Это определение не зависит от выбора точек А и В на лучах р и з), так как если А и А' †д точки, отличные от точки О и лежащие иа луче р, а В и В'-две точки, также отличные от точки О и Г а а а а 11 ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ лежащие па луче д, то треугольники АВО и А'В'О имеют Одинаковую ориентацию. Нулевому и развернутому углу не приписывается определенной ориентации (ни положительной, ни отрицательной).

Отсюда, между прочим, следует, что плоскость можно ориентировать, задав но ней ориентированный угол рд (ненулевой и перазвернутый). В таком случае плоскость считается ориентированной треугольником АВО, где А н  — любые точки, отличные от вершины угла ра) и лежащие соответственно на его сторонах р и д. Величине (р, о) ориентированного угла рд, лежащего на ориентированной плоскости, приписывается бесконечное множество значений: (р, 11) =а+2йп (1) (й принимает все целые значения), где ! а) = р; а 1р — величина угла со сторопамн р и д; при этом аР О, если угол рд имеет положительную ориентацию, а ~ О, если угол рд имеет отрицательную ориентацию, а=О, если р1) — нулевой угол, и а=И, если р1) — развернутый угол. Заметим, что а в формуле (1), называемое главным значением ориентированного угла рд, можно заменить любым другим значением Л величины ориентированного угла рд.

Так, например, если а= †" , то каждое из выражений п а +2йп, а +2нп, ь +2йп и т' д'~ 1Зп 11п где й принимает все целые значения, определяет одно и то же множество чисел. Главное значение а величины ориентированного угла рд заключено в полуинтервале ( — и, и), т. е. — а (и~И. Заметим, что два любых значения (р, 1)) величины ориентированного угла обладают тем свойством, что их разность кратна 2а (т. е. отношение этой разности к числу 2л есть число целое).

В связи с этим обстоятельством формулу (1) часто записывают в виде (р, д) = а (шод 2п) (2) (читается так: «(р, д) сравнимо с а по модулю 2ль). В последней формуле (2) число а можно считат. любым значением величины ориентированного угла (рд). Будем считать величины (р, о) и (р', д') двух Ориентированных углов рд и р'д', лежащих на ориентированной плоскости, равными, если множество всех значений величины одного из нпх совпадает с множеством всех значений другого. Величины (р, д) и (р', д') ориентированных углов р~ и р'д', лежащих па ориентированной плоскости, равны тогда и только тогда, когда разность любых двух значений величин этих углов кратна 2п (т. е. отношение этой разности к числу 2л есть число целое). Это обстоятельство записывают так.

(,о, Ч) — = (р', Ч') (гпоб 2п). (3) Таким образом, в формуле (3) можно считать, что (р, д) — люоое нз значений величины угла рд, а (р', д') — любое из значений величины угла р ц ° Суммой (р, д) —; (р', д') величины (р, д) ориентированного угла рд с величиной (р', д'), ориентированного угла р'д', лежащих па ориентированной плоскости, называется бесконечное множество чисел, которое получится, если каждое из значений величины угла рд сложить с каждым пз значений величины угла р'д'.

Сумма (р, д)+(р', д') величин орпенткрованных углов рд и р д' рзвна сумме двух любых значений (р, д) и (р', д') величин этих углов, сложенной с 2йп, где й принимает все целые значения. Например, (р, д)+(с), р)=0 (шоб 2п), (4) так как среди всех значений (р, д) и (д, р) ориентированных углов рд и др найдутся два таких, сумма которых равна нулю. Разность (р, д) — (р', д') величин ориентированных углов рд и р'р', лежащих на ориентированной плоскости, определяется аналогично тому, как была определена сумма этих величин. Прп вычислении разности (р, д) †(р', д'), и здесь можно вычесть любое из значений (р', д') нз любого значения (р, д) и добавить 2М, считая, что й принимает все целые значения. При этом удобно пользоваться формой записи, аналогичной соотпошеншо (1).

Например, (р, д) — (р, д) жО (п1ой 2п). (5) 3. Угол между двумя осями. Угол о т одной о с и д о другой н его величина Пусть 1 и т — две осн, имеющие общую точку О; тогда углом между осями 1 и )и называется угол с вершиной О, сторонами р н д которого являются лучи, лежавшие па осях ) и и, выходящие нз точки О и идущие в положительных направлениях этих осей; ориентированный угол рд называется углом от осн ) до осн ьи Если оси ( н т имеют общую точку О н лежат на ориентированной плоскости, то величине О, т) угла )и от оси 1 до оси гл Г ~ а в а I! ггностспгпис зопгосы приписывается бесконечное множество значений; (1, т) =сг+21гл, (6) где а — любое из значений угла от оси 1 до оси т, а й принимает все целые значения, Формулу (6) можно записать так: (1, и)= — п(щог(2гг).

(7) Если лучи 1 и гп параллельны н направлены в одну сторону, то говорят, что они образуют пулевой угол и приписывают величине угла от осп 1 до оси и бесконечное множество значений 2йл, где Ь принимает все целые значения: (1, пг).=0 (пгог(2л). (6) Если лучи 1 и т параллельны и направлены в разные стороны, то говорят, что они образуют развернутый угол и приписывают величине угла от оси 1 до осн т бесконечное множество значений (21+ 1) л, где 1г принимает все целые значения: (1, т) = л (итог( 2л).

(9) Равенство, сумма и разность величин (1, т) и (Г, т') углов 1и и Гт' от осн 1 до оси и н от оси 1' до оси пг' определяются соответственно как равенство, сумма и разность величин ориентированных углов, являющихся угламп от оси 1 до оси т и от оси Г до оси и'. В записях равенств этих углов, значений их суммы или разности естественно пользоваться той же формой записи, заимство.

ванной нз теории сравнения, которая была указана в п, 2 настоящего параграфа. 4. Углы между двумя прямыми. Угол от одной прямой до другой н его величина Две прямые а н Ь, имеющие общую точку О, образуют четыре угла; любой из этих углов называется углом между прямыми а и Ь. Любой пз углов между двумя прямыми а и Ь, стороны которого упорядочены, притом так, что первой стороной угла является та, которая лежит па прямои а, а второй — та, которая лежит на прямой Ь, называется углом от прямой а до прямой Ь и обозначается аЬ. Если прямые а и Ь лежат на ориентированной плоскости и имеют общую точку О, то величине (а, Ь) угла аЬ от прямой а до прямой Ь приписывается бесконечное множество значении: это множество всех значений только что указанных четырех ориентированных углов.

Если а — одно из значений (а, Ь) ориентированного угла аЬ от прямой а до прямой Ь, то все значения (а, Ь) заклю- 6 ск стлы чаются в формуле (а, Ь)=а+да, (10) где й принимает все целые значения. Формулу (10) можно записать и так: (а, Ь)же(сноба). (11) Если прямые а и Ь параллельны, то говорят, что они образуют нулевой угол и считают (а, Ь)= — 0 (тоба). (! 2) Главным значением сс угла аЬ от прямой а до прямой Ь, лежащими на ориентирова спой плоскости, называется то из значений этого утла, которос заключено в полуинтервале 10, и), т, е.