1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 6

Ориентированньчм треугольником АВС называетсл упорядоченная тройка точек А, В, С. В обозначении АВС ориентированного треугольника порядок точек определяется порядком их записи: А — первая точка,  — вторая, С вЂ” третья. Если точки А, В, С не принадлсжат одной прямой, то ориентированный трсугольпик ЛВС называется нсвырожденным, а если точки А, В, С принадлежат одной прямой, то — вырожденным. Плоскость, на которой фиксирован вевыролсденный ориентированный треугольник Е,Е,О, называется ориентированной. Рассмотрим произвольный невырожденный ориентированный треугольник ЛВС, лежащий на плоскости, ориентированной треугольником Е,Е,О. Будем говорить, что треугольник ЛВС имеет положительную ориентацию, если треугольники АВС и Е,Е,О имеют одинаковую ориентацию; если же треугольники АВС и Е',Е,О имеют противоположную ориентацию, то треугольник ЛВС имеет отрицательную ориентацию.

Определение одинаковой н противоположной ориентаций двух невырожденных ориентированных треугольников, лежащих в однои плоскости, дано в дополнении ! и конце книги. Можно пользоваться и следующим наглядпьы определением. если обходы коптУРов тРеУгольников АВС и Е,ЕВО в напРавлении От пеРвых веР- шип ко вторым н третьим совершаются в одном направлении (оба против часовой стрелки или оба по часовой стрелке), то треугольники АВС н Е,ЕаО имеют одинаковУ~О оРиентацию (Рис. 22), а если указанные обходы совершаются в противоположных направлениях (один против часовой стрелки, а другой по часовой стрелке), то треугольники АВС и Е,Е,О имеют противоположную ориентацию (рис.

23). Вырожденному ориентированному треугольнику АВС не приписывается никакой определенной ориентации (нп положительной, ни Отрицательной), Введем bа плоскости декартову прямоугольную систему координат; ориентируем ее греугольником Е,Е,О, где О— З м деленна ~~накаленно~ о оггсзкл в алином отношсиии Рис. 22 Рис 23 квадратом со стороной ОЕ, = ОЕ,), и которое положительно, если треугольник АВС имеет положительную ориентацию, и от- рицательно в противном случае.

Итак, ~АВС~=нл, ~ АВС, причем АВС > О, если треугольник АВС имеет положительную ориентацию, и АВС (О в противном случае. Если АВС вЂ” вырожденный треугольник, то будем считать, что его площадь АВС равна нулю: АВС = О. При перестановке двух вершин невырожденного треугольника ориентация его меняется на противоположную, поэтому нри круговой перестановке вершин треугольника АВС ориентация не меняется, а при нарушении кругового порядка вершин ориентация меняется на противоположную. Отсюда следует, что АВС= ВСА = САВ = — ВАС = — АСВ = — СВА. Эти соотношения верны, конечно, и для вырожденного ориентированного треугольника. Теорема 1 (теорема Шаля для площадей). Пусть А, В, С„ О— чеп1ыре произвольные точки, лежащие на плоскости и.

Введем на втой плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Пусть Π— начало координат, а ОЕ, и ОЕ,— масштабные точки соответственно осей Ох и Оу(ОЕ,=ОЕ,). Ориентируем плоскость начало координат, осей Ох ь Оу. /.'лтцадь'о АВС ки АВС, лежащего Е,Е,О, назьюаетсл щади треугольника а Е:, и Е, — соотяетсгаснно единичные точки невырохсденного ориентированного треугольнив плоскости, ориентированной треугольником число, абослютная челичина кол|араго равна пло- АВС, измеренной масштабным квадршпом (т.

Е, г з е в е ы ппостГГппиг гоппосы л орнентароьанныж глреугольникож Е,ЕзО. Тогда" ВСО+ СЛО+ А ВО = АВС. 1(оказательстчо Предположим сначала, что треугольник АВС пе вырождается. ! 1Ъсть точка 0 лежит внутри треугольника ЛВС (рис 24); тогда ' ' пл т~т ВСО+ил. т~т САО+ил г~ АВО =пл. ~~, АВС, илп ! ВСО ) + ( С АО ! + ! А ВО ! = ~ АВС ! . (2) В пассчатрнвасмом сл,чае все треугольники ВСО, САО, ЛВО и АВС изкпот одинаковую ориентацию, поэтому все числа, стоящие под знаком модуля в соотношении (2), имеют один и тот же знак Если все они положитель- ны, то знак модуля (по опредсленшо модуля или абсолютной величины числа) можно снять. Если Рис.

25 Рис. 24 все опп отрицательны, то при снятии знака модуля перед каждым выра>капнем и слева, и справа надо поставить знак минус и после перемены знака опять получим равенство (1). 2 11редположим, что точка 0 лежит в области, ограниченной отрезком ЛВ и лучами, полученными продолжениями отрезков ' Фопчулу (11 чожно переписать в анде АВС+ВАО+СВВ+АСВ =О. Завом.пть сс можно так треугольник АВС ориентируется любым яз днух возможных способов, иапрпчср АВС, каждый из остальных трех треттольнкков ориен тируется так, что общие сторочы двух любых треугольников оказались бы орпентированмычгг в противопотожных направлениях (иапример, в треуготьчике АВС первоя является вершина А, второй — вершина В, значит, при ориентации треуголышка с вершиначн А, В, 1З надо взять первой верьшчт В, вгорой А, а третьей 1З) ** Пло.цадь измеряем члсштабныи квадратом, 5!! ОГИГНТГ!РОВА!Г!!ЫИ ГРЕУГОЛГПГИК СА н СВ за точки А и В (рпс.

25). Тогда пл.,~~ ВСР+ пл. СГ САР— пл. ~ АВР = пл. ~1 АВС, нли ~ВСР~~(СЛР( — ~АВР(=~ЛВС~. (3) В рассматриваемом случае треугольники ВСР, СЛР и АВС имеют одинаковую ориентациГо, а треугольник АВР имеет ориентацию, им противоположную. Значит, ВСР, СЛР, АВС вЂ” числа одного знака, а число А ВР имеет знак, им противоположный.

Если, например, ВСР>О, СЛО>О АВС>О АВР<О то из равенства (3) сразу следует равенство (1), а если ВСР <О, САР <О, ЛВС< О, АВР> О, то после перемены знаков в левой и правой частях равенства (3) снова приходим к равенству (!). Аналогично доказывается правильность формулы (!) для случая, когда точка Р лежит в ооласти, ограниченной отрезком ВС и лучами, полученными продолГкенисм отрезков АВ и ЛС за точки В и С, и для случая, когда точка 0 лежит в области, ограниченной отрезком СА и продолжениями отрезков ВС и ВА за точки С и А.

3. Предположим, что точка 0 лежит внутри угла, вертикального с внутренним углом А треугольника ЛВС (рис. 26). Тогда пл. ~~в ВСР— пл. !~! САР— пл. Г~! АВР = = пл. У! АВС, С или ~ ВСР! — (СЛР( — ) АВР! =! АВС! . (4) Теперь числа ВСР и АВС !Вне!от одинако- рнс, З вые знаки, а числа САО и АВР— знаки, им противоположные, поэтому из равенства (4) опять следует равенство (1). Аналогично доказывается правилыГость формулы (1) для случая, когда точка 0 лежит внутри угла, вертикального с внутренним углом В или с внутренним углом С треугольника АВС. 4. Предположим, что точка 0 лежит на прямой ВС между точками В и С (рис. 27).

е !Г, С. Мадевав ая г я а ~ а и пгостепщнс вопгосы В этом случае пл. ~ СА0+ пл. ~ АВ0 = пл. ~ АВС, или )СА0)+(АВ0)=)АВС~. (5) В рассматриваемом случае треугольники СА1~, АВ0 и АВС имеют одинаковую ориентацию, поэтому числа СА0, АВ0 н АВС 4 Ряс. 87 Рис.

28 одного знака, и нз равенства (5) следует равенство (1) (так как в рассматриваемом случае ВС0 =- О), Аналогично доказывается правильность формулы (1) в случае, если точка 0 лежит на стороне СА между точками С и А или на стороне АВ между точками А и В. 5. Предположим, что точка 0 лежит па продолжении отрезка ВС за точку В. Тогда (рис. 28) пл. ~ СА0 — пл, ~ь АВ0 = пл.,~~ АВС, или )САР! †)АВ0(=)АВС~. (6) В рассматриваемом случае треугольники СА0 и АВС имеют одинаковую ориентацию, а треугольник АВ0 имеет ориентацию, им противоположную, поэтому числа СА0 и АВС одного знака, а АВ0 имеет знак, противоположный им.

Если, например, СА0 > О, АВС> О, АВ0 <О, то из равенства (6) сразу следует равенство (1) (надо еще учесть, что ВС0 =О), если СА0 < О, АВС < О, АВ0 > О, то, поменяв в ооеих частях равенства (6) знаки, опять придем к равенству (Ц, ! !4 ОРНГНТИРОВЛИНЫН ТРЕУГОЛЬНИК Аналогично доказывается правильность формулы (1) для случая, когда точка 0 ле,кит па продолжении отрезка ВС за точку С, а также когда она лежит на прямой СА (на продолжении отрезка СА за точку А или за точку С) илн на прямой АВ (на продолжении АВ за точку А или за точку В).

Наконец, читатель без труда проверит, что формула (1) верна и в том случае, когда точка 0 совпадает с одной из точек А, ВилиС. Остается рассмотреть случай, когда точки А, В, С принадлежат одной прямой. Если при этом и точка 0 принадлежит той же прямой, то соотношение (1), очевидно, верно (опо обращается в равенство 0==0). Предположим поэтому, что среди точек А, В, С, 0 есть три точки, не принадлежащие одной прямой.

Пусть, например, точки В, С, 0 не принадлежат одной прямой. Тогда по доказанному имеем ВСА+С0А+0ВА =ВС0, или ВС0 — СОА — 0ВА = ВСА, или ВС0+СА0+ АВ0 = АВС. Теорема 2, Если относительно общей декартовой системы координат хОУ на плоскости заданы точки А (х, у ), В (х„у,), С(х„уе) и выбран л!асшн!абный отрезок т для измерения длин и плои(адей (за единицу измерения площадей выбирается квадрат со стороной т), то площадь АВС ориентированного треугольника АВС вычисляется по формуле х, у, 1 — ЯО АВС= — ' х, У,1 2 ха ув 1 или — ~о )х1 хз ут уз АВС= —, х,— х,у -у, (8) где 5,— площадь масштабного параллелограмма, т. е. параллелограмма, двумя сторонами которого являются масштабные отрезки ОЕ, и ОЕ, соответственно осей Ох и Оу.

До к а з а те л ь с т в о. Сначала предположим, что точка А лежит на осп Ох и не совпадает с началом координат (х,чьО, УГ=О), точка В лежит на оси Оу н не совпадает с началом координат (х, = О, у, Ф 0), а точка С совпадает с началом координат (.Ть = Уз = О) г и а в а ы. ппоствпшнв поппосы 36 Тогда ~ АВС~ пп.

!х АВС 1 пп. БРАВО 1 ОА ОВ Вп Во 2 пп. Ь Е1В~О 2 ОВ1 ОЕц ! ! — — ! х, ((у, ( = —, ( х,у, (. (9) Далее, если х у, > 0 (т. е, точки А и В лежат на положительных полуосях Ох и Оу или па их продолжениях), то треуголшшки АВО и Е,Е,О имеют одинаковую ориентацию, т. е. АВО > О. Если же х,у, < О, то треугольники АВО и Е,Е,О имеют противоположную ориентацию, т. е. АВО < О.

Таким образом, х у, и АВΠ— числа одного знака, а потому из соотношения (9) следует, что 50 АВО= — 'х,у,. 2 (10) Последнее соотношение верно, конечно, и тогда, когда одна из точек А или В (или обе) совпадает с началом координат. Пусть теперь точки А и В занимают на плоскости какое угодно положение, а точка С совпадает с началом координат. Обозначим через А! и В, параллельные проекции точек А и В на ось Ох параллельно осн Оу.