1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu)

УД1«б!6 Настоюиая книга предназначена в качестпе учебника по аналитической геометрии для студентов меха. нико-матечазнчес«нк, физических и физйко-чатемати. ческнх фзкульзе~ов уннверсятетов н педагогических институтов. Наличие в книге задач с решечнямн и задач для .аностоятельпого репгепия (с ответамн1 позволяет использовать заочни«зми эту часть книги как материал семинарских занятий. Помимо траднпнонпо~о материала по зпзлитнческои геометрии и книге дано понятие о яипсйном пространстве и линейном многообразии. Линейное отображение определяется как коллпнеапня. прн которой сохраняется простое отногпение Из.хожена поня гие собственных векторов Дана мегричсская теория ипвариантов в аффипной системе.

Рассмотрешз произвольные плоские сечения поверхности нторого порядка Проектнпные координаты и гсоремы Дезарга, Паскаля н Бриапшопа даны в .ю. по«пенни в основном тексте — только однородные ь ордипаты Печатав«си по постановлению Редакниоино-нзда~ельского совета Московского университета 2 — 2 — 3 ЬЗ 79 1иза 6 ПРЕДИСЛОВИЕ В главе 1 вводится понятие направленного отрезкг, г згтем известное соотношение между трсмя точками, лежгщими на прямой (тсорема Шгля). Обобщением понятия направленного отрезка (упорядоченная нара точек) является понятие ориентированного треутольпика (упорядоченная тройка точек) н орвептнрованното тетраэдра (упорядоченнгя чствсркг точек).

Имеют место соотношения, аналогичные теореме Шаля. Включение этого материала в книгу позволяет дать общие выводы формул, относящихся к простейшим згдгчгм по гнглитической гсометрни (ргсстояние между двумя точками, деление отрезкг в дгппом отношении, площадь треугольника, объем тстргэдрг), г также получить необходимое н достгточнос условие прингдлежности трех точек одной прямой и прннгдлсжности четырех точек одной плоскости. Простейшие вопросы по англитической геометрии изложены последовательно на прямой, нг плоскости н в пространстве. Это обстоятельство, а также введение понятия ориентированной плоскости н ориентированного простргнства позволяет с сгмого нгчалг изучения курсг значительно ргсширить тематику згдгч нг пргктических занятиях (главы 1 — П).

Глава П1 посвящспг понятию уравнений линни и поверхности (задгчи 28 — 25, 29, 30 нг сгр. 87 — 88 лучше решать после прочтения глав 1Ч вЂ” Ч1). В главе 1Ч изложснг векторнгя алгебра. Линейныс обргзы нг плоскости и в простргнстве изложены в главе Ч (прямая ливня нг плоскости) н в глгвс Ч1 (плоскость и прямгя линия в пространстве). В главе ЧП содержится материал, относящийся к преобразованию декартовой системы коордннгт (сюда включены углы Эйлера). В главе ЧП 1 дан традиционный материал по кгнопическим ургвнсниям линий второго порядка, а в глгве 1Х изложен ы канонические уравнения поверхностей второго порядка.

В главе Х дгпы сведения о комплексной плоскости и комплексном простргнстве. В главс Х1 излогкспа общая теория линий второго порядкг, г в главе Х П вЂ общ теория поверхностей второго порядка. В главу Х1П выделены понятия отображения, прсобргзовашья н группы преобразований. пгидисчояив Линейное отображение (и преобразование) определяется как отобра>кение, при котором сохраняется принадлежность трех точек одной прямой н сохраняется простое отношение (~ лава Х !Ч); эти 1 удается охватить вырожденные линейные преобразования.

Аффпццос преобразование определяется как линейное взацьшо одиозна ~пос. В той же главе Х(Ч даны свс,сция о собственных векторах линейного преобразования и доказана основная теорема о представлении аффиццого преобразования в виде произведения ортогонального на саьюсопряженцое. Все изло кение ведется одновременно для плоскости и пространства. В главе Х Ч нзло ксцы элементы проектизцои геометрии. В книгу включены четыре дополнения. В дополнении ! вводится понятие ориентации плоскости и пространства рассмотрением цепей цз ориентированных треугольников и тстраэдров; все отпосяцгиеся сюда определения использу1от лишь аксиомы соединения и порядка (и пот ~чу, например, могут быть без всяких изменений отнесены к плоскости и пространству Лобачевского). В дополнении Н излагается метрическая теория цнвариаптов многочлена второй степени от двух и трех переменных по отношению к преобразованию одной общей дехартовой системы координат в другую. Даются понятия ковариаптцых и контравариантных координат вектора и точки; излагается понятие метрического тепзора.

В П! дополнении исследуются гипы и расположение в пространстве произвольных плоских сечений повсрхцости второго порядка, заданной общим уравнением, в частности круговые сечения и омбиличсскне точки. В дополнении (Ч излагается понятие просктивных координат на проективпой плоскости и в проективном пространстве и приводятся доказательства теорем Дезарга, Паскаля и Бриацшона. В основном тексте я ограничился рассмотрением однородных координат. Выражаю глубокую благотариость академику П. С. Алсксандрову за просмотр рукописи, обсу,кдсцие сс на кафедре высшей геометрии ц топологии, за ссе сделанные замечания ц советы. Много ценных замечаний я получил от профессора Ю.

М. Смирнова. Особую призпательцосгь и благодарность я приношу доценту кафедры высшей геометрии и топологии МГУ А. С. Пархоменко, который провел очень большую работу над рукописью цри ее редактировании н дал мно о ценных советов. ел.! и а! АНАЛИТИЧЕСКАЯ РЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ $1. Направленные отрезки Направленным отрезком АВ называется упорядоченная пара точек А и В. Первая точка Л называется началом направленного отрезка АВ, а вторая точка  — его концов! Ю (рис.

1). В обозначении направленного отрезка ЛВ порядок точек определяется порядком их записи: Л вЂ” первая точка,  — вторая. Если точки А и Рис. 1 В различны, то направленный отрезок АВ называется ненулевым (или пееырожденным), а если точки А и В совпада!от, то направленный отрезок ЛВ называется пулевым (или вырожденным). ф 2. Ось. Координата направленного отрезка Осью называется прямая, на которой фиксировано положительное направление и выбран масштабнь!й оп!резаке, Координатой ненулевого направлеттттого о!презтса ЛВ, лежа!агвана оси ), назьиается число АВ, модуль которого равен длине ЛВ направленного отрезка ЛВ, изнерснной масти!пабныл! отр'оком оси 1; оно положительно, если направленный отрезок ЛВ и ось 1 имеют одинаковое направление, тл отрица,!тельно в проттлвном случае, Координата пулевого направленного отрезка по определению равна нулю.

Часто осью называю~ яра!!!то, на которо," фиксировано иолонтнтстьноз ьанранзе !не. В аналитическое геок!!ран ионятнс о: и употребляется чаще всего в тон смысле, как только что указано в исконно!! тексте, Г а а,а Ь АНАЛИТИЧГСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НЛ ПРЯМОЙ 5 3. Ось координат. Координата точки Осью координат называется ось, на которой фиксирована точка О, называемая началом координат. Координатой х точки М, лежащей на оси координат, называется координата направленного отрезка ОМ: х= ОМ.

Точку М, имеющую координату х, обозначают так: М(х). Точка Е (1) называется единичной точкой. Отрезок, концами которого являются начало коордипат и О Е единичная точка, равен масштабпому у отрезку (рис. 2). Ось координат можно задать, фиксиРас. 2 руя на прямой две различные точки О и Е (начало координат иедипнчную точку), так как при этом па прямой устанавливается положительпое направление (от О к Е), фиксируется масштабный отрезок ОЕ и начало координат О.

Направленный отрезок ОЕ, началом которого является начало координат, а концом — единичная точка Е оси координат, называется масштабным (или единичным) и обозначается буквой е: ОЕ=е. Координата масштабного направленного отрезка ОЕ равна !. Направление масштабного отрезка ОЕ совпадает с положительным направлением осн координат. При помощи системы координат на прямой осуществляется взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел, т.

е. 1) каждой точке оси координат ставится в соответствие одно и только одно действительное число х (координата этой точки) и 2) каждое действительное число х является координатой одной и только одной точки этой прямой. Для построения этой точки в случае х=Д О надо отложить от начала координат отрезок ОМ, длина которого равна ~х~; прн этом отрезок ОМ откладывается в положительном направлении оси, еслп х > О, и в отрицательном, если х (О. Конец М отло.кснпого отрезка и будет точкой, координата которой равна х. чч теоегмх тлля ~ь 4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат.

Расстояние между двумя точками, лежащими па осн координат Теорема 1 (Шаля). Если Л, В, С вЂ” три .побыв точки оси, то АВ+ ВС.= ЛС. хток аз а те льс т во. Предположим, что точки Л, В, С попарно различны. Если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков ЛВ и ВС: !АВ!+~вс~=-~АС~; по так как в рассматриваемом случае направленные отрезки АВ, ВС н АС имеют одинаковое направление, то числа АВ, ВС н АСимеют один и тот же знак, а потому ЛВ -;-ВС==- АС. Если точка С лежи~ между Л и В, то АС+СВ = АВ, А — СВ =- ЛС, СВ= — ВС, ЛВ+ ВС=- АС. Если точка Л лежит между точками В н С, то ВА+АС=ВС, — ВА — , .'ВС = АС, ВА = — АВ, ЛВ+ ВС= ЛС. Если точки А и В совпадают, то ЛВ+ВС= ВС= АС.

Если точки В и С совпадают, то АВ+ВС= АВ= АС. Наконец, если точки А и С совпадают, то АВ+ВС= Ав+ВА=О= АС. Теорема 2. Координата АВ направленного отрезка АВ, заданного двумя точками А ~хд) и В ~хя) оси координат, вычисляется по формуле АВ = х, — х,. Доказательство, На основании теоремы Шаля ОА+ +АВ=ОВ, откуда ЛВ = О — ОА = х,— хм Теорема 3. Расстояние д между точками А(хт) и В(хз) оси координат вычисляется по формуле д=~х,— х,!. Зта теорема является следствием предыдущей. 8 Г а а аа г Лп т ЗИтИЧПСКЛЯ г ГОЧг тРггЯ НЛ ПРЯМОП й Б. Деление направленного отрезка и данном отношении Пуспгь на одной и той эке п,замой лежагт два направленных отрезк г АВ и СО, лгрич .и С0 чевыроасденный поправ.генный АВ огпре:ок, Тогда опгношением — г случае, если пап равлгнный СВ Оогггезах АВ таКжв НЕВЫрОждЕННЫи, Навмеастея ЧиСЛО Л, абСОЛЮт- АВ ная величина которого равна отногиению —, и котпорог половкисо тсльно, если АВ и Сг) имеюлг одинаковое направление, и отричательно в противном случае.

Если отрезок АВ вырожденньгй, а АВ отрезок СЕг иевырождснпый, то будем считать, что — =О. Если Сы АВ отрезок СВ вырожденный. то отношение — не определяется. СВ Если отношение АВ к С0 равно )., то пишут АВ СР Пусть на некоторой прямой задан иевырожденный направленный отрезок ЛВ и пусть С вЂ” какая-нибудь точка этой прямой, отличная от точки В. Отношением, в котором точка С делит невырохсденный направленный отрезок ЛВ, называется чис.го Х, определяемое соотношением" АС Х СВ Из этого определения следует, что л, > О, если точка С лежит между точками А и В, и л, <О в противном случае.

При этом 1й) < 1, если точка А лежит между точками В и С, и )Х! > 1, если то гка В лежит между точками Л и С. Заметим, что отношение, в котором точка С делит невырожденпый направленный отрезок АВ, никогда не равно — 1. Теорема !. Если на оси координат заданы две различные точки А (хг и В(х,) и если точка С(х) делит направленный отрезок АВ АС а Огношеггие — наэыиают также простыи отношением точек А, В, С и СВ обозначают (АВВ). 5" дслгннг нзпглглгнного Отгсзкл в дхн!!Ом ОГБОп!г1~!и! 9 в ошно!иенни Л, то х — х, х, — 'Лх, Л= — и х=- хх х 1-гь Доказа~ельство. Из данного определения отношения Х, в ко~ором точка С делит направленный отрезок ЛВ, а тгкжс из определения координаты напраглепного отрезка, лежащего на оси.