1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 10

Пусть в пространстве введена полярная система координат. Введем еще декартову прямоугольную систему координат, принимая за положительную полуось Ох 'полярную ось, за ось Оу— ось, полученную из оси Ох поворотом ее вокруг полюса в эква- Ряс.43 Рис. 42 ториальной плоскости на угол +90' и зенитную ось за ось Ог (рис.

43). Пусть Р— проекция точки М на экваториальную плоскость, Обозначая через р длину отрезка ОР, находим х = р соз Гр, у = р з! п Гр. С другой стороны, р = г соз 8, значит, Х = Г' СОз 0 соз Гр, у=гсозВ зГП !р. Кроме того, ясно, что з= зГПВ г, чти п пгостгншин вопросы Формулы (1) верны н для того случая, когда точка М лежит па зенитной оси н когда опа совпадает с полюсом (при дополни- тельных соглашениях о величинах ~р и О в этом случае). По формулам (1) вычисляются декартовы прямоугольные коор- динаты точки М в случае, если известны ее сферические коорди- наты.

Из формул (1) следует, что хе + уз + г' = г', х' р уз = р' =- гз соз' О, откуда гсозО=)гхз-су', значит, г=)гхз+у'+г', х соз тр = )г х'-,р' з(п тр= р )Г хе и уз ' з!п 0 =- т х +уз+ге (2) 0 20, Задачи к главе Ц 1. Задачи с решениями П р им ер 1. Точка С делит невырождснный направленный отрезок АВ в отношении Х(ш ш 1) Точка 0 делит тот все отрезок в отношении — Х. В каком отношении делит отрезок АВ середина М отрезка С0. Р е ш е н и е. Введем на примой АВ систему т оордннат, ариниман точиу А ва начало координат, а ~о~ну В за едиаичнуш точку, Тогда коор инаты х' По этим формулам вычисляются сферические координаты г, ~р, О точки М, не лежащей на зенитной оси по ее декартовым прямоугольным координатам х, у, г (при указанном взаимном расположении этих двух систем координат).

3 а м е ч а п и е. Вторую сферическую координату тр часто называют долготой, третью 0 †широт. Иногда вместо широты 0 рассматривиот угол тр между положительным направлепиемзеннтной оси и лучом ОМ, идушем из полюса О в данную точку М; величина тр изменяется в пределах от 0 до и. Величина ф называется зенитным расстоянием. Так как 0 = †' — ф, то в формулах (1) и (2) (в случае, если за третью сферическую координату принимается зенитное расстояние) созО и з)пО следует заменить соответственно на з1пзрисозтй. ! ЗО.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Ы и х' точек С и Р будут Х „— Х !+Х' 1 — Х а координата х середины Л1 отрезка СР х'+ х" Хз х— 2 1 — ),з Отсюда находим Х-' АМ АМ 1 — ),' МВ МВ ! ь )"' 1 — Аз Отсюда, между прочим, следует, что точка М лежит вне отрезка АВ, ПРимеР 2. В точках А(х,) и В(х,) сосРедоточены массы гп, и глз, Найти координату центра тяжести этой системы матсриалькых точек. Репгенне. Центр тяжести С лежит между точками А н В и дели: от. резок АВ в отношении глзнпг.

Поэтому координата х центра тяжести определяется по формуле ь шз ХЗ-à — ХЗ ' шз глгх„+лтзхз гл, из+ глз газ 3 а меча н не, Методом полной индукции доказывается, что координатах центра тяжести системы из л точек: Мг (хз) Мз (хз) ° ° Мх (хл), в ноторых помещены массы, соотнетственно равные глм глз, ..., тл, определяется по формуле хгт, + глзхз+...

+ Гллх„ глг+глз+ .. +лз„ Пример 3. Найти координаты центра М (х, р) и радиус окружности, описапной вокруг треугольника АВС с вершннанн А (1, 2), В( — 1, О), С(3, — 1), Решен не. Имеем МА=-МВ=МС, МАз=МВз=МСз, нлн (х — !)'-1- + (р — 2) з = (х + 1) з + уз = (х — 3) з+ (р+ 1)з. 11 1 Решая эту систему уравнений, получим х= —, р= —, Центр 10' 10' /Н 1! М !А —, — — у!; радиус ~!0' !0)' г=АМ= "гг (1 — — ) +~2+ — ) / 11 з 1 з "ГГ442 Пример 4.

Найти центр М (х, р) и радиус г окружности, вписанной в треугольник АВС с вершинами: А (9, 2), В (О, 20), С ( — 15, — !О). Г в а в в /!. ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ (аа7 Позтоиу координаты точки Р будут 3 — ° (' — 15) 4 45 к' = 3 7' 1+— 4 20+ — ° [ — ! 0) 3 4 50 гв) у = 3 7 ' !+в 4 Далее, так как Э и Рис. 44 я(авва! ВС= фГ( — 15 — 0)з+( 1О 20)я=15 ТГ5 ВС 7 РС 4 ВР 3 ВО+ОС 7 — — то РС 4 ' РС 4 4 — 50 ТГ5 потому РС= — ° 15 )Г5 = —, Далее, 7 7 АМ АС 12 уГ5 7 МР СР 60 )Г5 а потому координаты точки М будут 5 ' 7 ( 45) к= — О 7 50 2+ — °вЂ” 5 7 у= 7 =5.

1+— 5 7 1+— 5 Центр вписанной окружности М (О, 5). Радиус МК вписанной окружности можно найти из соотношения — ВС МК= ил. в"ь ВСМ, 1 2 или О 201~ — 15 РГ5 ° МК= — шод ! — 15 — !О ! 0 51~ — ° МК .= —, МК = 3 )Г5 . 15 РГ5 !5з 2 2 Пример 5. На ориентированной плоскости задал невырождеиный ориек— + тировавиый треугольник АВС.

Пусть М вЂ” произвольная та зка плоскости. Числа ВСМ САМ АВМ( а— у= АВС АВС ААВС Р е ш е н и е. Пусть 0 (л', у') — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла А треугольника АВС со стороной ВС (рис. 44) Тогда точка 0 делит направленный отрезок ВС в отношении ВР АВ )Г(9 — 0)з+(2 — 20)' 3 РС АС РГ(9-) !5)з+(2-( 10)з 4 420. злдлчи к гляни !! г>7 Рис 45 СА и АВ (стороны изображены в виде полос), Если вершины невырожденного ориентированного треугольника заданы относительно общей декартовой системы координат А («„у,), В(хз, уз), С(х„уз), а точка Л! имеет координаты х и у, то х, у, ! ~ "з уз ! ~ х у хт у, 1 хз у, 1 «з уз ! хэ ут хз ув хз уз называются барицеитрическими координатами точки М относительно ориен.

тированнога треугольника АВ~:. Если точка М лежит внутри треугольника АВС, то все треугольники — — ) — эь ВСМ, САМ, АВМ, АВС имеют одинаковую ориентацию в, значит, все цщла ВСМ, САМ, АВМ и АВС имеют один и тот же знак; поэтому для любой точки М, лежангей внутри треугольника АВС, имеем и > О, () > О, у > О. Если точка М переходит через какую-нибудь одну из сторон треугольника АВС, то соответствующая барицентрическая координата меняет знак; например, для всех точек области, ограниченной отрезком ВС и продолжениями отрезков АВ и АС за точки В и С, имеем а < О, (3 >О, у > О. Наконец, если точка М лежит на одной из прямых ВС, СА или АВ, то соогвстствующая барнцентри ческая координата равна нулю.

На рисунке 45 показана распределение знаков барпцентрических координат точки М в зависимости от ее положения относительно прямых ВС, Г э э э а 1?. ПРОСТЕИШИЕ ВОПРОСЫ 58 и, вычисляя а, (), у, можно по их эпакач (без чертежа) определить распо. лажеине тачки М относительно треуготьпика АВС. Пример 6. Относительно общей декартовой системы координат заданы четыре точки А (ы,, у,), В (х,, у,), С(хз, уз) и 0(ха уэ). При каком необходи.

мом и достаточном условии эти четыре точки могут служить вершинами выпуклого четырехугольника? Решение. Это будет тогда и только тогда, когда треугольник АВС невырожденный, а точка Р находится с одной пз трех областей, каждая иэ которых ограничена стороной треугольника АВС и продолжениями двух других эа граничные точки этой стороны Пусть а, (), у — барнцентрические коарди— + наты точки 0 относительно треугольника АВС. Только одно лз чисел а, (), у должно быть отрицатеяьно, а два других — положительны. Значит, искомое необходимое и достаточное условие ару < О, или ! х, уэ ! )) х, уз ! ) х, у, ! ~) х, у, 1 хз уз ! хг уг ! ке уэ 1 хэ уэ 1 ( О.

хэ уэ ! кз уэ 1 хэ уз ! хз уз ! 2. 3 а д В ч н д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о решения !. Доказать, что если А, В, С, Р— четыре произвольные точки, лежащие на оси, то АВ СО+ АС РВ+ АР ВС=О. 2. Точки Р и О делят невырожденный направленный отрезок АВ в отношениях, соответственно равных Л и р (Л ~р, )с~о). В каком отношении тачки А и В делят отрезок РО? Л (1+9) 1+5 Охлж р(!+Л) ' 1+Л 3, Точки Р, О и ?? делят невырожденный отрезок АВ в отношениях, соответственно равных Л, р и ж В каком отношении точка ?? делит отрезок Р (РФ ? р) Оглз (1 + р)(ч — Л) (1+Л)(р — т) ' 4.

Тачки Р и О делят невырожденный направленный отрезок АВ в отно- п1ениях, соответственно равных Л и )ь. Пусть ?? — середина отрезка РО, В па- ком отношении точка )? делит отрезок АВ (Л+р ~ — 2)? О Л+(х+ 2Л)ь 2- )- Л+)э 5. В точках с координатами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7„8, 9, 1О помещены массы, соответственно равные 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Найти координату центра тяжести системы. Огпв 7. 6. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точки ( — 8, -4) и от на- чала координат. Олгз (О, — !О). 7. Найти точку М (х, у), симметричную точке А (2, 3) относительна прямой, проходящей через точки В (~, 3) н С( — 6, -4), Оглз. ( — 5, 4). 8.

Найти точки пересечения с осямп координат прямой, проходящей через точки А (3, 4) н В (2,— 1). /! ! Ота. ! —, О), (О, — 1!). (дб' 9. Найти координаты х и д центра тяжести треугольника АВС с вершинами ,4 (хд, дд), В (хз, д,) и С (хз дз). Ота. х= хд+ хз+ хз !>>+ дз+ дз 3 ' 3 1О. Даны две смежные вершины А( — 4, — 7) и В(2,8) параллелограмма и точка М (3, 1) пересечения его диагоналей.

Найти две другие вершины. Ота. (10, 9) и (4, — 4). !1. На прямой, проходящей через точки (4, 2) и (О, — 1), найти точки, отстоящие от точки ( — 4, — 4) на расстоянии 5. Ота. ( — 8, — 7) и (О, — 1). 12. Найти расстояние от точки (2, О) до прямой, проходящей через точки (1, 1) и (5,4). 7 Ота. —. 5 ' 13. Две вершины треугольника находятся в точках (5, 1) и ( — 2, 2); третья вершина лежит на оси Ох. Найти координаты третьей вершины, зная, что площадь треугольника равна 1О. Отв.