1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 5

Направлеиньге отрезки АгАь, ~1,А3. А„гЛ„~дем взывать звеньялги ломаной, а А,˄— залгыкаюи!ей ломаной Л,,4ь... Л„ постоянна мсждк дв,мя,о,кл..~ 26 Теорема б. Координата проекпии золилкаюи)ей ломаной на ось оавн ~ суичг кгординсип пр екнии ее звеньев на ту же ось. Доказазельсгво. Пусть Л„А, ..., А — соответственно проекции точек А,, Л„..., А, на ось (. Тогда и основании теорем, Ш цзя ып см коорд.

пр., А,А,-,'- коорд. пр., А,А,+... + +коорл. прч А„,Л„= А,А.—;-А.,А,+... + Л„,А,,= = Л, А„=коорд. прч А,Л„. 11. РАЕС'1'ОНННЕ МЕЖДУ ДРУНЯ '1ОМ1САНН. ДКЛЕННЕ НАНРАНДЕМНОРО 1эт Гезнд В дАнн0% ОтнО1неннн. Площадь 'и'еуГОльнн14А. Онпиен тетРАэдРА 5 !2. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве Теорема 1. Расспюяние й между двумя точками М,(х„у,) и М, (х, Уе), ваданнь1ми относительно пРЯА1оУгольной системы кооР- динат а плоскости, равно корню квадратному иэ суммы квадратов разностей соответствуюи1их координат этих точек, т.

е й = ) (х, — х )' + (у, — и,)'. ()) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что х, ~х, и у1Ф у,. Рассмотрим точку М(х.„у,). Пусть М, (х,, О) н М'(х„0) — проекции точек М,(х„у,) и М(х„у,) на ось Ох, а М,(0, уе) и М" (О, у,) — проекция точек М,(х, у,) и М(х,, у,) на ось Оу. На основанли теоремы 3 Ь' 4 длины отрезков М,М'и М,М" равны М, М' == ,.' х„— х, (, М,~И" == ! у.

— у, !. Так кгг точки М,(х„у,) ы М(х,, у,) имеют одинаковые ордипаты, то отрезок М,М лежит на прямой, параллельной осн Ох, нлн па самой осн Ох. Поэтому длина отрезка М,М' равна длине отрезка М,М: М,М =1х,— хт(. диалогично доказывается, что М Ц (у1 у!(' Далее, ~5„М,ММ,— прямоугольный (,~ М„ММ. =.90"), так как отрезок М,М лежит на прямой, параллельной осн Ох, или иа Га а аа Н ПРО~.ТВЙШИВ ВОПРОСЫ самой оси Ох, а отРсзок ММВ лежит на ПРЯчой. ПаРаллельпой оси Оу, или па самой осп Оу.

Значит, М М1 = М,Мг -1- ММ' = !.Хэ — х, )а -Р!у — у, )1, нли, обозначая М,М. через д и замечая, что квадрат модуля числа равен квадрату самого этого числа, получим Г!' = (Х, — Х,)'+ (Уа — У1)1, откуда следует формула (1). Если у, =у,, то отрезок М,М, лежит на прямой, параллель- ной осн Ох, или на самой оси Ох. В этом случае длина отрезка равна длине его проскции на ось Ох, т. е, 1х.— х1!. Но при у, =у, то жс самое получится и из формулы (1): 1! — — ) (Ха Х1)' — (Уа У1) = Г (Ха Х1) !Х" Аналогично доказывается правильность формулы (1) и случае х1 = Х2 Теперь предположим, что направленный отрезок М,М,— ненулевой.

Из предыдущих рассуждений ясно, что координаты проекпий этого направленного отрезка М,.М, па осн Ох н Оу со- ответственно равны х,— х, и у,— у, (тсорема 2, ) 1!). С другой стороны, обозначал через к и р углы направленного отрезка М,М, с осями Ох и Оу, на основании теоремы 1 2 11 заключаем, что координаты проекций отрезка М,М. на оси Ох и Од равны дсоза и дсоз(1, где 1! — длина отрезка М,М,.

Итак. йсоза=х,— х,, дсоз!)=у,— у,, откуда (2) Углы и и (1, которые образует направленный отрезок М,Ма с осями Ох н Оу„называются его направляющими косинусами. Из формул (!) и (2) следует, что соз' и+ соз' р =! т. е. сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Из формул (1) и (2) как следствие находим расстояние Г от точки М(х, у) до начала координат (в декартовой прямоугольной системе координат) и направляющие косинусы направленного отрезка ОМ: Х а Г='г' Ха+Уз, СОБИ вЂ” —, СОБ(Э=— х а Теорема 2. Расстояние й между двумя точками М,(х,, у„г,) и М,(х„ум г ), заданными относительно декартовой прямоуголь- пь Рлсстояпие между двумя Гочкхми ной системы координат в пространстве, равно квадратно»ид корню иэ су»ялы квадратов разностей соапиетствдюи(их координат этих эпонек, т. е. д = )» (х, — х,)'+ (ув — у,)'+ (г, — г,)'.

(3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что х, эьх„ у, Ф д„гт Ф г,. Рассмотрим точку М (х„у,, г,). Пусть М, (хо д„0) и М' (х„у,, О) — проекции точек М, (х„у„г,) и М (х„у„г,) па плоскость хОд, а М,(0, О, г,) и М" (О, О, г ) — проекции точек М,(х„у.„г,) и М (х,, д„г,) на ось Ог. На основании теоремы ! этого параграфа я теоремы 3 5 4 имеем М,М' = )Г(х, — х,)'+ (у, — у,)', М,М" = ) г, — г, !. (А) Так как точки М, и М имеют одинаковую аппликату, то отрезок М,М лежит в плоскости, параллельной плоскости хОд, иля в самой этой плоскости, а значит М,М' =-М,М.

Далее, так как точки М и М, имеют соответственно одинаковые абсциссы и ординаты, то отрезок ММ, лежит или на прямой, параллельной оси Ог, или па самой оси Ог; следовательно, ММ, =М"~И,. Из предыдущих рассуждений следует также, что,»', М,ММ, прямоугольный (х~ МдММЯ = 90'), поэтому М,М,' =- М,М'+ ММ,'. Отсюда и из формул (А) следует, что М1МЙ=(хв — хз) -~-(дз — уз) +~ге — г11» дз = (хв — х„)'+ (уа — у,)'+ (г, — г,)', или и это число равно длине отрезка М,М,.

С другой стороны, при х,=х, правая часть формулы (3) обращается в тот же радикал: ) (у, — у,)'+(г,— г,)'. где с( — длина отрезка М,М,. Из последней формулы следует формула (3). Пусть теперь равны две какие-нибудь соответствующие координаты точек М,(х,, у,, г,) и М,(х„д„г»), например х,=х,. Тогда отрезок М,Мг лежит в плоскости, параллельной плоскости уОг, или в самой этой плоскости, и его длина равна расстоянию между проекциями Р, (О, д„гз) и Р, (О, у,„г,) этих точек М,(х„у„г,) и Ме (х„у„г,) на плоскость уОг. Но расстояние между то пеами Р, и Р, по теореме 1 равно Р,Р, =- Р (д,— у,)т+(г, — г,)з, Г л а га г! ггРОСТЕЙЮИЕ ВОПРОСЫ 28 Аналогично доказывается правильность формулы (3) в случае у,=у, н в случае г,==г,.

Итак, формула (3) доказана полностью. Рассуждеггггялги, аналопгчпыми тем, которые мы проводили для плоскости, получим формулы (4) С05 гг = ха — хл л где гх, )1, у — утлы ненулевого направленного отрезка М,М, соот- ветственно с осями Ох, Оу, Ог; Л вЂ” его длина; х„о„г,— коорди- наты пачала М;, х„у„г,— координаты конца М,. Из формул (4) и (3) находим СО5а Я+ С05а г) + сова у = 1, Г = )' хл -р уа †; — г', х г сова= —, соз 6 = — ", сов У = —. г г г % 13. Деление направленного отрезка в данном отношении Теорема ц Если относительно общей декиртовой системы координат на плоскости заданы две различные точки А (х,, у,) и В(х„у,) и точка С(х, у) делгоп направленный отрезок АВ в огпношении ), то ).

рггвно толу из соотношений л — х, д — д, — или х,— х у,— ц в которолг зналенитель не ровен нулю, и люболгу из них х — хл Š— ул (1) ха — х Еа — у если оба знаменателя х,— х и у,— у не равны нулю. Координаты х, у пгочки С чырожагопгсгг через координаты точек А и В соотно- шенияли лл+ХЫ ул+глуа (й) г+х ' гу г+х Доказательство. Спроектир;езг точки А, В,и С на ось Ох параллельно оси Оу; проекцпямн будут соответственно точки А'(, О), В' (, О), С (х, О). т.

е. сумма квадратов направляющих косинусов направленного ненулевого отрезка равна единице. В частном случае из формул (3) и (4) находим расстояние г от точки М(х, у, г) до начала координат и направляющие гчосигг)сы направленного отрезка ОМ (в предполо кении, что он нечулсвой) х гг, деление няпРявлепно'о отРГзкя е:!лог!ох! О!ношении 29 11редположим, что точки А' и В' различны, т. е. Хг:Ф-.х,. Так как прп параллельном проектировании сохраняется порядок то- чек, лежащих на прямой, н отношение отрезков, лежащих на од- ной пряглой, то точка С' -елит направленный отрезок А'В' в том же отношении Л и, значит () 5, теорема !): х — х, х,+ Лхг Л= —, х= х,— х ' !+7, Если точки А' и В' совпадают, го с ними совпадает и точка С, т, е.

х, =х,=х. Формула г! 2 .='— 2 ул-; уг у == —,— 2' 1 х — х, в этом случае не имеет места. Однако формула хх+Лхг = !+Л верна, так как при х,=-х, правая часть обращается в х,. Аналогично доказывается остальная часть теоремы. С л е д с т в н е. Координаты середины отрезка равны полусуммам кооодинат его концов: х= —, у=- хг+ хг уг+ уг 2 ' 2 (3) Теорема 2.

Если относительно общей декаргповой системы координат в пространстве заданы две различные точки А(х„у„г,) и В(х,, у„г,) и точка С(х, у, 2) делит направгенный отрезок АВ в отношении Л, то Л равно тому из отношений х — х! у — у! 7 — г! хг — х' У,— Ц' гг — 7' в котором знаменатель не равен нулю, и любому из нихг х — х, у — ги г — г! хг — х уг — у г,— г' если все зналге;!отели не равны нулю. Координагггы я!хаки С через координата! точек А и В выражакгтсн соотношениями х! -'!-Яхг У!+Лиг 7!+ Лгг х=, у=', ', 2= — ' гтЛ ' 17Л ' гчк Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Надо только проектирование параллельно координатным осям замснить проектированием на оси координат параллельно координатным плоскостям. Следств ие. Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: л! -',- лг х= — —— 2 зп Г в а в а М ПРОСтхй!ИИВ ВОПРОСЫ 5 14. Ориентированный треугольник. Ориентированная плоскость. Площадь треугольника Треугольником будем называть тройку точек. Если зти точки не принадлежат одной прямой, то треугольник будем называть невырождепным, а если они принадлежат одной прямой, то — вырожденным, Площадь вырожденного треугольника будем считать равной пулю.