1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 3

Разах п ПРОСТЕЙШИИ ВОПРОСЫ АНАЛПТИЧИСИОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В П1Ч)СТРАНС16И ы ыоо1 Лыыаты точки и ыкытоыд ых плоскости ы и ы1 ост1 митин ф В. Параллельное проектирование Ряс. 6 В геометрии рассматриваются следу|ощие три вида параллельного проектирования. 1. Проекция точки М иа пряму|о 1 параллельно п р я м о й ви Пусть на плоскости заданы две пересекаюгциеся в топ;с О прямые 1 и щ. Если точкаМ не лежит М на прямой ац то проекцией М точки М иа прямую1иараллельпо прямой т называется точка М' пересечения прямой 1 с прямой, проходя- 1) М' 1 й'~ щей через точку М парал- ! лельно прямой щ.

Если же Рвс. 7 точка М лежит па прямой вс то сс проекцией нв прямую 1 параллельно прямой т называют точку О (рис. 6). Если прямые1 и т взаимно перпендикулярны, то рассмотренный вид проектирования оказывается ортогональным проектированием иа прямую 1. Ортогональной проекцией М' точки М плоскости иа ирямую1, лежащую в этой плоскости, называется точка пересечения прямой1 с прямой, проходящей через точку М перпендикулярно прямой 1 (рис, ?). 2.

Проекция точки М на плоскость м паралл с л ь и о и р и и о й 1. Пусть в пространстве задана плоскость м и пересекающая ее в точке О прямая 1. 1б г и а со и. пяостгяпщг во««осы Рис 9 Если ~очка М не левон ча прямой 1, то проекцией М сс па плоскость и параллельно прямой 1 «азывщтся точка пересечения плоскости и с прямой, прохо, яп;ей через точку М параллел по прямой 1.

Если же точкаМ ле кит па прямой 1, то ее проскпией на плоскость и па- М И раллельио прямой называют г щкт О (рис. 8). Если ~рамаз ,О И' перпендикуляр«а , М' Я в плоскости ч, то рас- И Я сматриваемый вид проект«рова«па оказывается оргогоРис. 8 нальным. Ортогональной 1 проекцией М' точки ! М па плоскость л М М иазыаается точка пересечения плоскости И л с прямой, проходя- () и М' щей через точку М П х с~ ! пер«езди куля рно плоскости и (рис. й). 3.

П роскция Рис. 10 Рис 11 точки М на «ря- мую 1 параллельно плоскости л. Пуст:, в пространстве задана плоскость л: пересекающая ее в точке О прямая 1. Если точка М «е лежит на плоскости л, то ее проекцией па прямую 1 параллсльпо плоскости л «азьщается точка М' пересечения прямой1с плоскостью, проходящей через точку М параллель«о плоскости л. Если же точка М лежит на плоскости и, то ее проекцией па прямуо 1 параллельно плоскости и «а1ыва1от точку О (рис. 10).

Если прямая 1 перпендикулярна пло" кости л, го рассьщтрпваемый вид проектироваиия оказывается ортогоиальпым. Ортогональной проекцией точки М па прямую 1 называется точка М' «ерессчснпя «рамой 1 с плоскостью, проходящей через точку М перпепдикулярпо прямой 1 (рис. !1). Ортогональное проектирование точки М па прямую в пространстве можпо определить и так: ортогональной проекцией точки М на прямую 1 называется точка М' пересечепия прямой 1с прямой, проходящей чепез точку М и пересекающую прямую 1 под прямым углом (рис.

11). АК ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ !7 В 9. Общая декартова и декартова прямоугольная систеа!ь! координа~ на плоскости Оби!ей дскарп!свой (и.ш пф,"винной) систвлой координат на плоскости называется упорядочен чия сотшгузнос!пь двух первсексиои!ихся осей координат с оби!ил началом координат О на ктясдой из них (рпс. 12). й(асп!Тайные отрезки этих осей могут быть различны.

Г!ерзая ось называется осью Ох. нл«осью абсцисс, вторая — осью Оу, пли осью ординат. Пуст! М вЂ” произволь«ая точка плоскости. Пусть Р— посскцня точки М па ось Ох параллельно оси Оу, а х — координата точки Р па оси Ох; Я вЂ” проекция точка М па ось Оу параллельно о и Ох, а у — коордн!ига точка Я па осп Оу. ь)псла х, у называются общими де- У картавыми (илн аффинными) коордн- Ф И на~ами точки М. Первая координата х называется абсциссой гочки М, вторая координата у называется ордннатой точки М .

Точка М с ко- В Е г ординатамн х, у обозначастся М(х, у). Абсцисса точки М равна нулю О Е! тогда и только тогда, когда точка В М лежит на осн Оу; ордината у точки М равна нулю тогда и толь- Рис. !2 ко тогда, когда точка М лежит па оси Ох, Для начала координат О (и только для этой точки) обе координаты х и у равны «улю. Точки Е,(1, О) и Ез(0, 1! «азываются единичным« точками осей координат; точка Е (1, 1) называется единичной точкой системы координат, нараллел н.рэги! ОЕ,ЕЕ, — масштабным параллелограммом. Отрезки ОЕ, и ОЕ„являются масштабнымн отрезками соответственно осей Ох и Оу.

Векторы ОЕ,=е, и ОЕ,=е, называются масштабными векторами соответственно осей Ох н Оу. Общую декартову систему координат на плоскости можно !Едать упорядоченной парой пересекающихся прямых и единичной точкой Е, не лежашей ни на одной из них. В самом деле, пусть Π— точка, в которой пересекаются эти прямые, Е,— проекция точки Е на первую из данных прямых параллельно второй, а Е,— проекция точки Е на вторую прямую параллельно первой.

Тогда положительные направления прямых определяются направлениями векторов ОЕ, и ОЕЕИ отрезки ОЕ, Га ааа !1 ПРОСТЕяШИЕ ВОПРОСЫ 18 и ОЕ.— масштаоные отрезки соотвстстве»»о для первой» второй осей координат. При помощи обшей декартовой системы координат на плоскости устанавливается вза»мно одяозначнос соответствие между ьшожеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел, так как: 1) каждой точке М плоскости соответствует одна определенная упорядоченная пара действительных чисел х, у — координел втой точки; 2) каждая упорядоченная пара х, у дсйсгвнтельпых чисел ставятся в соответствие одной и ~олька одной точке М, для которой первое число х — абсписса, а второе число у — ординята.

Для построения этой точки М , сл чае .г ' О, у =; О надо построить на оси Ох 1о ку Р с координатой х, а на оси Оу †точ О с координатой у. Точка М является точкой пересечения прямых, »роходяших через то»кн Р и О, парал- Д лельных соответственно осям Оу н Ох. Если и = О илн х = О, то дело сводится Я М к построепи1о точки на оси Ох или на оси Оу. Декартовой прямоугольной системой коЕа Е ординпт на плоскости нпзывпе пся упорядочекнпя совокупкоапь двух взпимно перпеноикуляркых осей координат с рпвкыми масш- О 1 р ~ тпбкыми отрезками ОЕ,=ОЕ, и с оби)им 1 нпчалом координпт О на кпждой оси (рнс. Рис. 13 13), Определение декартовых прямоугольных координат точки формулируется аналогично соответствующему определению общих декартовых координат точки: пусть Р и Π— ортогональные проекшш точки М соответственно на оси Ох и Оу, х †координа точки Р на оси Ох, а у — координата точки О на оси Оу.

Числа х, у пазыва1отся декартовыми прямоуголш1ыми координатами точки М. Отметим, что час~о масштабные векторы осей Ох н Оу в декартовой прямоугольной системе координат обозначают так; ОЕ, = 1, ОЕ, = у. я 10. Общая декартова и декартова прямоугольная системы координат в пространстве Общей декартовой, или аффинной, системой координат в проотрпнстве называл»ся упорядги1еккпя совокупкосгпь трех осей каор. динат, не лежащих в одкой плоскоспш и проходящих через одну 4 <О. ДЕКАРТОВА СИСТЕМЛ КООРДИПЛ < В ПРОСТРАНСТВЕ 1В о<очку О, явля<он!уюся началом координает на каждой осп, л(асщтабныс отрезки осей координат, вообще говоря, различны (рис. 14).

Точка О называется началом координат !!ервая ось называется осью Ок, илн осью абсцисс, вторая — осью Оу, или осью ординат, третья — осью Ог, или осью аппликат. Плоскость, проходящая через Рис. 14 Рис. 15 две осн из трех Ох, Оу, Ог, называется координатной плоскостью; координатных плоскостей три; они обозначаются так: уОг, гОх и хОу. Пусть М вЂ” произвольная точка пространства. Обозначим через Р проекцию точки М на ось Ох параллельно плоскости уОг, а через х — координату точки Р па ос:< Ох. Через О обозначим проекцию точки М на ось Оу параллельно плоскости гОх, а через у †координа точки Я на оси Оу. Через )с обозначим проекци<о точки М па ось Ог параллельно плоскости хОу, а через г †координату точки )! на оси Ог (рис. !5).

Три числа х, у, г, взятые в этом порядке, называются общими декартовычи (или аффинными) координатами точки М. Первая координата х называется абсциссой точки М, вторая <т — ордннатой точки М, третья г — аппликатой точки М. Точка М с координатамн х, у, г обозначается М (х, у, г). <<бсцисса точк < М равна нулю тогда и тол ко тогда, когда точка М лежит на координатной плоскости уОг. Орднната точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка й4 лежиг на координатной плоскости гОх. Апплнката точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на координатной плоскости хОу.