1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu), страница 2

следует лн лс Х = —.= —, сн сн значит, на основании теоремы 2, Ь 4 откуда х,+Лх, х= —— 1тЛ С л еде т в и е. Координата середины отрезкг ргвна полусумме координат его коннов: х„+х, х= —. 2 В самом деле, для середины отрезка Л=1. Теорема 2. Каково бы !!и было число Лчь — 1, существует и притом только одна !почка С, которая делит невырозкденный на. аравленнь!й отрезок АВ в отношении Л.

Доказательство. Введем на прямой АВ систему координат. Предполагая, что некоторая точка С(х) делит направленный отрезок ЛВ в отпо!пении Х, на основа!шн предыдущей теоремы найдем х!-х Лх, где х, и хх — координаты !очек А и В. Этим токазгна единственность точки С, делящей направленный отрезок АВ в данном отношении )„т. е. доказано, что еслч такая точкг существует, то только одпа. Далее, точка С с координатой л,+ Лхх 1тЛ делит напргвленный отрезок АВ в отношении Л, так кгк из написгнного соотношения следует х11.)-Л):=.с!+ Лхх х .х! =. л (хе — х), АС = ЛСВ.

Раааа П АИЬЛИТИЧЕСККР ГЕОМЕТРИЯ ИЛ ПРЯМОЙ (о Точки С и д различны, так как на~ность нх координат не ра.на пулю; в самом деле, х — х =,' — х = . ФО. ха+ а ха кк лк а ~зт а Поэтому СВ эь О и из последнего равенства следует, что АС АС св св В 6. Преобразование системы координат на прямой Пусть на прямой введены две системы координат с одним и тем же положительным направлением осн и одним и тем жс масштабным отре~ком. Пусть Π— начало координат в одной пз этих систем (эту систему координат будем называть старой), а 0' — начало координат в другой (эту систему координат будем называть новой).

Пусть М вЂ” произвольная точка оси, х — координата точки М в старой системе (эту координату будем называть старой), х' — координата точки М в новой системе (эту координату будем называть новой); паконеп, пусть а — координата нового начала 0' в старой системе. Тогда имеет место формула х=х'+а, т. е. старая координата точ'и, лежащей напои координат, равна новой координате этой точки, сложенной с координатой новоео начала в старой системе. Локазательство. На основании теоремы Шаля (Ч 4, теорема 1) ОМ = 00'+0'М, т. е.

.=а+х'. Рассмотренное в этом параграфе преобразование системы координат называется переносом системы координат. При переносе системы координат координата направленного отрезка не меняется. Это сразу следует из теоремы '2 у 4, В 7. Векторы В настоящем параграфе даетсч опрсделсние вектора в трехмерном евклидовом пространстве (понятия лектора на плоскости и вектора па прямой являются частными случаями этого определения).

Предварительно введем ряд дополнительных определений. ~г, вскгогьг и Два невырожденных направленных отрезка АВ и СО называготся коллинеарнылш, если прямые АВ и СР или параллельны, или совпадсиот. Вырожденный паправлсгпгый отрезок считастся коллинеарпым любому направленному отрезку. Вудсы говорить, что два невырожденных направленных отрезка АВ н СР, лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое направление, если точки В и 0 лежат по одну сторону от прямой АС. Если же точки В и Р лежат по разные стороны от прямой ЛС, то направленные отрезки АВ и СВ имеют противоположное направление (рис.

3). В случае, если невыро кдснныс паправленпыс отрезки АВ и СР лежат на одной прямой а, онн Э имеют одинаковое направление, если па любой А прямой Ь, параллельной а, найдется певырож- С денный направленный отрезок РЯ, имегощий В одинаковое направление с каждым из паправ- А ленных отрезков ЛВ и СР. Если же гпобой С Э невырожденный отрезок РСг (лежащий на прямой Ь, параллельной прямой а) имеет одинаковое направление с одним из отрезков ЛВ или СР и противоположное с другим, то направленные отрезки АВ н СР имеют противоположное направление.

Наконсп, условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым направленным отрезком. Если направленные отрезки АВ и СР коллинеарны, то будем писать АВ)гСВ; если при этом опи пмгиот одинаковое направление, то АВГГСР, а если противоположное, то АВг)СВ.

Два направленных отрезка АВ и СВ назьгваются равными АВ == СР, сели выполнены следугощие условия: 1) равны длины отрезков АВ и СВ; 2) направленные отрезки АВ и СР коллинеарны; 3) направленньге отрезки АВ и СР имеюоа одинаковое направление. Свободным вектором и назьигается класс всех равных между собой направленных отрезков. Г!улевым вектором называется класс всех вырожденных направленных отрезков. Свободный вектор и часто обозпачагот н изображают любым пз направленных отрезков АВ того класса направленных отрезков, которым является вектор а. !2 г»«««г.

лпллитичсск«я гяомстиня на пияьзога Стло:кпть свободный вектор а от точки А — значит построить направленный отрезок ЛВ входящий в класс направленных отрезкоз, образукнцих вектор а. В дальнейшем под словом «вектор» мы будем понимать «сво. бодпый вектор». Рассмотрим два произвольных вектора и и Ь. Пусть АВ— направленный отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор и, а СР†направленн отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор Ь.

Векторьг а и Ь >сазьгваготся коллинеарными, если коллинеарны напраеленньм отрезки АВ и СР. Если при этом направленные отрезки ЛВ и СР имеют одинаковое направление, то векторы а и Ь имеют одинаковое направление, а если направленные отрезки АВ и СР имеют противоположное направление, то векторы а и Ь имеют противоположное направление. Если векторы а и Ь коллнпсарпы, то будем писать а))Ь; если при этом опи имеют одинаковое напрасление, то будем писать а((Ь, а сслн противоположное.

то а!(Ь. Если направленные отрезки АВ и СР равны, то будем говорить, что векторы а и Ь равны, и писать а=Ь, Длиной или модулем вектора а называется длина* отрезка АВ. Длина вектора обозначается так: ) ЛВ), ЛВ, ~ а), а. Если определения, относящиеся к свободным векторам, формулируготся прп помощи направленных отрезков, то надо кагкдый раз устанавливать независимость формулировок от выбора направленных отрезков из тех классов, которыми являются рассматриваемые векторы. Эта независимость ясна для только что рассмотренных простейших случаев: определение длины вектора, коллинеарпости и равенства двух векторов. В более сложных , случаях (см. ниже определение координат вектора, определение суммы векторов и др.) полезно применять следующую теорему.

Теорема. Необходимым и достатозгнылг условием равенства напрьилгннзых отрезков ЛВ и СР является соападсние серединьс отрезка'" АР с серединой отрезка ВС. Доказательство необходимости. Дано АВ=СР, Требуется доказать, что середина отрезка АР совпадает с серединой отрезка ВС. Пусть 0 †середи отрезка АР. Рассмотрим преобразование Я симметрии относительно точки О. При этом преобразовании каждой * Длгзпу »ирои«денного отрезка считаем раиной нулю, ** Если отрезок аырождеиаый, ть серединой буде»г считать точку, с кото. рой совпадают его иоицы. а 7 Ввктоиы 4з тоске М ставится в соотвстствис точка М', симметричная точке М с:тпоситсльпо точки О, т. с, такая, что точка О является ссреднцой отрезка ММ'. Каждый направленный отрезок РГ~ при прсооразованпи В переходит в направленный отрезок Р'О', !акой, что Р'О'=ЯР (рис. 4). Пусть В' — точка, в которую при преобразовании 3 перейдет ~очка В.

Так как точка А переходит в точку О, то направленный отрезок АВ перейдет в направленныи отрезок РВ'=ВА =РС и, значит, точки В' и С совпадают, т. е. точка О является также и серединой отрезка ВС. Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка АР совпадает с серединой отрезка ВС и дока- всем, что АВ =СР.

Пусть Π— середина отрезка АР; по условию точка О является и серединой отрезка ВС. Значит, Я при преобразовании 5 симметрии Рис. 4 относительно точки О точка А перейдет в 0 (рис. 5), а точка В в точку С, поэтому АВ =СР. С л с де т в и е. Если АВ = СР, то АС = ВР. Понятие вектора и векторное исчисление возникло и связи с рассмотрением в физике и механике таких понятий, как скорость, ускорение и пр.

К понятию свободного д вектора мы пришли из определения равенства направленных отрезков. 6 Существу!от и иные определения равенства С двух направленных отрезков: будем говорить, что паправленныс отрезки АВ и СР равны, если выполнены слсдующие условия: 1) длины отрезков АВ п СР равны; 2) отрезки АВ и СР принадлежат одной прямой; 3) направленные отрезки АВ и СР имеют одинаковое направ- ление. Тогда класс всех равных между собой направленных отрезков называют скользящим вектором, м г «а ~ ! «нх.опичсскля геомстяия их гп ямов Понятие скользяще~о сектора и векторное исчисление сколь«я~цих векторов возникло в механике (статике) ири изучении взаимодействия сиз, приложеиимх и твердому телу; (силу «нельзя» герсногить параллельно самой себе, но «мох«но» переносить вдоль линии ес действия).