XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 13

Независимые и зависимые событие независимость в совокупности не следует, что демонстрирует следующий пример. Пример 3.6. Опыт состоит в однократном подбрасывании тетраэдра, грани которого „пронумерованы" следующим образом: на трех гранях стоят цифры 1, 2 и 3 соответственно (одна цифра на каждой из них), а на четвертой присутствуют все цифры 1, 2 и 3. Введем события А; — падение тетраэдра на грань, на которой присутствует цифра е, 1 = Т, 3. Покажем, что события Ам Аз и Аз попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Согласно классическому определению вероятности, получаем 2 1 Р(Ае) = — = —, 1=1,3, Р(А1Аз) 1/4 1 Р(А1) 2/4 2 Аналогично Р(А;~А1) =— 1 В 3 при любых е,у = Г~1, е фу, т.е. события Ам Аз и Аз являются попарно независимыми. Однако, например, Р(А1~АзАз) — — — — 1 ф Р(А1) Р(Аз Аз) 1/4 т.е. события А1, Аз и Аз зависимы в совокупности.

41 Заметим, что, когда говорят о независимости событий А1, ..., А„, подразумевают именно независимость событий в совокупности, в отличие от попарной независимости событий Аь ..., А„. Запишем формулу для вероятности объединения независимых собыший. Пусть А=А10 ..0Ав. 92 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ Тогда в соответствии с законам де Моргана А = А1... А„. Если события А1, ..., А„независимые, то, согласно теореме 3.5, события А1, ..., А также независимые и, значит, Р(А) =Р(А1)...Р(А„). Отсюда окончательно получаем формулу для вероятпностпи объединения независимых событий: Р(А1О...ОА„) =1 — [1 — Р(А1)]...]1 — Р(А )].

Замечание 3.4 (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь: 1) если А и  — несовместные события (и Р(А) ф О, и Р(В) ф 0), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно); 2) если А и  — совместные события, то они могут быть и зависимыми, и независимыми; 3) если А и  — зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять н е с о в м е с т н о с т ь с обытий, а при использовании теоремы умножения — независимость событий.

В заключение отметим, что понятие независимости является очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но зто может быть не всегда. 93 ЗА. Формула полной неронтноотн 3.4.

Формула полной вероятности Предположим, что в результате опыта может произойти одно из н событвий Ны Нз, ..., Н„, которые удовлетворяют следующим двум условиям: 1) они являются попарно несовместннымн, т.е. при афти; 2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объеднненне есть достоверное событвне, т.е. Определение 3.5.

События Ны Нз, ..., Н„удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гнтаотпезамп. Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух укаэанных требований, то их совокупность называют ттолной грутттаой событтанй. Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий. Пусть также имеется некоторое событие А и известны веролтиносвти гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„), которые предполагаются ненулевыми, и условные веролнтноснти Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А при выполнении этих гипотез. Задача состоит в вычислении безусловной веролтвноснти события А.

Для решения этой задачи используют следующую теорему. Теорема 3.6. Пусть для некоторого события А и гипотез Нт, ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(Н„), которые положительны, и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда безусловную вероятность Р(А) определяют по формуле Р(А) = Р(Н1) Р(А~Нт)+... + Р(Н„) Р(А~Н„), (35) которую называют формулой полной веролтпностпи. 94 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ м Представим событие А в виде А = Ай = А(Нг +... + Н„) = АН1 +... + АН„ (на рис. 3.2, область, соответствующал событию А, заштрихована). С учетом того, что события АН;, г = 1, п, несовместны, имеем Р(А) = Р(АНг)+... +Р(АН„). В соответствии с формулой умкоженея верояпгностпей полу- чаем Р(АН,) = Р(Н,) РЩН,), ..., Р(АН„) = Р(Н„) Р(А~Н„). Поэтому Р(А) = Р(Нг) Р(А~Н1) +...

+Р(Н„) Р(А~Н„). в. Н, АНг Н„ Рис. 3.2 Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей. 95 3.4. Формуле поляой вероетлоети Пример 3.7. Путник должен попасть из пункта В в пункт А в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 3.3. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события А — достижения путником намеченной цели.

Для того чтобы попасть в пункт А, путник должен пройти один ю промежуточных пунктов Н1, Нз или Нз. Введем гипотезы Н;, где Н; означает, что путник выбрал в пункте В путь, ведущий в пункт Н;, 1 = 1,2,3. Ясно, что события Н; несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из В в Н; Р(Н )— Остается вычислить условные вероятности Р(А~Н;), которые легко найти, если рассматривать новое просеврансшво элелеекшаримх исходов, соответствующее выбранной гипотезе Н;. Например, появление Н1 означает, что есть два равновозможных исхода (ю пункта Нз выходят две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию А, т.е.

А Р(А~Н1) = —. 1 Аналогично находим, что Р(А~Нз) =— 1 4 Рис. З.З Р(А~Нз) = О. Согласно Формуле 3.5 полной вероятности, получаем 1 /1 1 Р(А) = — ~-+ — +0 = 0,25. ф 3 ~2 4 96 а УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть. схемА БеРнУлли Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сеть каналов передачи информации, а Р(А) — вероятность предачи сообщения по такой сети. Пример 3.8.

Студент Иванов выучил все Ф = 30 экзаменационных билетов, но иэ них на „пять" — лишь Ж1 = 6. Определим, зависит или нет вероятность извлечения „счастливого" билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает Ивз нов свой билет. Рассмотрим две ситуации. Иванов выбирает билет первым. Тогда Ф1 6 1 Р(А) = — = — = —. Ю 30 5 Иванов выбирает билет вторым.

Введем гипотезы: Н1— первый извлеченный билет оказался „счастливым", Нз — „несчастливым". Ясно, что В силу формулы (3.5) полной вероятности 1 5 4 6 1 Ф1 Р(А) — — — +— 5 29 5 29 5 Ж ' что совпадает с первой ситуацией. Изменится ли ответ, если Иванов будет выбирать билет третьим, четвертым, ..., последним? 3.5. Формула Байеса Пусть по-прежнему некоторое собышие А может произойти с одним из событий Нм ..., Н„, образующих полную группу Ф, 1 Р(Н,) = — = —, Ф 5' Р(А)Н~) = Ф вЂ” 1 29' Ф вЂ” Ф1 4 Р(Н)= — =-, Ф 5' Р(А~Нг) = — = —.

Н1 6 Ф вЂ” 1 29 97 3.5. Формула Байеса попарно несовмвстпныя событпий, называемых, как уже отмечалось, гипотпвзами. Предположим, что известны веролтпностпи гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„) (Р(Н;) ) О, т = Гп) и что в результате опыта событие А произошло, т.е. получена дополнительнаа информация. Спрашивается, как „иэменятсяа вероятности гипотез, т.е.

чему будут равны условные веролтпностпи Р(Н1 ~А), ..., Р(На~А), если известны также условные вероятности Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А7 Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему. Теорема 3.7. Пусть для некоторого события А, Р(А) > О, и гипотез Нм ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(На) (Р(Н,) > О, т = Гп) и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда условная вероятность Р(Н,~А), т = 1, и, гипотезы Н; при условии события А определяется формулой Байесп Р(Н,)Р(А~Н;) Р(Нт)Р(А$Нд) +" + Р(На)Р(А!На) м Согласно определению 3.1 условной вероятности, Р(Н;~А) = Р(А) Выраутзя теперь по формуле умножения веролтпностпей Р(АН;) через Р(А~Н;) и Р(Н;), получаем Р(АН;) = Р(Н;)Р(А~Н;).

Поэтому Р(Нт)Р(А~Н;) Р(А) Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (3.5) полной всролтпностпи, приходим к утверждению теоремы. ° 98 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятпностпи Р(Н1), ..., Р(Н„) обычно называют априорнььии (т.е. полученными „до опыта"), а условные еероятпностпи Р(НцА), ..., Р(Н„~А) — апостпериорнььии (т.е. полученными „после опыта"). Пример 3.9. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 н 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оцениваниет как 40% и 60% соответственно.

Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90% случаев и при заболевании 2 — в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после зтого7 Обозначим через А событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: Н~ — имеет место заболевание 1; Нз — имеет место заболевание 2.

Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: Р(Н1) =0,4 и Р(Нз) =0,6, а условные вероятности события А при наличии гипотез Н1 и Нз равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя формулу Байеса, находим Р(Н;~А) = ' ' = 0,75. 0,4 0,9 з 1 + 1 '0~ Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболе- вания 1.

Пример 3.10. Рассмотрим случай, когда Р(А~Н;) = сопвФ = С, т' = 1, и, З.б. Схема Бернулли т.е. на вероятность появления события А все гипотезы влияют одинаково. Тогда, согласно формуле Байеса, получаем Р(Н;~А) = Р(Н;), т.е. дополнительная информация о появлении события А не имеет никакой ценности, поскольку не меняет наших представлений об априорных вероятностях гипотез.