XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 17

3.27. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживают с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найдите вероятность того, что при и циклах объект будет обнаружен. Ответ: Р= 1 — (1 — р)". 3.28. В первой урне лежат 10 шаров, иэ них восемь бельп~, во второй — 20 шаров, из них четыре белых. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих двух наудачу берется один шар.

Найдите вероятность того, что это будет белый шар. Ответ: Р=05. 3.29. На шахматную доску ставят двух слонов: белого и черного. Какова вероятность того, что при первом ходе один слон может побить другого? Ответ: Р=б/36 0,139. 3.30. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% и третьего — 5%. Определите вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров с первого завода, 20 — со второго и 50 — с третьего.

Ответ: Р=0,895. 121 Вопросы и задачи 3.31. На заводе, изготавливающем болты, на первом станке производят 25%, на втором 35% и на третьем 40% всех изделий. В продукции брак составляет 5%, 4% и 2% соответственно. а) Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт будет дефектным. б) Пусть случайно выбранный болт оказался дефектным. Найдите вероятности Р1, Рз и Рз того, что болт был произведен на первом, втором, третьем станке. Ответ: а) Р = 0,0345; б) Р1 = 125/345-0,36, Рг = 140/345- 0,406, Ръ = 80/345 - 0,23.

3.32. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Определите вероятность того, что в цель попал первый стрелок. О т в е т: Р = 6/7 0,857. 3.33. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков равны Р1 > Рз и Рз соответственно. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после стрельбы в мишени оказались две пробоины? Ответ: Р1(1 — Рз)Рз (1 Р1)РзРз+ Р1(1 Р2)Рз + Р1Рз(1 Рз) 3.34. Наудачу подбрасывают три монеты. Найдите вероятность того, что вьшадут ровно два „герба".

Ответ: Р= 3/8-0,375. 3.35. Бросают пять игральных костей. Вычислите вероятность того, что на трех из них выпадет пятерка. Ответ: Р = С~а(1/6)~(5/6)з -0,032. 122 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ 3.36. Бросают 10 одинаковых игральных костей. Определите вероятность того, что ни на одной иэ них не выпадет шесть очков. Ответ: Р = (5/6)1о-0,16. 3.37. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов.

Найдите вероятность того, что в день поступит четыре заявки. Ответ: Ры0,251, 3.38. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки — 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек? Ответ: Р-0,3723.

3.39. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключается) три партии из четырех или нять из восьми? О т в е т: Вероятнее выиграть три партии из четырех. 3.40. Сколько нужно параллельно соединить элементов, вероятность безотказной работы каждого нз которых за время 1 равна 0,9, чтобы вероятность безотказной работы всей систе.

мы за время 4 была не менее 0,999? Ответ: не менее трех. 3.41. Известно, что на выпечку 1000 булочек с изюмом нужно израсходовать 10000 иэюмин. Найдите вероятность того,что: а) наудачу выбранная було пса не будет содержать изюма; б) среди пяти выбранных наудачу булочек две не будут содержать изюм, а в остальных будет хотя бы по одной изюмине. Ответ: а) Р = е 'о — 0,0000468; б) Р Са~е-1о)э~1 е-~о)э-219.10-в Волросы я задачи 123 3.42. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов.

Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислите вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее трех вызовов. Ответ: Р-1 — Р(0; 0,7) — Р(1; 0,7) -Р(2; 0,7) = 0,03414. 3.43. Известно, что 40% автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо и 50% — налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево? Ответ: Р ~ ~р(1,02)/~/460 6,4 6,6 0,024.

3.44. Симметричную монету подбрасывают 10000 раз. Найдите вероятность того, что наблюденная частота выпадения „герба" будет отличаться от 1/2 не более чем на 2%. Ответ: Р-Фе(2) — Фе(-2) =0,9545. ЗА5. Найдите вероятность того, что среди 10 случайным образом выбранных человек у четырех дни рождения будут в первом квартале, у трех — во втором, у двух — в третьем и у одного — в четвертом. Ответ: Р= 10! 0,25~с/(4!3!2!1!) 0,012. 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛу СВАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В предыдущих главах мы изучали случайные события, что позволяло нам исследовать вероятностные свойства (закономерности) случайных экспериментов на качественном уровне („да" — „нет"): попадание в цель — промах, отказал прибор за время $ — не отказал и т.д. Однако с момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами.

Начиная с настоящей главы и до конца книги мы будем изучать именно случайные величины. 4.1. Определение случайной величины Для того чтобы лучше осознать связь, существуюшую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины. Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных эначений этой случайной вавичины. Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход. 125 4.1. Овревелевие случайной величивы Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжал их при необходимости индексами: Х, У1, Я; и т.д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: хз, уп„яб.

В русскоязычной литературе принято также обозначение случайных величин греческими буквами: Ч, пм р; и т.д. Рассмотрим примеры. Пример 4.1. В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число Х вьшавших очков. Множество возможных значений случайной величины Х имеет вид (х1=1, х2=2, ..., Хе=6). Если вспомнить, как выглядит простравсшео элеиектиарныя исяодое в этом опыте, то будет очевидно следующее соответствие между элементарными исходами м и значениями случайной величины Х: Х = 1 2 ... 6. Иными словами, каждому элементарному исходу ы;, я = 1,6, ставится в соответствие число 1.

Пример 4.2. Монету подбрасывают до первого появления „герба". В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: Х вЂ” число бросаний до первого появления „герба" с множеством возможных значений 11, 2, 3, ...) и У вЂ” число „цифр", выпавших до первого появления „герба", с множеством возможных значений (О, 1, 2, ...) (ясно, что Х = = У+ Ц. В данном опыте пространство элементарных исходов Й можно отождествить с множеством 1Г, ЦГ, ЦЦГ, ..., Ц...ЦГ, ...1, 126 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ причем элементарному исходу Ц... ЦГ ставится в соответствие число п1 + 1 или тв, где тп — число повторений буквы „Ц".

Пример 4.3. На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние Х от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния У = Хз, угол 2 в полярной системе координат и т.д. ф Теперь мы можем дать определение случайной величины. Определение 4.1. Скалярную функцию Х(м), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого х Е Й множество (ас Х(ш) < х) элементарных исходов, удовлетворяющих условию Х(ы) < х, является событием. Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи (ьн Х(ш) < х) использовать запись (Х(ш) < х), если необходимо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов й, или даже запись (Х < х), если не акцентируется внимание на этой связи.